新高考2023屆高考數(shù)學二輪復習專題突破精練第34講利用坐標法解決立體幾何的角度與距離問題教師版

第34講利用坐標法解決立體幾何的角度與距離問題一．選擇題（共1小題）1．（2021?南崗區(qū)校級期中）如圖，三棱錐中，，，，分別為，的中點，則異面直線與所成角余弦值為A． B． C． D．【解答】解：三棱錐中，，建立空間直角坐標系，如圖所示：由于，，分別為，的中點，所以，0，，，，0，，，，則，，所以異面直線與所成角余弦值．故選：．二．解答題（共21小題）2．（2021?涼山州模擬）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面，且，、分別為，的中點．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．【解答】解：（1）證明：面，面，，，，，，面，面，面，，又中，，為的中點，，，，平面，面，又，分別為，的中點，，，，面，面，面，．（2）解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，0，，，0，，，1，，，2，，，，，設(shè)面的法向量，，，，0，，，，，，取，得，0，，設(shè)面的法向量，，，，，，，，，，取，得，2，，，二面角的正弦值為：．3．（2021?荔灣區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形中，，，為線段的中點，將沿在直線翻折成△，使平面平面，為線段的中點．（1）求證：平面．（2）設(shè)為線段的中點，求直線與平面所成角的大小．（3）若，求三棱錐的體積．【解答】解：（1）證明：取中點，連結(jié)，，在平行四邊形中，，，為線段的中點，將沿在直線翻折成△，使平面平面，，，，，平面平面，，平面．（2）解：取中點，連結(jié)、、，，設(shè)，則四邊形是邊長為2的菱形，且，，由平面平面，為線段的中點．平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，，，，1，，，，，，，，平面的法向量，0，，設(shè)直線與平面所成角為，則，．直線與平面所成角的大小為．（3）解：，由（2）得，，平面的法向量，0，，，點到平面的距離．，三棱錐的體積：．4．（2021?和平區(qū)校級月考）如圖，四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面間的距離．【解答】（1）證明：取的中點，連接、，為的中點，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）解：平面，點到平面的距離即為所求．，取的中點，連接、，則四邊形為矩形，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，、平面，平面，，平面，平面，平面平面，以為原點，、分別為、軸，在平面內(nèi)，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，，，，1，平面，，在中，，，，點，0，，，，，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，1，，點到平面的距離，故直線與平面間的距離為．5．（2021?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，為上一點．（1）若為的中點，證明：平面；（2）若直線與底面所成角的正弦值為，求二面角的正弦值．【解答】（1）證明：取線段的中點，連結(jié)，，因為線段的中點為，線段的中點為，所以且，又四邊形中，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）解：已知是以為斜邊的等腰直角三角形，，所以，因為，所以，由勾股定理的逆定理可得，，又，，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，取的中點，連結(jié)，，則，又平面，平面平面，所以平面，四邊形中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，所以，以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，所以，，，，0，，，1，，，1，，，0，，則，設(shè)，所以，平面的法向量可取，因為直線與底面所成角的正弦值為，所以，即，解得，所以，則，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則有，所以，令，則，，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值為．6．（2021?江蘇一模）如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，為的中點．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)是的中點，判斷點是否在平面內(nèi)，并請證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）取中點，連接、，是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，，因為，，，所以四邊形為邊長為1的正方形，所以，又因為，所以，所以，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，，0，，，1，，，1，，，0，，平面的法向量為，1，，，1，，所以直線與平面所成角的正弦值為．（2）連接，，0，，，0，，，，，，，，點到平面的距離為，所以點在平面內(nèi)．7．（2021?