特訓(xùn)02 相似三角形（解答題）解析

特訓(xùn)02相似三角形（解答題）基礎(chǔ)特訓(xùn)基礎(chǔ)特訓(xùn)練特訓(xùn)第一階——基礎(chǔ)特訓(xùn)練一、解答題1．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．【答案】【分析】根據(jù)x：y：z＝3：5：7設(shè)x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化簡求解即可．【解析】∵x：y：z＝3：5：7，∴設(shè)x＝3k、y＝5k、z＝7k，∴＝＝【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成含同一字母的式子．2．已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【答案】（1）；（2）0【分析】（1）設(shè)代入求值即可；（2）把代入3a﹣4b+5c＝54求出k的值，得a，b，c的值，從而可得結(jié)論．【解析】解：（1）由設(shè)∴（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得整理得，∴∴∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a=3k，b=4k，c=5k進(jìn)而得出k的值是解題關(guān)鍵．3．已知四邊形ABCD與四邊形相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)、點(diǎn)B與點(diǎn)、點(diǎn)C與點(diǎn)、點(diǎn)D與點(diǎn)對(duì)應(yīng)．(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度數(shù)；(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四邊形ABCD的周長．【答案】(1)120°(2)42【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等解決問題即可．（2）根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，解決問題即可．（1）解：∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴∠C＝∠C1＝90°，∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．（2）∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴＝＝，∴＝＝，∴BC＝12，AD＝6，∴四邊形ABCD的周長＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．4．如圖，已知ADBECF，它們依次交直線、于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）當(dāng)AD=5，CF=19時(shí)，求BE的長．【答案】（1）；（2）11【分析】（1）根據(jù)ADBECF可得，由此計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)A作AGDF交BE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，得出AD=HE=GF=5，由平行線分線段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出結(jié)果．【解析】解：（1）∵ADBECF，∴，∵AB=6，BC=8，∴，故的值為；（2）如圖，過點(diǎn)A作AGDF交BE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，∵AGDF，ADBECF，∴AD=HE=GF=5，∵CF=19，∴CG=CF-GF=14，∵BECF，∴，∴，解得BH=6，∴BE=BH+HE=11．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；熟練掌握平行線分線段成比例，通過作輔助線運(yùn)用平行線分線段成比例求出BH是解決問題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，AF與BE交于點(diǎn)O，ED∥AF，交BC于點(diǎn)D，求BO：OE的值．【答案】2：1【分析】由E是AC的中點(diǎn)，ED∥AF，得FD=DC，又F是BC的中點(diǎn)，易得BO：OE=BF：FD=2：1．【解析】∵E是AC的中點(diǎn)，ED∥AF∴FD=DC又∵F是BC的中點(diǎn)∴BF=FC=2FD∴BO：OE=BF：FD=2：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)圖中相等的比例關(guān)系．6．如圖，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．(1)AB＝3，求BC；(2)EF＝7.5，BE的長．【答案】(1)6(2)5【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算求解即可．（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算求解即可．（1）解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，∴，解得BC＝6，∴BC的長為6；（2）解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，∴，解得BE＝5，∴BE的長為5．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線分線段成比例定理．7．如圖，已知兩個(gè)不平行的向量、．先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）【答案】，作圖見解析【分析】首先利用平面向量的加減運(yùn)算法則化簡原式，再利用三角形法則畫出圖形．【解析】解：如圖，即為所求，【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的運(yùn)算法則以及作法，注意作圖時(shí)利用三角形法則是關(guān)鍵．8．如圖．四邊形ABCD是平行四邊形：點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)．AC、BE相交于點(diǎn)O．設(shè)，．（1）試用表示；（寫出必要步驟）（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】（1）；（2）圖見詳解，【分析】（1）首先證明，進(jìn)而問題可求解；（2）分別過點(diǎn)O作OM∥AD，ON∥AB，然后證明，進(jìn)而問題可求解．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；（2）如圖所示，在、上的分向量分別為和，∵AE∥BC，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，熟練掌握向量的線性運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．9．如圖，已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊DC、AB的中點(diǎn)，AE、CF與對(duì)角線BD分別交于點(diǎn)G、H，設(shè)，（1）試用、分別表示向量；（2）作出向量分別在、方向上的分向量．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）先證明，進(jìn)而利用三角形法則求得出，進(jìn)而求得，根據(jù)即可求得；（2）利用平行四邊形法則，即可作出向量分別在、方向上的分向量【解析】（1）四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形同理可得，；（2）如圖，分別是在、方向上的分向量【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的知識(shí)，掌握三角形法則與平行四邊形法則的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．