余弦定理教學(xué)案例設(shè)計

余弦定理教學(xué)案例設(shè)計深度學(xué)習(xí)，是師生共同經(jīng)歷的一場智慧之旅.旅程的終點不是讓學(xué)生獲得一堆零散、呆板、無用的知識，而是讓他們能夠積極、充分、靈活地運用這些知識去理解世界、解決問題、學(xué)以致用，并獲得人格的健全和精神的成長，成為新時代的社會主義建設(shè)者和接班人.任何教學(xué)活動，都要處理教師、學(xué)生、知識等教學(xué)核心要素之間的關(guān)系。以下五個方面，既是深度學(xué)習(xí)的特征，也是深度學(xué)習(xí)如何處理教學(xué)活動各要素間關(guān)系的具體體現(xiàn)。因此，這五個特征也可作為深度學(xué)習(xí)是否發(fā)生的重要判據(jù).特征一：聯(lián)想與結(jié)構(gòu)：經(jīng)驗與知識的相互轉(zhuǎn)化是指教師在教學(xué)活動中,重視學(xué)生已經(jīng)具有的知識和經(jīng)驗,讓教學(xué)活動在學(xué)生熟悉的“土壤”中進(jìn)行,學(xué)生在學(xué)習(xí)中就能順利用個人的經(jīng)驗去聯(lián)想到新知,再將新舊知識進(jìn)行同化、吸收形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu),這個過程需要學(xué)生運用多種思維共同調(diào)節(jié),從而實現(xiàn)對知識不斷吸收和加工,最終達(dá)到一種深層次的理解.特征二：活動與體驗：學(xué)生的學(xué)習(xí)機制是深度學(xué)習(xí)的核心特征，也是深度學(xué)習(xí)的重要表現(xiàn),就是在教學(xué)中要充分給予學(xué)生展示的空間,教學(xué)要以學(xué)生為主體,是學(xué)生在活動中發(fā)生的體驗,是主觀感受教學(xué)的過程,而不是盲目地、單純地接受教師的知識“灌溉”,這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、使學(xué)生成為真正發(fā)展的人的關(guān)鍵環(huán)節(jié).特征三：本質(zhì)與變式：對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行深度加工是指教學(xué)中教師要帶領(lǐng)學(xué)生把握知識的本質(zhì),學(xué)生只有掌握了本質(zhì),才能在各種變式中從容應(yīng)對,不管學(xué)習(xí)的內(nèi)容變得如何復(fù)雜,深度學(xué)習(xí)的學(xué)生都能把握知識的本質(zhì),學(xué)生還要把知識的本質(zhì)遷移到各種不同的情境中,要使學(xué)生能舉一反三,這樣才能避免“題?！钡膲毫?特征四：遷移與應(yīng)用：在教學(xué)活動中模擬社會實踐解決的是新知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的個體經(jīng)驗的問題,“遷移”要求學(xué)生在教學(xué)活動中對知識經(jīng)驗進(jìn)行拓展和升華,“應(yīng)用”是將間接經(jīng)驗直接化,將內(nèi)化的知識外顯化的過程,“遷移與應(yīng)用”可以培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力與創(chuàng)新意識.特征五：價值與評判：“人”成長的隱性要素教育的關(guān)鍵就是促進(jìn)學(xué)生成長和發(fā)展,深度學(xué)習(xí)將教學(xué)的價值最大化,不單是教會學(xué)生知識,更重要的是引領(lǐng)學(xué)生明白知識背后的思維和邏輯,教師在教學(xué)中及時評判教學(xué)活動的意義,培養(yǎng)學(xué)生形成正確的價值觀和核心素養(yǎng),實現(xiàn)立德樹人的教育目的.通過深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識，理解學(xué)習(xí)過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機、高級的社會情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀，成為極具獨立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神，基礎(chǔ)扎實的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來社會歷史實踐的主人.以上資料和觀點主要來自于《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)》（劉月霞、郭華主編）.個人認(rèn)為，基于深度學(xué)習(xí)五個特征的教學(xué)設(shè)計應(yīng)遵循以下幾個環(huán)節(jié)：一是“創(chuàng)設(shè)情境——激活先期知識和經(jīng)驗”；二是“合作探究——獲取經(jīng)驗，建構(gòu)知識”；三是“遷移運用——深度加工，形成能力”；四是“總結(jié)提煉——評價與反思，提升學(xué)生素養(yǎng)”.為了進(jìn)一步探索基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，2023年3月28日下午，在萱花中學(xué)舉行了高2025屆數(shù)學(xué)教學(xué)研討活動.本次活動中，該校謝小會老師執(zhí)教示范課.下面，以謝老師執(zhí)教的人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊6.4.3.1《余弦定理》示范課教學(xué)為例，從深度學(xué)習(xí)五個特征的角度梳理一下《余弦定理》的教學(xué)設(shè)計,僅供參考.《余弦定理》教學(xué)設(shè)計（部分）教材分析余弦定理是人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)教材6.4.3.1的教學(xué)內(nèi)容.余弦定理和正弦定理是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理，其中余弦定理是初中“勾股定理”的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。兩個定理是三角函數(shù)、平面向量知識在三角形中的具體應(yīng)用，為解決其他可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的數(shù)學(xué)問題提供方便，也是解決日常生產(chǎn)、生活中實際問題的重要工具，因此正、余弦定理成為高考的必考內(nèi)容，多用于解三角形.學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)三角函數(shù)和平面向量的相關(guān)知識，基本掌握了用向量方法解決幾何問題的基本步驟和方法，具備一定的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)，能通過特殊到一般以及轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行知識建構(gòu)。