房山區(qū)一模）如圖，四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若為中點，求與面所成角的正弦值；（Ⅲ）由頂點沿棱錐側(cè)面經(jīng)過棱到頂點的最短路線與的交點記為．求該最短路線的長及的值．【解答】（Ⅰ）證明：，，，，又，，平面．（Ⅱ）解：取的中點，連接，，，．平面，平面，，又，平面，，．四邊形是矩形，．以點為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示則，，0，，，1，，，，，，，，設(shè)面的法向量，則，即，令可得，0，．．設(shè)與面所成角為，．（Ⅲ）解：平面，面，，為等腰直角三角形，作出平面和平面的側(cè)面展開圖，如圖所示：連接交于，則為最短路線，，，四邊形為平行四邊形，與重合，最短路線長為，此時．8．（2021春?湖北期末）如圖，四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，，．（1）求證：；（2）求與平面所成的角的正弦值．【解答】解：（1）證明：四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，，．，，，，同理得，，平面，平面，．（2）解：以為原點，在平面內(nèi)過作的垂線為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，，，，，2，，，2，，，0，，，0，，，，，，4，，設(shè)平面的一個法向量是，，，則，取，得，，，設(shè)與平面所成的角為，則．與平面所成的角的正弦值為．9．（2021?天山區(qū)校級期末）如圖，在三棱錐中，，，點，分別是，的中點，底面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】證明：（1）點，分別是，的中點，又平面，平面平面；（2）連接，，點是的中點，又底面．故可以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系令，，則，則，0，，，0，，，，，，0，，，，，，，，，，，，設(shè)，，是平面的一個法向量則，即令，則，，直線與平面所成角滿足：故直線與平面所成角的正弦值為10．（2012秋?小店區(qū)校級月考）如圖，四邊形中（圖，是的中點，，，，．將（圖沿直線折起，使二面角為（如圖（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求點到平面的距離．【解答】解：（1）如圖1取中點，連接，．因．（3）（1分）因，，滿足：，所以是為斜邊的直角三角形，，因是的中點，所以為的中位線，，（2分）是二面角的平面角，（3分），且、是平面內(nèi)兩相交于的直線平面平面，（4分）因．，，為等腰直角三角形，，，（6分），面，面，平面（7分）（2）如圖2，以為原點為軸，為軸，建立空間直角坐標系，（8分）則由（1）及已知條件可知，0，，，，，0，，，1，，，（9分）設(shè)異面直線與所成角為，則（10分）．（11分）（3）由，可知滿足，，是平面的一個法向量，（12分）記點到平面的距離，則在法向量方向上的投影絕對值為則（13分），所以（14分）11．（2010?浙江）如圖，在矩形中，點，分別在線段，上，．沿直線將翻折成△，使平面平面．（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）點，分別在線段，上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長．【解答】解：（Ⅰ）取線段的中點，連接，因為及是的中點，所以，又因為平面平面．如圖建立空間直角坐標系則，2，，，8，，，0，，，0，．故，2，，，0，．設(shè)，，為平面的一個法向量，，取，則．又平面的一個法向量，故．所以二面角的余弦值為（Ⅱ）設(shè)，則，0，，因為翻折后，與重合，所以，故，，得，經(jīng)檢驗，此時點在線段上，所以．方法二：（Ⅰ）解：取線段的中點，的中點，連接，，．因為及是的中點，所以又因為平面平面，所以平面，又平面，故，又因為、是、的中點，易知，所以，于是面，所以為二面角的平面角，在△中，，，所以．故二面角的余弦值為．（Ⅱ）解：設(shè)，因為翻折后，與重合，所以，而，，故得，經(jīng)檢驗，此時點在線段上，所以．12．（2021?五蓮縣期中）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，．，．（1）求證：平面；（2）當?shù)拈L為何值時，二面角的大小為．【解答】證明：（1）過作于，連接，則四邊形為矩形．又為矩形，平行且等于，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．解：（2）分別以直線、、所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，依題意可得：，0，，，，，，0，，，，，設(shè)，則，0，．，0，，，，，平面的法向量，0，．設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，（8分）二面角的大小為，，解得．當時，二面角的大小為．（12分）13．（2014秋?成都校級月考）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，，是的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求與平面所成角的大小；（Ⅲ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）分別以，所在直線為，軸，過點且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)，則，，，，，，所以，，，，，，，．