2021年浙江省臨海市、新昌縣高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）（附答案詳解）

2021年浙江省臨海市、新昌縣高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

2

1.已知集合4={x\x-2x<0},B=（x\0<log3x<1},則4n8=（）

A.{%|0<%<3}B.{x[l<%<3}C.{x|0<%<2}D.{x|l<%<2}

x—y+1N0

2.若實(shí)數(shù)尤，y上滿(mǎn)足約束條件2x+y—2WO,則z=%+2y的最大值是（）

ty>0

A.1B.3C.5D.7

3.已知橢圓5+丫2=1（機(jī)>1）的離心率為圣則雙曲線5-產(chǎn)=1的離心率是（）

俯視圖

A.yB.YC.10D.14

5.函數(shù)=（2*+2-*）?恒因的圖象大致為（）

6.設(shè)m，是實(shí)數(shù)，則“傷＞班”是“a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知數(shù)列{%},{bn},滿(mǎn)足a1=1,瓦=6,an+i=2%,bn+1=2bn-2an（ne7*）.

若以=瓦，%的值是（）

A.4B.5C.6D.7

8.已知正實(shí)數(shù)a,〃滿(mǎn)足a+2b=2,則=+券的最小值是（）

A.：B.[—D*

9.已知圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)P,直線/：kx-y+4=0上存在點(diǎn)Q,使得4PQ。=

會(huì)則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

A.[-V3)V3]B.(―co,—V3]U[V3,+oo)

C.[-V2,V2]D.(-oo(-V2]U[V2,+oo)

10.已知關(guān)于x的不等式（/+ax+b）之0在（0,+8）上恒成立（其中a,beR）,

則（）

A.當(dāng)a=-2時(shí)，存在匕滿(mǎn)足題意B.當(dāng)a=0時(shí)，不存在〃滿(mǎn)足題意

C.當(dāng)b=1時(shí)，存在a滿(mǎn)足題意D.當(dāng)b=2時(shí)，不存在a滿(mǎn)足題意

二、單空題（本大題共7小題，共36.0分）

11.若z=1+i(i是虛數(shù)單位)，則|z|=,z+|=

12.若二項(xiàng)式弓-3日）九的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則九=,含/項(xiàng)的系數(shù)

為_(kāi)_____

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13.已知函數(shù)/(x)=sinsx?(cossx-百sizi3X)(o>>0)的最小正周期為兀，則

3=,當(dāng)xe[0,押寸，/(%)的取值范圍是.

14.某一射擊游戲規(guī)則為：一共射擊3次，若未擊中得0分；第一次擊中得1分；若前

次未擊中，則接下去這次擊中得1分；若出現(xiàn)連續(xù)擊中情況，則后一次得分為前一

次得分加1分.某選手每次射擊擊中的概率為點(diǎn)記其參加游戲的總得分為。則

P&=2)=，E(f)=.

15.在平面四邊形A8CQ中，AM=MC,AB-~BD=CB-BD.^\AB\=m,\CB\=n,則

CA-DM=?

16.當(dāng)％e[k-+},kez時(shí)，/'(%)=k.若函數(shù)g(x)=x/(x)-mx-1沒(méi)有零點(diǎn)，

則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

17.如圖，在矩形A8C￡>中，AB=2,BC=4,E是邊40的中點(diǎn)，將△ABE沿直線

BE折成△A8E,使得二面角4-BE-C的平面角為銳角，點(diǎn)F在線段4'B上運(yùn)動(dòng)(

包括端點(diǎn))，當(dāng)直線CF與平面ABE所成角最大時(shí)，在底面ABCO內(nèi)的射影

面積為?

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.在UBC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosA=jsinC=<2cosB.

(I)求sinB的值；

(口)若c=2,求a的值.

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，M是PC的中點(diǎn)，M在平面A8C的射影恰是A4BC的

重心。，且力B=4C=BC=AP.

(I)證明：AMIBC；

(II)求直線AM與平面PAB所成角的正弦值.

20.已知數(shù)列｛加｝的首項(xiàng)為=2,前〃項(xiàng)和為％,且數(shù)列｛手｝是以1為公差的等差數(shù)列.數(shù)

列｛bn｝的首項(xiàng)&=1,bn+1=3bn(neN*).

(I)求｛斯｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(口)記7=瓦膏)就：百，求證：C1+c2+-+cn>i-^.

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21.如圖，已知點(diǎn)尸是拋物線Ci：y2=2px(p>0)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓。2：(%-2)24-

y2=1的切線PA,PB(4,8是切點(diǎn))分別與拋物線G交于點(diǎn)C,D.當(dāng)尸是坐標(biāo)原點(diǎn)0

時(shí)，|CD|=4V3.