10．如圖，是的中線，交于點(diǎn)，且．(1)直接寫出向量關(guān)于的分解式，______(2)在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中線性質(zhì)和重心性質(zhì)可得BD=BC，AG=AD，由求解即可；（2）過點(diǎn)G分別作AB、BC的平行線，分別交BC、AB于H、F，作向量、即可．（1）解：∵是的中線，交于點(diǎn)，∴BD=BC，AG=AD，∵，∴=，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，、是向量在向量和方向上的分向量．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、三角形的中線性質(zhì)、三角形的重心性質(zhì)、尺規(guī)作圖-作平行線，熟練掌握向量的線性運(yùn)算，會(huì)作出一個(gè)向量在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上的分向量是解答的關(guān)鍵．11．如圖，已知在四邊形ABCD中，F(xiàn)是邊AD上一點(diǎn)，AF＝2DF，BF交AC于點(diǎn)E，又＝．(1)設(shè)＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．(2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先用和表示出向量和，然后根據(jù)三角形法則計(jì)算即可；（2）由可得AF//BC、，先證明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，從而得出△ABF∽△ECB，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式求解即可．（1）解：∵，∴∵∴∴．故答案為：，（2）∵∴AF//BC、∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，∵AD＝3，AF＝2DF，∴AF＝2，∴BC＝8，在Rt△ABF中，BF＝＝2，又∵，∴△ABF∽△BCA，∴∠ABF＝∠BCA，∴△ABF∽△ECB，∴，∴，∴BE＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、平面向量的線性運(yùn)算，根據(jù)得到AF//BC、是解答本題的關(guān)鍵.12．如圖，在中，，，，．（1）求證：∽；（2）求的長度．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得∠ADE＝∠B，，從而可得到∽；（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，從而可得到EC的長度．【解析】（1）∵，∴，，∴∽；（2）∵∽，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理.13．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明．【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．又∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，正確找到相似的條件是解題的關(guān)鍵．14．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一線，連接AE，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．求證：△ADF∽△DEC；【答案】見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，進(jìn)而可證△ADF∽△DEC．【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，在△ADF與△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．15．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，AC2＝AD?AB，求證：△ACD∽△ABC．【答案】證明見解析．【分析】由對(duì)應(yīng)邊成比例，及夾角可得△ACD∽△ABC即可．【解析】證明：∵AC2＝AD?AB，∴AC：AB＝AD：AC．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的證明，熟練掌握相似三角形的證明方法是解題關(guān)鍵．16．在中，D為上的一點(diǎn)，E為延長線上的一點(diǎn)，交于F．求證：【答案】見解析【分析】過D作交于G，證明和相似，和相似，列出比例式變形，比較，即可解決問題．【解析】證明：過D作交于G，則和相似，∴，∵，∴，由可得和相似，∴即，∴【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明和性質(zhì)的使用，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點(diǎn)G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）先證△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求證；（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，先證△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再證EF=EC即可.解：（1）∵∠ABE=∠ACD，且∠A是公共角，∴△ABE∽△ACD．∴，即，又∵∠A是公共角，∴△AED∽△ABC．（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，在△BDE與△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，∴△BDE≌△BFE，∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，∴∠EFC=∠ACB，∴EF=EC，∴DE=CE．18．如圖，已知，在平行四邊形ABCD中，E為射線CB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，∠ADE＝∠BAC．（1）求證：CF?CA＝CB?CE；（2）如果AC＝DE，求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形性質(zhì)，得到∠ADE＝∠E．結(jié)合已知找到∠BAC＝∠E．即可證明△ACB∽△ECF．從而得到結(jié)論．（2）先證明△ADF∽△CEF．利用對(duì)應(yīng)邊成比例，結(jié)合已知AC＝DE和（1）的結(jié)論，即可證明AB＝BC，從而得到結(jié)論．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AD∥BC．∴∠ADE＝∠E．∵∠ADE＝∠BAC．∴∠BAC＝∠E．∵∠ACB＝∠ECF．∴△ACB∽△ECF．∴．∴CF?CA＝CB?CE（2）由（1）知∠ADE＝∠E．∵∠ADF＝∠CFE．∴△ADF∽△CEF．∴．∴．∵AC＝DE．∴EF＝CF．∵△ACB∽△ECF．∴AB＝BC∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)和菱形的判定等知識(shí)，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在本題中運(yùn)用．19．如圖，梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD，點(diǎn)E為邊DC的中點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F．