算法案例(秦九韶算法)課件

1.3算法案例(二)算法案例(秦九韶算法)案例2秦九韶算法一、三維目標（a）知識與技能 了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數(shù)提高計算效率的實質(zhì)。（b）過程與方法 模仿秦九韶計算方法，體會古人計算構思的巧妙.（c）情感態(tài)度與價值觀 通過對秦九韶算法的學習，了解中國古代數(shù)學家對數(shù)學的貢獻，充分認識到我國文化歷史的悠久。二、教學重難點重點：1.秦九韶算法的特點;難點:2.秦九韶算法的先進性理解.算法案例(秦九韶算法)〖教學設計〗[問題1]設計求多項式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當x=5時的值的算法,并寫出程序.x=5f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7PRINTfEND程序

點評:上述算法一共做了15次乘法運算,5次加法運算.優(yōu)點是簡單,易懂;缺點是在計算x的冪值時重復計算，運算效率不高.算法案例(秦九韶算法)的值，這樣計算上述多項式的值,一共需要9次乘法運算,5次加法運算.[問題2]有沒有更高效的算法?

分析:計算x的冪時,可以利用前面的計算結果,以減少計算量,

即先計算x2,然后依次計算

第二種做法與第一種做法相比,乘法的運算次數(shù)減少了,因而能提高運算效率.而且對于計算機來說,做一次乘法所需的運算時間比做一次加法要長得多,因此第二種做法能更快地得到結果.算法案例(秦九韶算法)[問題3]能否探索更好的算法,來解決任意多項式的求值問題?請欣賞下面的解法：f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,當x=5時,多項式的值是2677.這種求多項式值的方法就叫秦九韶算法.算法案例(秦九韶算法)秦九韶（1208年－1261年）南宋官員、數(shù)學家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學四大家。主要成就:1247年完成了數(shù)學名著《數(shù)學九章》，其中的大衍求一術、三斜求積術和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻。秦九韶算法就是中國古代數(shù)學的一枝奇葩。直到今天，這種算法仍是多項式求值比較先進的算法。美國著名科學史家薩頓說過，秦九韶是“他那個民族，他那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數(shù)學家之一”。

算法案例(秦九韶算法)例1:用秦九韶算法求多項式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當x=5時的值.解：首先將原多項式改寫成如下形式: f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,當x=5時,多項式的值是2677.然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值,即算法案例(秦九韶算法)所以，當x=2時，多項式的值是31.在上述運算中，總共用了6次乘法，6次加法所以，當x=2時，多項式的值為31.求多項式的值轉(zhuǎn)化為了求六個一次多項式的值。解：當x=2時的值時多項式的值。挑戰(zhàn)1：計算算法案例(秦九韶算法)挑戰(zhàn)2：用秦九韶算法求多項式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1當x＝2時的值.【解析】f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.當x＝2時,有v0＝8,v1＝8×2＋5＝21,v2＝21×2＋0＝42,v3＝42×2＋3＝87,v4＝87×2＋0＝174,v5＝174×2＋0＝348,v6＝348×2＋2＝698,v7＝698×2＋1＝1397,∴當x＝2時,多項式的值為1397.

注意:n次多項式有n+1項,因此缺少哪一項應將其系數(shù)補0.算法案例(秦九韶算法)v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0.

觀察上述秦九韶算法中的n個一次式,可見vk的計算要用到vk-1的值.若令v0=an,得v0=an,vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n

這是一個在秦九韶算法中反復執(zhí)行的步驟,因此可用循環(huán)結構來實現(xiàn).算法案例(秦九韶算法)

點評:秦九韶算法是求一元多項式的值的一種方法.

它的特點是:把求一個n次多項式的值轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值,通過這種轉(zhuǎn)化,把運算的次數(shù)由1+2+3+4+5+...+n次乘法運算和n次加法運算,減少為n次乘法運算和n次加法運算,大大提高了運算效率.算法案例(秦九韶算法)知識探究(二):秦九韶算法的程序設計

思考1:用秦九韶算法求多項式的值，可以用什么邏輯結構來構造算法？其算法步驟如何設計？第一步，輸入多項式的次數(shù)n，最高次 項的系數(shù)an和x的值.

第二步，令v=an，i=n-1.

第三步，輸入i次項的系數(shù)ai.第四步，v=vx+ai，i=i-1.第五步，判斷i≥0是否成立.若是，則返回第 二步；否則，輸出多項式的值v.算法案例(秦九韶算法)思考2:該算法的程序框圖如何表示？開始輸入n，an，x的值v=anv=vx+ai輸入aii≥0？i=n-1i=i-1結束是輸出v否算法案例(秦九韶算法)思考3:該程序框圖對應的程序如何表述？開始輸入n，an，x的值v=anv=vx+ai輸入aii≥0？i=n-1i=i-1結束是輸出v否INPUT“n=”；nINPUT“an=”；aINPUT“x=”；xv=ani=n-1WHILEi>=0INPUT“ai=”；bv=v*x+bi=i-1

WENDPRINTyEND算法案例(秦九韶算法)當堂檢測

：利用秦九韶算法計算

當x＝3時，求多項式f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1的值.解：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：

f(x)＝x5＋0·x4＋x3＋x2＋x＋1＝(((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1.按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當x＝3時的值：v0＝1，算法案例(秦九韶算法)v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋1＝10，v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，v5＝94×3