在對三角形中邊角關(guān)系進(jìn)一步認(rèn)識和梳理的基礎(chǔ)上，有能力利用向量方法探究余弦定理，并運用余弦定理解決有關(guān)三角形問題.教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷用向量方法探究余弦定理的過程，滲透轉(zhuǎn)化與化歸、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象能力；2.通過用余弦定理解決三角形的問題，培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng)，提升學(xué)生遷移運用知識的能力.教學(xué)重點用向量方法探究余弦定理.教學(xué)難點將三角形邊角關(guān)系的向量式轉(zhuǎn)化為數(shù)量式.教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，激活先期知識和經(jīng)驗師生活動：根據(jù)直角三角形的特點，引導(dǎo)學(xué)生回顧直角三角形中的邊角關(guān)系，尤其是直角三角形中的勾股定理，是情境創(chuàng)設(shè)的重點.設(shè)計意圖：以特殊三角形——直角三角形為例，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想學(xué)過的知識和已掌握的經(jīng)驗進(jìn)一步熟悉直角三角形的邊角關(guān)系，重點是引導(dǎo)學(xué)生回顧直角三角形的勾股定理.追問：對一般三角形而言，研究過哪些邊角關(guān)系呢？師生活動：在研究直角三角形邊角的基礎(chǔ)上，師生、生生合作得出三角形中大邊對大角、內(nèi)角和為180°以及全等三角形的判定定理等相關(guān)知識.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步熟悉三角形中大邊對大角、內(nèi)角和為180°以及全等三角形的判定定理等相關(guān)知識，回顧研究三角形的方法和路徑，為建構(gòu)新知識做好鋪墊.二、合作探究，建構(gòu)新知問題2：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)知識，你能用哪些方法求解？師生活動：在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，共同探究得出如下幾種解法.設(shè)計意圖：以具體案例，讓學(xué)生通過自主思考，同伴互助，教師點撥，使學(xué)生經(jīng)歷求解過程的探究活動，進(jìn)一步熟悉用向量方法解決幾何問題的步驟和方法，積累基本活動經(jīng)驗。并讓學(xué)生體驗向量作為工具解決一般幾何問題的優(yōu)越性.師生活動：師生、生生互動合作探究，利用對稱輪換的方法，得出余弦定理如下：設(shè)計意圖：在探究1的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以利用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)歷利用“三角形回路”的向量表達(dá)式表示AC向量從而求得AC長度的過程，從而得出余弦定理的結(jié)論，讓學(xué)生體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，獲得用向量方法解決幾何問題基本活動經(jīng)驗.三、遷移運用，深度加工知識問題3：結(jié)合余弦定理中的邊角關(guān)系，余弦定理可作怎樣的變形？余弦定理可解決三角形中的哪些類型題？師生活動：根據(jù)余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，可見表達(dá)式中非邊即角，學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn)該定理的三個變形式，即推論.進(jìn)而由教師引導(dǎo)學(xué)生探究用余弦定理可以解決哪些類型三角形的問題.設(shè)計意圖：通過師生對余弦定理結(jié)構(gòu)特征的分析，推導(dǎo)出余弦定理的三個推論，深度理解余弦定理，進(jìn)一步加工、建構(gòu)新知，使學(xué)生基本掌握用余弦定理可解決三角形中兩邊及角、三邊的問題，即知三求一。追問：探究1中的問題可否用余弦定理解決呢？師生活動：學(xué)生用余弦定理求AC的長度，教師有針對性地觀察學(xué)生用余弦定理解決問題的過程，及時發(fā)現(xiàn)問題并糾正.設(shè)計意圖：讓學(xué)生學(xué)會運用余弦定理，并注意領(lǐng)會余弦定理的適用范圍.問題4：結(jié)合勾股定理，仔細(xì)觀察余弦定理，你能說明二者之間的關(guān)系嗎？師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生可以得出結(jié)論，即兩個定理都是反映三角形中的邊角關(guān)系，其中余弦定理使勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例.設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行知識聯(lián)結(jié)，探究和發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在關(guān)系，從而加深對余弦定理的理解.問題5：保持探究1中的其它條件不變，把求“AC”改為求“最大角的余弦值”，怎么求解呢？追問1：保持探究1中的其它條件不變，把“B=π/3”改為“cosA=3/4”,怎么求AC呢？追問2：保持探究1中的其它條件不變，把“B=π/3”改為“sinA=3/4”,怎么求AC呢？師生活動：學(xué)生根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理自主完成以上問題，教師啟發(fā)、引導(dǎo)并觀察發(fā)現(xiàn)問題及時點撥，總結(jié)解題思路和方法.并得出解三角形的定義.設(shè)計意圖：通過以上變式訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步理解余弦定理及其變式結(jié)構(gòu)，理解余弦定理反映邊角關(guān)系的本質(zhì)，學(xué)會知三求一，解決已知三角形兩邊及角和已知三邊解三角形的問題.四、總結(jié)提升，評價反思問題6：請你敘述余弦定理及其推論的具體內(nèi)容，并說明用余弦定理的使用范圍？師生活動：學(xué)生準(zhǔn)確陳述余弦定理及推論，結(jié)合學(xué)生陳述情況，可學(xué)生互評，教師點評，并及時給予評價或鼓勵.設(shè)計意圖：總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，熟悉余弦定理，掌握用余弦定理解三角形的基本思路和方