(I)求拋物線G的方程；

(U)若CD〃AB,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

22.已知函數(shù)/(x)=e*+(1+X)。+士一a-2,g(x)=bx2+x,其中a6R,be

R.(e=2.718281828……為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(I)求/。0在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(n)若a24時(shí)，〃>)2g(x)在(0,+8)上恒成立.當(dāng)6取得最大值時(shí)，求M=等

的最小值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)榧?={x\x2-2x<0}={x|0<%<2},

又B={x|0<log3x<1}={x|l<x<3},

所以4nB={x[l<x<2}.

故選：D.

先利用一元二次不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法求出集合A,B,然后由交集的定義求解即

可.

本題考查了集合的運(yùn)算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義,

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

當(dāng)直線y=；過(guò)A時(shí),

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為3.

故選：B.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

3.【答案】C

【解析】解：橢圓*+y?=1(7n>1)的離心率為日，

可得甯=立，解得血=2,

V?n2

則雙曲線9—y2=i的離心率為：選=當(dāng)

故選：C.

利用橢圓的離心率求解m,然后求解雙曲線的離心率即可.

本題考查橢圓以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱臺(tái);

所以：l/=|x(lxl+Vlx1x2x2+2x2)x2=y.

故選：B.

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的體積.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式的應(yīng)用，

主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意,函數(shù)/(x)=(2"+2r>lg|x|,其定義域?yàn)閧x|x。0},

則f(r)=(2X+2-x)-lg|x|=/(x),即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除B,

在區(qū)間(0,1)上，2x+2-x>0,lg|x|<0,則f(x)<0,排除AC,

故選：D.

根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，在分析區(qū)間(0,1)上，/(x)的符號(hào)，用排除法分析可得

答案.

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本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值符號(hào)的分析，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：①當(dāng)正>VF時(shí)，［a>b20,>ab,.?.充分性成立，

②當(dāng)a=-3,6=1時(shí)，滿(mǎn)足a?>ab,但不滿(mǎn)足G>VF,.,.必要性不成立，

yfa>VF是a?>ab的充分不必要條件，

故選：A.

根據(jù)不等式的性質(zhì)和舉實(shí)例，借助充分必要條件的定義即可求解.

本題考查了不等式的解法與性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：數(shù)列｛冊(cè)｝,滿(mǎn)足%=1,an+1=2an,

故膏=2（常數(shù)），

所以數(shù)列8工是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

所以。九=2nT,

由于bn+i=2匕-2an,

n

所以垢+i=2bn-2,

整理得：黑—黑=/

所以數(shù)列｛箓｝是以3為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；

所以普=3—"兀-1）,

整理得：%=（一）2,

由于。=bk,

所以/-1=（m）?2匕

解得k=6.

故選：C.

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出上的值.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)

思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：?.?正實(shí)數(shù)a,6滿(mǎn)足a+2b=2,

1/,oj.oxz1.2、1”,4,2b+2,2a、、1_.2b+22a、9

=-(a+2b+2)(-+—)=-(l+4+—+—)>-x(z5+o2j—x—)=-,

當(dāng)且僅當(dāng)a=%時(shí)，取得最小值，

故選：A.

變形利用基本不等式即可得出結(jié)論.

本題考查了基本不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：直線依一丁+4=0過(guò)定點(diǎn)(0,4),

由題意可得，當(dāng)直線P。與圓相切時(shí)，4PQ0最大，止匕時(shí)1°<21=靛=2,

要使圓0：x2+y2=1上存在點(diǎn)P,直線/：以一y+4=0上存在點(diǎn)Q,使得“Q。=￡

成立，

則有d=J*w2,解得ke(―00,—百]u[b,+8).

故選：B.

由題意，當(dāng)直線尸。與圓相切時(shí)，NPQ。最大，此時(shí)|0Q|=2,然后可得圓心到直線的

第10頁(yè)，共20頁(yè)

距離小于或等于2,求解不等式可得實(shí)數(shù)A的取值范圍.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力,

是中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：；(>+ax+b)-Inx>0在(0,+8)上恒成立,

①若0<x<1,則Inx<0,

x2+ax+b<0在區(qū)間(0,1)上恒成立，令g(x)=x2+ax+b,

l，l(5(0)<0cb<0.p<0

則hig⑴WO'即Q+b+lWO'叫aS-1；

②若xNl,則①x20,

x2+ax+b>0在區(qū)間［1,+8)上恒成立，

由①知，b<0,

故g(x)20=g(l)=/+a+b20,即a+b+120,由①知a+b+IWO,

a+b+l=O,其中bW0,

對(duì)于A,當(dāng)a=-2時(shí)，6=1,不滿(mǎn)足bS0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,當(dāng)a=0時(shí)，b=—1,滿(mǎn)足bW0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,b=l>0,故不存在“滿(mǎn)足題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于力，當(dāng)b=2時(shí)，不存在。滿(mǎn)足題意，故。正確：

故選：D.

