第一次月考難點(diǎn)特訓(xùn)（三）和數(shù)字類規(guī)律計(jì)算探索有關(guān)的壓軸題（原卷版）

第一次月考難點(diǎn)特訓(xùn)（三）和數(shù)字類規(guī)律計(jì)算探索有關(guān)的壓軸題1．觀察下列等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：……請回答下列問題：（1）按照上述規(guī)律，寫出第5個等式：；（2）求的值．2．小明同學(xué)在查閱大數(shù)學(xué)家高斯的資料時，知道了高斯如何求1+2+3+…+100.小明于是對從1開始連續(xù)奇數(shù)的和進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)如下式子:第1個等式:;第2個等式:;第3個等式:探索以上等式的規(guī)律，解決下列問題:(1)

；(2)完成第個等式的填空:；(3)利用上述結(jié)論，計(jì)算51+53+55+…+109.3．仔細(xì)觀察下列三組數(shù)：第一組：1，?4，9，?16，25，…；第二組：0，?5，8，?17，24，…；第三組：0，10，?16，34，?48，…；解答下列問題：（1）每一組的第6個數(shù)分別是，，；（2）分別寫出第二組和第三組的數(shù)與第一組對應(yīng)數(shù)的關(guān)系；（3）取每組數(shù)的第10個數(shù)，計(jì)算它們的和．4．觀察下列等式：，，，將以上三個等式兩邊分別相加得：．（1）猜想并寫出：＝．（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①＝；②＝．（3）探究并解決問題：如果有理數(shù)a，b滿足|a﹣2|+|1﹣b|＝0，試求：的值．5．探索發(fā)現(xiàn)：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）＝，＝；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：＋＋…＋．6．觀察下列各式：13=1=；13+23=9=；13+23+33=36=；13+23+33+43=100=．回答下面的問題：（1）13+23+33+43+53+63=_____；（2）計(jì)算13+23+33+…+93+103的值；（3）計(jì)算：113+123+…+193+203的值．7．（1）先觀察下列等式，再完成題后問題：；；①請你猜想：＝．②若a、b為有理數(shù)，且|a﹣1|+|b﹣2|＝0，求：+?+的值．（2）探究并計(jì)算：+?+．（3）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的長方形，接著把面積為的長方形等分成兩個面積為的正方形，再把面積為的正方形等分成兩個面積為的矩形，如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計(jì)算：++++++?+（直接寫答案）．8．材料1：一般地，個相同因數(shù)相乘：記為.如，此時，3叫做以2為底的8的對數(shù)，記為（即）（1）計(jì)算__________，__________.材料2：新規(guī)定一種運(yùn)算法則：自然數(shù)1到的連乘積用表示，例如：，，，，…在這種規(guī)定下（2）求出滿足該等式的：（3）當(dāng)為何值時，9．探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“”運(yùn)算：；；；；；．（1）歸納運(yùn)算的法則：兩數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時，．（文字語言或符號語言均可）特別地，和任何數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，或任何數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算，.（2）計(jì)算：（3）是否存在有理數(shù)使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．10．【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記作a?讀作“a的圈n次方”【初步探究】（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：2③＝，（﹣）④＝；（2）關(guān)于除方，下列說法錯誤的是；A．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)B．對于任何正整數(shù)n，1?＝1C.3③＝4③D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？（3）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣）⑩＝；（4）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式是；（5）算一算：122÷（﹣）④×（﹣）③﹣（﹣）④÷3411．觀察下面三個等式：1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）將這三個等式的兩邊分別相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20，仿照上面的做法，請你完成以下問題：（1）填空：①1×2+2×3+…+10×11＝；②1×2+2×3+…+n（n+1）＝；（2）求值：11×12+12×13+…+18×19+19×20（請寫出計(jì)算過程）．12．若n表示一個整數(shù)，我們可以用2n+1表示一個奇數(shù)．下面我們來探究連續(xù)奇數(shù)的和的問題．（1）計(jì)算：1+3+5＝；1+3+5+7+9＝；（2）請用含n的代數(shù)式表示1+3+5+7+9+…+（2n+1）的值為；（3）請用上述規(guī)律計(jì)算41+43+45+…+83+85的值．13．（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：（2）利用（1）中結(jié)論，解決下列問題：①1+3+5+…+203=；②計(jì)算：101+103+105+…+199；14．a(chǎn)是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，．．．（1）求a2，a3，a4的值；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，請猜想并求出的值；（3）計(jì)算：a1?a2?a3?…?a2018?a2019．15．觀察下列有規(guī)律的數(shù)：根據(jù)規(guī)律可知：（1）第8個數(shù)是；（2）是第個數(shù)；（3）計(jì)算：．16．如圖，搭一個正方形需要4根火柴棒，搭2個正方形需要7根火柴棒，搭3個正方形需要10根火柴棒．（1）若搭5個這樣的正方形，這需要根火柴棒；（2）若搭n個這樣的正方形，這需要根火柴棒；（3）若現(xiàn)在有2021根火柴棒，要搭701個這樣的正方形，還需要火柴棒多少根？17．已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝，10m×10n＝．（m，n均為正整數(shù)）（2）運(yùn)用上述猜想計(jì)算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．18．探索發(fā)現(xiàn)：請觀察下列算式：（1），，，則第10個算式為__________＝__________．第n個算式為__________＝__________．（2）運(yùn)用以上規(guī)律計(jì)算：；（3）仿照以上方法計(jì)算：．19．觀察下列等式：第1個等式：

第2個等式：第3個等式：

第4個等式：請解答下列問題：（1）按以上規(guī)律寫出第個等式：＝．（