解：（2）平面的法向量，0，，，，，設(shè)與平面所成角為，則，，直線與平面所成的角為．（3），0，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，令，得，1，，平面的法向量，0，，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則．平面與平面所成銳二面角的余弦值為．14．（2021?天津二模）如圖，平面，，，，、分別為，的中點．（1）證明：平面．（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求平面與平面所成銳二面角的大?。窘獯稹浚?）證明：、分別是、的中點，，，又，，，平面，平面，平面；（2）解：平面，，以點為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標系．則，0，，，4，，，0，，，0，，，0，，，，，異面直線與所成角的余弦值；（3）解：由（Ⅱ）可知，，設(shè)平面的法向量為．則，取，得．由已知可得平面的法向量為，0，，．故所求平面與平面所成銳二面角的大小為．15．（2011?浙江）如圖，在三棱錐中，，為的中點，平面，垂足落在線段上，已知，，，（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）在線段上是否存在點，使得二面角為直二面角？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【解答】解：以為原點，以方向為軸正方向，以射線的方向為軸正方向，建立空間坐標系，則，0，，，，，，2，，，2，，，0，則，3，，，0，由此可得即設(shè)，，則，，，，，，，5，，，0，設(shè)平面的法向量，，則令，則，1，平面的法向量，，則即令則，4，由得解得故綜上所述，存在點符合題意，此時16．（2015秋?江西月考）如圖，在三棱柱中，，，．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在確定點的位置，若不存在，說明理由．【解答】證明：（Ⅰ）設(shè)的中點為，，，，且，又，，，且，，，面，又平面，平面平面．解：（Ⅱ）如圖，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，0，，平面的法向量，0，，設(shè)，，則，0，，點的坐標為，，，設(shè)平面的法向量為，，，由，，得，取，得，，，，，解得，在線段上存在點，使得二面角的余弦值為，且點與點重合．17．（2021春?東湖區(qū)校級期中）如圖，在三棱柱中，，，，在底面的射影為的中點，是的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的正切值．【解答】（1）證明：，是的中點．，，，面，，，，，平面（2）解，如圖，以中點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建系．則，易知，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，得又平面的法向量為，二面角的平面角的正切值．18．（2021?舒城縣校級開學）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．【解答】（1）證明：以為原點，，所在直線分別為，軸，在平面內(nèi)作，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，，，，，，，，，，即．（2）解：由（1）可知，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，1，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，故直線與平面所成的角的正弦值為．19．（2021?滁州期末）如圖，已知在直四棱柱（側(cè)棱垂直底面的棱柱）中，，，（1）求證：平面．（2）求與平面所成的角的余弦值；（3）求二面角的正弦值．【解答】證明：（1）以為原點，、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，，1，，，0，，，，，，，平面．解：（2）設(shè)，，為平面的一個法向量，，0，，，1，，則，取，得，2，，又，1，，設(shè)與平面所面所成角為，則，與平面所成的角的余弦值為．（3）由（2）知平面的一個法向量為，2，，設(shè)，，為平面的一個法向量，，1，，，1，，則，取，得，，，設(shè)二面角的平面角為，則，．二面角的正弦值為．20．（2015秋?遼寧校級月考）如圖，在四棱錐中，面，，，，為線段上的點，（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）求與面所成的角；（Ⅲ）若滿足面，求的值．【解答】解：（1）設(shè)，，，，，，，面，，，面．解：（2）以為坐標原點，以和所在直線為軸和軸，建立空間直角坐標系，，0，，，，，，2，，，0，，設(shè)面的法向量為，則，，，，得，取，得，，，即與面所成角為，（3）設(shè)，，，，得得，即，由，得，即．21．（2021?龍崗區(qū)校級期中）如圖，在三棱臺中，平面平面，，．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．【解答】（1）證明：如圖，過點作，交與點，連接，由，，所以，由平面平面，平面平面，平面，故平面，又平面，所以，由，，則，又，，平面，所以平面，又平面，故；（2）解：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系