分0<x<1與久>1兩類(lèi)討論，依題意，可得a+b+1=0,其中b<0,從而對(duì)A、B、

C、。四個(gè)選項(xiàng)逐一分析可得答案

本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，求得a+b+l=O,且匕40是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分類(lèi)

討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)算，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題.

11.【答案】V22

【解析】解：1"-z=1+i,

\z\=V2,

?.?z+：=l+i+2+i++i+l—

故答案為：V2,2.

利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解.

本題主要考查了模長(zhǎng)公式和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】6729

【解析】解：?.?二項(xiàng)式C一3石尸的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為(1-3)"=64,則n=6.

根據(jù)它的通項(xiàng)公式4+1=瑞?(一3尸.xT-6，

令日—6=3,求得r=6,

故含項(xiàng)的系數(shù)為若.(—3)6=36=729,

故答案為：6；729.

由題意利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得含二項(xiàng)的系數(shù).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

13.【答案】1[_舊,1一日]

【解析】解：函數(shù)/(x)=sina>x?(cosoix-V3sinwx)

=sina)xcosa)x—V3sin2cox

1V3

=-sin2a)x——(1—cos2a)x)

=sin(2eox+；)-

因?yàn)?>0,且/(%)的最小正周期為7T,

所以7=篝=兀，解得3=1；

2a)

則/(x)=sin(2x+》一學(xué)

因?yàn)閤e[0,J

所以2%+geg,爭(zhēng),

故sin(2x+》e[—今1],

所以/(x)G[―V3,1—爭(zhēng)，

故答案為：[一百,1一日].

先利用三角恒等變換將函數(shù)f(X)的解析式化簡(jiǎn)變形，然后利用周期的計(jì)算公式求出3的

第12頁(yè)，共20頁(yè)

值；利用整體代換的思想以及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解f(x)的取值范圍即可.

本題考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期性以及值域的求解，解題的關(guān)鍵是

將函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案W藍(lán)

【解析】解：當(dāng)f=2時(shí)，說(shuō)明第一次擊中，第二次沒(méi)有擊中，第三次擊中，

所以PK=2)=3XTX；京

由題意，f的可能取值為0,1,2,3,6,

當(dāng)《=0時(shí)，說(shuō)明一次都沒(méi)擊中，則P&=0)=；x；x；=；,

ZZZo

當(dāng)6=1時(shí)，說(shuō)明擊中一次，則=1)=廢；x；x；=；,

當(dāng)；=2時(shí)，說(shuō)明第一次擊中，第二次沒(méi)有擊中，第三次擊中，則P(f=2)=；x；x；=；,

ZZZo

當(dāng)f=3時(shí)，說(shuō)明前兩次擊中，最后一次未擊中或第一次未擊中，其余兩次擊中，則P&=

3c)、=-1x—1x—1,I—1x—1x—1=—2,

72222228

當(dāng)f=6時(shí)，說(shuō)明三次都擊中，則P(f=6)=；x?x：=§

4ZZo

所以E(f)=0xq+lxg+2x"3x|+6x；?

故答案為：a*

oo

由f=2所表示的事件，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可；先求出隨機(jī)變量f

的可能取值，然后求出其對(duì)應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解即可.

本題考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量期望的求解與應(yīng)用，考查了邏

輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

15.【答案】如2_滔

【解析】解：根據(jù)題意，作出圖形如下:

因?yàn)槎?麗=蕾?麗，

所以（而一方）?前=0，即得前?前=0，

即得4c1BD,

又因?yàn)殪?祝，即點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，

所以麗=^DA+^DC=^（DB+BA）+^（DB+JC）=DB+^BA+|fiC,

所以不■DM=CA-'DB+CA-（qBA+|BC）=0+^（BA-'BC）（BA+BC）=i（B^-

—>2

BC），

又因?yàn)閨AB|=m,|CF|=n>

所以g5-DM=|m2—1n2.

故答案為：jni2—|n2

使用平面數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算，將題中數(shù)量積化簡(jiǎn)即可得到4CLBD,然后用線性運(yùn)算

將血轉(zhuǎn)化為前，放，然后使用勾股定理進(jìn)行求解.