求：(1)AF：FC的值；(2)EF：BF的值．【答案】(1)3:2(2)1:4【分析】（1）延長BE交直線AD于H，根據(jù)ADBC，可得△DEH∽△CEB，＝，進(jìn)而由AHBC，可得△AHF∽△CFB，即可求得AF：FC的值；（2）由△DEH∽△CEB，可得BE＝EH＝BH，由△AHF∽△CFB，可得FH：BF＝AF：FC＝3：2；設(shè)BF＝2a，則FH＝3a，BH＝BF+FH＝5a，根據(jù)EF＝FH﹣EH＝a，，進(jìn)而即可求得EF：BF的值(1)延長BE交直線AD于H，如圖，∵ADBC，∴△DEH∽△CEB，∴＝，∵點(diǎn)E為邊DC的中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴DH＝BC，而BC＝2AD，∴AH＝3AD，∵AHBC，∴△AHF∽△CBF，∴AF：FC＝AH：BC＝3：2；(2)∵△DEH∽△CEB，∴EH：BE＝DE：CE＝1：1，∴BE＝EH＝BH，∵△AHF∽△CFB，∴FH：BF＝AF：FC＝3：2；設(shè)BF＝2a，則FH＝3a，BH＝BF+FH＝5a，EH＝a，∴EF＝FH﹣EH＝3a﹣a＝a，∴EF：BF＝a：2a＝1：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在等腰中，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用已知條件證明即可；（2）通過證明得出，再根據(jù)，得出結(jié)論．(1)證明：，，，，，，，；(2)證明，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)以及直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理進(jìn)行證明．21．已知：如圖，在四邊形中，，過點(diǎn)作，分別交、點(diǎn)、，且滿足．(1)求證：(2)求證：【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)DFBC，得，由AB?AF=DF?BC，得，∠AFE=∠DFA，可證△AEF∽△DAF，即可得答案；（2）根據(jù)ABCD，得，由，得，再證四邊形DFBC是平行四邊形，得，最后根據(jù)DFBC，即可得答案．(1)解：∵DFBC，∴，∴，∵AB?AF=DF?BC，∴，∴，∵∠AFE=∠DFA，∴△AEF∽△DAF，∴∠AEF=∠DAF；(2)∵ABCD，∴，∴，∵，∴，∴，∵DFBC，ABCD，∴四邊形DFBC是平行四邊形，∴DF=BC，∴，∵DFBC，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是相似三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用．22．已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長線交DA的延長線于點(diǎn)G，CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】(1)先證明△CDF≌△CBE，進(jìn)而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形對(duì)邊CDBH，得到∠H=∠DCF，進(jìn)而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB?AE，得到=，再利用AGBC，平行線分線段成比例定理得到=，再結(jié)合已知條件即可求解．【解析】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．(2)∵BE2=AB?AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．23．如圖，已知的頂點(diǎn)在的邊上，與相交于點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)，，證明，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明；（2）首先由，得到，然后進(jìn)一步證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例和對(duì)應(yīng)角相等得到，，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明，得到，然后根據(jù)線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明出．【解析】證明：（1），，，，，（2），，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定方法．相似三角形性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．相似三角形的判定方法：①兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；②兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；③三組邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．24．已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC．過點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為E．過點(diǎn)C作AD的垂線交AD的延長線于F．聯(lián)結(jié)CE交FB的延長線于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)AP．(1)求證：AB?AF＝AC?AE；(2)求證：CF∥AP．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由是的角平分線，過點(diǎn)、分別作的垂線，可得，，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，可得，即可證明；（2）由（1）有，利用，，證明出，得，證明出，，通過等量代換得，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求證．（1）解：證明：平分，，又，，，，，；（2）解：證明：由（1）有，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線、以及平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意仔細(xì)識(shí)圖．培優(yōu)特訓(xùn)培優(yōu)特訓(xùn)練特訓(xùn)第二階——拓展培優(yōu)練一、解答題1．如圖，已知點(diǎn)M是△ABC邊BC上一點(diǎn)，設(shè)＝，＝．(1)當(dāng)＝2時(shí)，＝______；（用與表示）(2)當(dāng)＝時(shí)，＝______；(3)在原圖上作出在、上的分向量．【答案】(1)(2)(3)作圖見解析；分向量分別為，【分析】（1）根據(jù)三角形法則＝，只要求出即可；（2）由題意可得=，推出BM：BC＝3：7，即可解決問題；（3）根據(jù)平行四邊形法則即可解決問題；(1)∵＝，BM：CM＝2，∴＝，∴＝．故答案為：．(2)∵＝，∴＝＝，∴BM：BC＝3：7，∴BM：MC＝3：4，故答案為：．(3)如圖所示，作平行四邊形AEMF：在、上的分向量分別為，．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、三角形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．2．如圖，已知：點(diǎn)E、F分別是平行四邊形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且，BF、CD的延長線交于點(diǎn)G，設(shè)，．（1）用向量、表示向量、；（2）求作關(guān)于向量、的分向量．【答案】（1），；（2）作圖見解析．