湖北省高中名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第三次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題

湖北省高中名校聯(lián)盟2023屆高三第三次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校及命題人：宜昌一中王健陽(yáng)迪龍審題單位：圓創(chuàng)教育教學(xué)研究中心武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校本試題共4頁(yè)，22題．滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．考試時(shí)間：2023年2月1日下午15:00—17:00★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，用簽字筆或鋼筆將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A．B．C．D．2．已知集合，則（）A．B．C．D．3．下列說(shuō)法正確的是（）A．“”是“”的充要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“”的否定形式是“”D．“”是“”的充分不必要條件4．已知，則（）A．B．C．D．5．某高中為促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，秋季學(xué)期合唱團(tuán)、朗誦會(huì)、脫口秀、街舞社、音樂(lè)社等五個(gè)社團(tuán)面向1200名高一年級(jí)同學(xué)招新，每名同學(xué)依據(jù)自己興趣愛(ài)好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加音樂(lè)社社團(tuán)的同學(xué)有15名，參加脫口秀社團(tuán)的有20名，則（）A．高一年級(jí)同學(xué)參加街舞社社團(tuán)的同學(xué)有120名B．脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的C．高一年級(jí)參加這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占全年級(jí)人數(shù)的D．高一年級(jí)同學(xué)參加這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為200名6．已知平面向量滿足，且，則的最大值為（）A．B．C．D．7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若是面積為的正三角形，則的值為（）A．2B．6C．D．8．設(shè)，則下列關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題）二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則A．的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到B．在上單調(diào)遞增C．在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)D．在上的最大值為10．已知是圓上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若點(diǎn)O到直線的距離為，則C．若，則的最大值為4D．的最小值為11．如圖，正方體棱長(zhǎng)為2，P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的最小值為B．的最小值為C．三棱錐的體積不變D．以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面的交線長(zhǎng)12．?dāng)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和，且滿足，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．為等比數(shù)列B．為遞減數(shù)列C．中存在大于3的項(xiàng)D．中存在小于的項(xiàng)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是_____________．（用數(shù)字作答）14．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的射線與拋物線交于點(diǎn)A，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，若，則p的值為_(kāi)____________．15．已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為_(kāi)_________．16．設(shè)且，若對(duì)都有恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟．17．（10分）在中，，點(diǎn)D在邊上，．（1）若，求的值，（2）若，且點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，求的值．18．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和，滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達(dá)式；（2）數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)，使得構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（12分）如圖所示，在梯形中，，四邊形為矩形，且平面，．（1）求證：平面；（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍．20．（12分）2022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京勝利舉行，北京也成為了第一個(gè)同時(shí)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市．為推廣普及冰雪運(yùn)動(dòng)，深入了解湖北某地中小學(xué)學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下圖數(shù)據(jù)：（1）在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來(lái)調(diào)查研究，求在抽到學(xué)校至少有一個(gè)參與“自由式滑雪”超過(guò)40人的條件下，“單板滑雪”不超過(guò)30人的概率；（2）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試．規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”．則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”，在集訓(xùn)測(cè)試中，小明同學(xué)滑行，轉(zhuǎn)彎，停止三個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為，且各個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到3次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？21．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；（2）已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與圓相切，求線段的最大值．22．（12分）已知函數(shù)．（注：…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若存在，對(duì)與任意的，使得恒成立，求的最小值．湖北省高中名校聯(lián)盟2023屆高三第三次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷參考答案與評(píng)分細(xì)則題號(hào)123456789101112答案CDBABDCCBCBDACDBD一、選擇題1．【答案】C【解析】由題意可知，所以，故選C．2．【解析】D【解析】對(duì)A：，所以，故；對(duì)B：，所以．故；所以，故選D．3．【答案】B【解析】對(duì)A，若中，時(shí)也成立，故A錯(cuò)；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，故，若，則，故B對(duì)；對(duì)C，存在量詞命題的否定是，故C錯(cuò)；對(duì)D，若均為負(fù)數(shù)，則無(wú)意義，故D錯(cuò)．4．【答案】A【解析】，得，所以，所以，又，故選A．5．