本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題.

16.【答案】口,》“也2）

作出函數(shù)/(x)與h(x)=：+m的圖象，

由圖可知，當(dāng)x<0時(shí)，要使得函數(shù)g(x)=xf(x)-mx-1沒(méi)有零點(diǎn)，

必須滿(mǎn)足—1<%(—1)<0，解得1<771<2；

當(dāng)x>0時(shí)，要使得函數(shù)g(x)=x/(x)-mx-1沒(méi)有零點(diǎn)，

必須滿(mǎn)足1<九(|)<2或2</i(|)<3,解得5<m<g或g<m<Y.

綜上所述，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為］1,》U《,2).

故答案為：［1,}U《,2).

當(dāng)x=0時(shí)，g(0)K0,當(dāng)XH0時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)來(lái)研究，作出函

數(shù)f(x)與h(x)=5+6的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行分析求解即可.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的綜合應(yīng)用，解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問(wèn)題，常用的

方法有：(1)方程法(直接解方程得到函數(shù)的零點(diǎn))；(2)圖象法(直接畫(huà)出函數(shù)的圖象分析

得解)；(3)方程+圖象法(令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解).屬于

中檔題.

17.【答案】3—相

【解析】解：如圖，設(shè)二面角4—BE—C的平面角

/.A'HO=0,

則4。=夜sin。，HO=V2cosd,OC2=(3-

cos9)2+(1-cosd)2,

A'C2=(3—cos8')2+(1-cosO}2+2sin29,即

A'C2=12-8cosd<12,

???4BAC為鈍角，???CF2C4',

即直線CF與平面ABE所成角最大時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)就是4點(diǎn)，

另一方面，「CE1BE,：.C到平面4BE的距離為d=CE-sin9=2asM。，

???此時(shí)所成角的正弦值sina=且=善g=V2.近叵，

CAfV12-8COS0Y3—2cos8

令t=3-2cos0=遍時(shí)，角度最大，即cos。=-1

2

此時(shí)S投影面積=S原面積-cos*x2x2x等=3-倔

故答案為：3-傷.

設(shè)二面角A-BE—C的平面角NA"。=。，根據(jù)條件得到A'C?=12-8cos0<12,再

求出直線CF與平面4BE所成角最大時(shí)，C到平面4BE的距離為d=CE-sinO=

2年tn。，再求出AFBE在底面ABC。內(nèi)的射影面積.

本題考查投影面積的求法和二面角，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.【答案】解：（I）因?yàn)閏osA=1,sin2i4+cos24=1,AG（O.TT）,

所以sinA=y/1-cos2/l=-,

3

又C=7i-A-B,

所以sinC=sin（i4+8）=sinAcosB+cosAsinB=與cosB+；sinB,

因?yàn)閟inC=&cosB,即等cosB+^sinB=yflcosB?

所以s譏B=V^cosB,

又siM8+cos2^=1,

所以解得sinB=亞.

3

（II）因?yàn)閟inC=CcosB,

由（I）可得sinB=>/2cosB=乎,

所以s譏C=漁，

3

因?yàn)閏=2,

由正弦定理可得a=等=岑=釁.

sinCV63

3

【解析】（I）由己知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin4的值，根據(jù)兩角和的正弦公

式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解sinB的值.

（II）由（I）及已知可求sinC的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理即可求解“的值.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦公式，正弦定理在解三角形中

的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.【答案】解：（I）證明：連接A。，???點(diǎn)M在平面ABC的投影

為O,

???MO1平面ABC,BCu平面ABC,BC1MO,

???點(diǎn)。恰是等邊△4BC的重心，;BCLAO,

第16頁(yè)，共20頁(yè)

VM。n40=0,???BC1平面AMO,

???AM1BC.

（11）延長(zhǎng)40交8（7于點(diǎn)。，連接

由（I）得。為BC中點(diǎn)，設(shè)0D=l,

11?△ABC是正三角形，［AO=0C=2,

二正三角形邊長(zhǎng)為2遍，

由AMOC三△M04,MA1MC,得M4=MC=巡，

PM=V6，PA=2V3，MO=V2.MD=痘,PB=2MD=273.

取PB中點(diǎn)、E,-：AP=PB,.-.AE1PB,

由（1）得4M1BC,又4MlpC,得AM，平面PBC,

.-.AMLPB,：.PB1^AME,即NE4M是直線AM與平面PAB所成角，

由題意得AE=3,EM=V3.MA=V6.