【分析】（1），可求得，則有，再根據(jù)，得，則，據(jù)此求解即可（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則有，即點(diǎn)為所求．【解析】解：（1）∵，∴∴，∴∴∵∴∴（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則有：，∴點(diǎn)為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，熟悉想性質(zhì)，特別是向量額的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．3．如圖，F(xiàn)為△BED的邊BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作交DE的延長線于點(diǎn)A，過點(diǎn)D作交BE的延長線于點(diǎn)C．(1)求證：；(2)請(qǐng)找出，，之間的關(guān)系，并給出證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由平行線分線段成比例可得，．即可得出，即證明；（2）分別過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD于N，過C作CK⊥BD交BD的延長線于K．由（1）同理可得，變形為，即．（1）證明：∵AB∥EF∴．∵CD∥EF∴，∴，∴；（2）關(guān)系式為：，證明如下：分別過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD于N，過C作CK⊥BD交BD的延長線于K．由（1）同理可得：∴即．又∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．已知：如圖，在中，BD平分，點(diǎn)E為BD延長線上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)F為線段BD上一點(diǎn)，，，，的面積為3，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）9【分析】（1）先證明，再證明，從而可得答案；（2）先證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解，可得，從而可得答案.【解析】解：（1）∵BD平分，∴，即．又∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，又∵（BD是平分線），∴，∴，∵，∴，則，即，∴，∴．∴．即的面積是9．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法與性質(zhì)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.5．已知：如圖，，，，，點(diǎn)、分別為垂足．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）先證明再證明可得從而可得結(jié)論；（2）如圖，連接證明都是等腰直角三角形，可得再證明可得證明再證明利用相似三角形的性質(zhì)可得答案.【解析】證明（1），,（2）如圖，連接都是等腰直角三角形，,【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，選擇合適的判定方法判定三角形相似是解題的關(guān)鍵.6．如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在AB邊的延長線上，點(diǎn)N在BC邊的延長線上，OM交BC于點(diǎn)E，ON交CD于點(diǎn)F，且∠MON=90°，連接MN．(1)求證：EM=FN；(2)若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點(diǎn)，求MN的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證△BOM≌△CON和△OBE≌△OFC即可得；（2）作OG⊥AB，由正方形的邊長為4且E為OM的中點(diǎn)知OG=GA=GB=2、GM=4，再根據(jù)勾股定理得OM=2，由直角三角形性質(zhì)知MN=OM．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OC，∠OCB=∠OBA=∠OCD=45°，∴∠OBM=∠OCN=135°，∵∠MON=90°，∠BOC=90°，∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON（ASA），∴OM=ON，∠BOE=∠COF，在△OBE與△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（ASA），∴OE=OF，∴OM-OE=ON-OF，即EM=FN；（2）解：如圖，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，∵正方形的邊長為4，∴OG=GA=GB=2，∵BE∥OG，∴，∵E為OM的中點(diǎn)，即EM=EO，∴BM=BG=2，∴GM=4，則OM==2，∴MN=OM=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的四條邊都相等，正方形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角及全等三角形的判定與性質(zhì)．7．如圖，已知，是上一點(diǎn)，，交于，交于，聯(lián)結(jié)．（1）求證：；（2）設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，如果，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得，，進(jìn)而可得，，由AM=AN，將比例式變形可得，由公共角進(jìn)而可得，進(jìn)而可得，即可判斷；（2）根據(jù)可得，進(jìn)而可得，根據(jù)AM=AN，可得，進(jìn)而由得，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可求得的值．【解析】解：（1）∵，∴，，∴，，∵AM=AN，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖所示：由（1）得，，∴，∴，AM=AN，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．8．如圖，在等腰直角中，，，過點(diǎn)作射線，為射線上一點(diǎn)，在邊上（不與、重合）且，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）首先利用兩角對(duì)應(yīng)相等，證明△ACD∽△ABE，進(jìn)而證明△ADE∽△ACB；（2）首先證明∠CDE=∠CED=∠BAE，再證明AE平分∠BAE，進(jìn)而得∠EAC=∠DEC，從而證明，即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：由題意可知∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°，∴∠CAD=∠BAE；∵CP∥AB，∴∠ACD=∠CAB=45°．∴△ACD∽△ABE，∴，即，又∵∠DAE=∠CAB=45°，∴△ADE∽△ACB．（2）解：∵CE=CD∴∠CED=∠CDE．∵∠AEC=∠AED+∠CED=45°+∠CED，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+∠BAE，∴∠CED=∠BAE，∴∠CDE=∠CED=∠BAE，∵CP∥AB，∴∠DCE+∠B=180°，∴∠DCE=180°-∠B=135°，∴∠CDE=∠CED=∠BAE=（180°-∠DCE）=22.5°，∴∠BAE=∠CAB，即AE為角平分線．∴∠CAE=∠CEO又∠ACE=∠ECO=90°∴∴，即∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形、平行線、角平分線、相似三角形等幾何知識(shí)點(diǎn)．本題著重考查幾何基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大．9．如圖，已知：正方形