1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（原卷版）

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知識點知識點一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系◆1、若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．◆2、若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即=（x1+x2），ca=x1x2．◆3、常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求：x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，Δ≥0這兩個前提條件．題型一已知一元二次方程的一個根求另一根或字母的值題型一已知一元二次方程的一個根求另一根或字母的值【例題1】（2023?烏魯木齊模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax﹣3＝0的一個根為1，則另一個根為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3解題技巧提煉當(dāng)常數(shù)項未知時，利用兩根的和求另一根；當(dāng)一次項系數(shù)未知時，利用兩根的積求另一根．【變式1-1】（2023?阿克蘇市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一個根，則此方程的另一個根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【變式1-2】關(guān)于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一個根x1＝﹣2，則方程的另一個根x2和k的值為（）A．x2＝1，k＝2 B．x2＝2，k＝2 C．x2＝1，k＝﹣1 D．x2＝2，k＝﹣1【變式1-3】（2023春?東莞市校級月考）如果4是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一個根，則方程的另一個根是（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-4】（2023?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）已知x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根，則k的值和方程的另一個根分別為（）A．1和2 B．﹣1和2 C．2和﹣1 D．﹣2和﹣1【變式1-5】（2022秋?鎮(zhèn)江期中）在關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理數(shù)，且方程的一個根是﹣6+10，則方程的另一個根是【變式1-6】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一個根為2，求k的值及另一個根．題型二利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值題型二利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值【例題2】（2023?河北區(qū)三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根為x1x2，則x1x2﹣（x1+x2）的值為（）A．22 B．1 C．﹣3 D．解題技巧提煉（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積.（2）將求出的兩根之和與兩根之積直接代入代數(shù)式求值.【變式2-1】（2023?亭湖區(qū)校級三模）已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的兩根，則x1﹣x1x2+x2的值是．【變式2-2】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩根分別為m，n，則m+n+mn的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【變式2-3】（2023?巨野縣三模）設(shè)方程x2﹣2023x﹣1＝0的兩個根分別為x1、x2，則x1+x2﹣x1x2的值是．【變式2-4】（2023?六盤水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的兩根，則x1+x2+2x1x2的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【變式2-5】（2023?江夏區(qū)校級模擬）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩根，則m+5nmnA．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4題型三利用根與系數(shù)的關(guān)系變形求代數(shù)式的值題型三利用根與系數(shù)的關(guān)系變形求代數(shù)式的值【例題3】（2023?耿馬縣三模）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩根分別為a，b，則1aA．-16 B．16 C．56解題技巧提煉（1）設(shè)法將求值式變形，使其含有兩根之和與兩根之積.（2）將求出的兩根之和與兩根之積整體代入代數(shù)式求值.【變式3-1】（2023?鄄城縣二模）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩根分別為x1、x2，則x12+x【變式3-2】（2023?安陸市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的兩個根，則（a﹣1）（b﹣1）的值是．【變式3-3】（2023?興慶區(qū)校級一模）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的兩根，則2m2+mn+4m的值為（）A．0 B．6 C．2 D．4【變式3-4】（2023春?江岸區(qū)校級月考）設(shè)α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的兩根，則（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值為（）A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040【變式3-5】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個實數(shù)根，求下列各式的值．（1）（x12-（2）x13x2+x1（3）x13+13x2（4）|x1﹣x2|．【變式3-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=-ba，x1x2（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩個實數(shù)根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式m2+2m+3n的值．題型四利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值題型四利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值【例題4】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0兩個實數(shù)根，代數(shù)式x13+7x22+3x2﹣66的值為．解題技巧提煉（1）設(shè)法將求值式利用將次來變形，使其含有兩根之和與兩根之積.