,,...EM

???smZ-nEAM=——=—V3,

AE3

???直線AM與平面PAB所成角的正弦值為它.

3

【解析】（I）連接A。，則MO_L平面ABC,BC1MO,由點(diǎn)。恰是等邊△ABC的重心,

得BC1A0,從而B(niǎo)C1平面AMO,由此能證明4MlBC.

（II）延長(zhǎng)A。交BC于點(diǎn)。，連接則。為BC中點(diǎn)，設(shè)0。=1,則4。=。。=2,

正三角形邊長(zhǎng)為2舊，由^MOCSAMOA,MA1MC,得M4=MC=遍，取PB中點(diǎn)E,

推導(dǎo)出4M_L平面PBC,PBJ_平面AME,NEAM是直線AM與平面PAB所成角，由此能

求出直線AM與平面所成角的正弦值.

本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔

題.

20.【答案】（I）解：因?yàn)?=2,所以彳=2,

又?jǐn)?shù)列曲是以1為公差的等差數(shù)列，

2

所以中=n+l,Ji!!jSn=n+n,

當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn-Sn,i=2n,

當(dāng)九=1時(shí)，ar—2也適合上式，

所以Qn=2九;

因?yàn)樾?i=3bn,所以數(shù)列出九｝是公比為3的等比數(shù)列,

又瓦=1,則匕=3nT；

(an-Dbn_(2nT)3n7

（口）證明:(如+DSn+i+D―(3…+1)(3九+1)>甲-1+1)(3兀+1)'

口刃中-1+1)(3、+1)-(3n-1+l)(3n+l)一(3n-1+l)(3n+l)-3吁1+1-3n+l，

故。>金n+1

3n+l，

所以C1+C2+…+%>（土一舟）+（島一號(hào)）+…-瑞）=^一^，

故Cl+c2+-?-+cn>^-^

【解析】（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出S”，由數(shù)列的第〃項(xiàng)與前〃項(xiàng)和之間的關(guān)系

求IIIan,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解為即可；

（II）利用（I）中的結(jié)果，將“表示出來(lái)，然后利用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和，即可證

明不等式成立.

本題考查了與不等式的綜合應(yīng)用，涉及了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列的第〃項(xiàng)與前

〃項(xiàng)和之間關(guān)系的應(yīng)用，放縮法證明不等式以及裂項(xiàng)相消法求和的應(yīng)用，考查了邏輯推

理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：（I）P是坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，設(shè)切線的方程為丫=卜X,BR/cx-y=0,

由切線與圓相切，可得圓心（2,0）到切線的距離為d=韶=1,

解得k=±f,則切線的方程為丫=±?x，

當(dāng)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，釉，又|CD|=4>/5，

所以可設(shè)。的縱坐標(biāo)為2班，

則2代=1打，解得益=6,

將C（6,2g）代入拋物線的方程可得12=2p-6,

解得p=1,則拋物線的方程為y2=2x；

（口）因?yàn)镻A,P8為圓C2的兩條切線，A,B為切點(diǎn),可得PA=PB,

若CD“AB,則PC=PC.

而尸為原點(diǎn)時(shí)，切線PA,PB關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，PC,P￡>也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，而拋物線和圓

關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

第18頁(yè)，共20頁(yè)

所以此時(shí)必定有CD〃4B,而P4交拋物線于C(6,2次)，P8交拋物線于0(6,-2遮)，

而CQ在直線％=6上，不與圓。2相切，

因此P的坐標(biāo)為(0,0)；

同樣，CD//AB,如P不在這三個(gè)點(diǎn)上，由PC=PD,△「<?￡>關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng)，

難以滿(mǎn)足C,。都在拋物線上，

故P的坐標(biāo)為(0,0).

【解析】(I)設(shè)切線的方程為丫=4％,由直線和圓相切的條件：d=r,可得A和切線的

方程，由P為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可得CDlx軸，求得C,。的坐標(biāo)，代入拋物線的方程，可

得P，進(jìn)而得到拋物線的方程；

(n)由切線長(zhǎng)相等和平行線的性質(zhì)，可得PC=PD,討論尸為原點(diǎn)，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，推得

△PCD為等邊三角形，可得產(chǎn)的坐標(biāo)；由CD〃4B,如P不在這三個(gè)點(diǎn)上，由對(duì)稱(chēng)性，

可判斷結(jié)論.

本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及直線和圓、直線和拋物線的位置關(guān)系，考查

方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：(I)--/"(%)=ex+a(l+x)^1-不失，

???/'(0)=1,

又f(0)=o,

???所求切線方程為y=尤；

(11)設(shè)八0)=