【答案】B【解析】參加音樂(lè)社社團(tuán)或者脫口秀社團(tuán)的同學(xué)共有35名，占這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的，所以高一加這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)為名，故AD均錯(cuò)，脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占這五個(gè)社團(tuán)總比為，故B對(duì)，參加這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占全年級(jí)人數(shù)的占比為，故C錯(cuò)．6．【答案】D【解析】由可知，如圖建立坐標(biāo)系，，設(shè)，由可得：，所以的終點(diǎn)在以為圓心．1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選D．7．【答案】C【解析】是面積為的正三角形，即，所以，所以，所以．又，所以，故選C．8．【答案】C【解析】記，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，取，所以，記，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，取，所以，故；記，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，取，所以，故選C．二、多項(xiàng)選擇題9．【答案】BC【解析】．對(duì)A，的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故A錯(cuò)；對(duì)B，在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，故B對(duì)；對(duì)C，令，可得，當(dāng)時(shí)，故C對(duì)；對(duì)D，，所以，此時(shí)，故D錯(cuò)；綜上所述，選BC．10．【答案】BD【解析】對(duì)A，若，又，故A錯(cuò)；對(duì)B，若點(diǎn)O到直線的距離為，由勾股定理知，故B對(duì)；對(duì)C，，幾何意義為到直線的距離之和的倍，設(shè)中點(diǎn)為Q，，而中點(diǎn)Q的軌跡為，所以，所以的最大值為6，故C錯(cuò)；對(duì)D，的最小值為，故D對(duì)；綜上所述，選BD．11．【答案】ACD【解析】對(duì)A，在中邊長(zhǎng)為面對(duì)角線的最小值為的高，其值為，故A對(duì)；對(duì)B，將與矩形翻折到一個(gè)平面內(nèi)（如圖），在中，余弦定理可得，，所以，故B錯(cuò)；對(duì)C，因?yàn)?，而A到平面的距離不變，而的面積也不變，所以三棱錐的體積不變，故C對(duì)；對(duì)D，以點(diǎn)B為球心與面的交線為圖周，該圓錐的母線長(zhǎng)為2，高為，底面半徑，所以交線長(zhǎng)為，故D對(duì)；綜上所述，選ACD．12．【答案】BD【解析】假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，故B對(duì)；由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，可得；由B數(shù)列為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)；假設(shè)對(duì)任意的則，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，故D對(duì)．故答案為：BD．三、填空題13．【答案】100【解析】中只有的展開(kāi)式中才含有，故中的項(xiàng)與展開(kāi)式中的相乘得到，展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，故的項(xiàng)的系數(shù)為．14．【答案】3【解析】∵，∴，∴，由拋物線的定義知，，∴．15．【答案】【解析】因?yàn)?，所以正三棱錐外接球半徑，正三棱錐如圖所示，設(shè)外接球圓心為O，過(guò)向底面作垂線垂足為D，，因?yàn)槭钦忮F，所以D是的中心，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，令，解得或，所以在遞增，在遞減，故當(dāng)時(shí)，正三棱錐的體積最大，此時(shí)正三棱錐的高為，故正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為．16．【答案】【解析】因?yàn)榍?，因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以．又，所以，顯然，所以有，即恒成立，又，所以，故，所以．當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，與矛盾．下面證明：在1有，令要使即即由知，得從而需證：即需證明：，記從而只需證：而由于，則∴在上遞增，又∴在遞減，遞增，而，從而在時(shí)總有∴（*）式恒成立，不等式得證．綜上所述，．四、解答題17．【解析】（1）在中，由余弦定理得：，所以，解得或；（2）在中，過(guò)D作的平行線交于E，在中，，又，所以．由余弦定理得：，所以，所以，故．18．【解析】（1）依題意，正項(xiàng)數(shù)列中，，即，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，又，因此，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，即，所以．當(dāng)時(shí)，，又滿足此式，即，都有；（2）不存在．由（1）中可得：，假設(shè)存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng)，使得構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，兩邊平方，得，即，整理得：，即，顯然不成立，因此假設(shè)是錯(cuò)誤的，所以數(shù)列中不存在使構(gòu)成等差數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)．19．【解析】（1）證明：設(shè)，∵，∴，∴，∴，則．∵平面，平面，∴，而平面，∴平面．∵，∴平面．（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，∴．設(shè)為平面的法向量，由得取，則．易知是平面的一個(gè)法向量，∴．∵，∴平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為．20．【解析】（1）由題可知10個(gè)學(xué)校，參與“自由式滑雪”的人數(shù)依次為27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，參與“單板滑雪”的人數(shù)依次為46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，其中參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過(guò)40人的有4個(gè)，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過(guò)40人，且“單板滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人的有2個(gè)．設(shè)事件A為“從這10所學(xué)校中抽到學(xué)校至少有一個(gè)參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過(guò)40人”事件B為“從10所學(xué)校中選出的3所學(xué)校中參與“單板滑雪”的人數(shù)不超過(guò)30人”則，所以．（2）由題意可得小明同學(xué)在一輪測(cè)試中為“優(yōu)秀”的概率為，所以小明在n輪測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)Y滿足，由，得．所以理論上至少要進(jìn)行6輪測(cè)試．21．【解析】（1）∵在橢圓，∴，有，所以，又∵，所以，∵，∴；（2）由（1）可知，又，所以，橢圓．因?yàn)橹本€與相切，故．若直線的斜率不存在，不妨設(shè)直線為：，此時(shí)線段．若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為：．由直線與相切，故，可得：．聯(lián)立得，所以，線段．又因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，的最大值為2．綜上所述：當(dāng)時(shí)，線段的最大值2．22．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故，故在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由題意知有且只有一個(gè)根且有正有負(fù)．構(gòu)建，則．①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋杂幸粋€(gè)零點(diǎn)，即為的一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，即無(wú)極值點(diǎn)；③