（2）將求出的兩根之和與兩根之積整體代入代數(shù)式求值.【變式4-1】（2023?昆山市模擬）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式x13-2x12+2023x【變式4-2】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式2a3+b2+3a2﹣9a﹣b﹣1的值為．【變式4-3】m3A．﹣3 B．-2 C．2 D．【變式4-4】（2023?武昌區(qū)一模）若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，則a5+b5的值是（）A．9 B．10 C．11 D．22【變式4-5】若x1，x2與是方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，求x13﹣4x22+22的值．【變式4-6】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=-ba，x1x2（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的兩根為x1與x2，則x1+x2＝，x1x2＝．（2）應(yīng)用：求一些代數(shù)式的值．①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩個實數(shù)根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；②如果互異實數(shù)a，b滿足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．題型五由兩根滿足的關(guān)系式求字母的值題型五由兩根滿足的關(guān)系式求字母的值【例題5】（2023?樂山）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0兩根為x1、x2，且x1＝3x2，則m的值為（）A．4 B．8 C．12 D．16解題技巧提煉（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出x1+x2和x1x2的值；（2）將已知等式轉(zhuǎn)化為含x1+x2和x1x2的形式；（3）把x1+x2和x1x2的值代入（2）中的等式，然后解方程即可．【變式5-1】（2023?青山區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程x2+4x﹣a＝0有兩個實數(shù)根，且2x1﹣x2＝7，則a＝．【變式5-2】（2023?巴州區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+2）x+m2﹣1＝0．兩實數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x12+x22=58，則實數(shù)【變式5-3】（2023春?蜀山區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有兩個實數(shù)根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．【變式5-4】（2023?隨州一模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）若（x1+1）（x2+1）＝﹣2，求m的值．【變式5-5】已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的兩個實數(shù)根．（1）求：m的取值范圍；（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．【變式5-6】已知：平行四邊形ABCD的兩條邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程2x2﹣2mx+m-12（1）當(dāng)m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；（2）若AB＝2，求平行四邊形ABCD的周長．題型六已知兩根求一元二次方程題型六已知兩根求一元二次方程【例題六】（2022秋?固安縣期末）已知一元二次方程的兩根分別為x1＝﹣2，x2＝﹣3，則這個方程可以為（）A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1） B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6） C．12（x+2）（x+3）＝0 D．12（x﹣2）（x﹣3解題技巧提煉已知方程的兩個根時，逆用根與系數(shù)的關(guān)系，還原一元二次方程，在還原過程中，主要符合問題．【變式6-1】以2和﹣7為根的一元二次方程是（）A．x2﹣x﹣9＝0 B．x2+5x+14＝0 C．x2﹣10x﹣14＝0 D．x2+5x﹣14＝0【變式6-2】（2022秋?昭陽區(qū)校級月考）已知實數(shù)x1，x2滿足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x﹣4＝0 B．x2﹣3x+4＝0 C．x2+3x﹣4＝0 D．x2+3x+4＝0【變式6-3】（2022秋?泰興市期中）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，則關(guān)于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解為（）A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．以上都不對【變式6-4】若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則關(guān)于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（）A．y1＝2，y2＝﹣4 B．y1＝0，y2＝﹣4 C．y1＝3，y2＝﹣3 D．y1＝1，y2＝﹣3【變式6-5】在解一元二次方程x2+px+q＝0時，甲看錯了一次項系數(shù)，得出的兩個根分別為﹣9，﹣1；乙看錯了常數(shù)項，得出的兩個根分別為8，2，則這個方程為．【變式6-6】若x1+x2＝3，x12+x22＝5，則以x1，x2為根的一元二次方程是．題型七根與系數(shù)的關(guān)系與新定義運算題型七根與系數(shù)的關(guān)系與新定義運算【例題7】（2022春?環(huán)翠區(qū)期末）新定義運算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，則方程x※2＝5兩根的平方和為（）A．4 B．8 C．10 D．不存在解題技巧提煉根據(jù)新定義運算列出方程，然后再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來解決問題.【變式7-1】（2022秋?石阡縣月考）對于任意實數(shù)a，b，我們定義新運算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的兩個實數(shù)根，則1mA．107 B．﹣3 C．17 D【變式7-2】（2022春?河口區(qū)期末）對于任意實數(shù)a，b，我們定義新運算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的兩根，則nm+mn的值為【變式7-3】對于實數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=a2-ab(a≥b)b-aa(a＜b)例如3*1，因為3＞1，所以3*1＝32﹣3×1＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4＝0的兩個根，則x1【變式7-4】對于實數(shù)a，b，定義新運算“*”：a*b=a例如：4*2，因為4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8（1）求（﹣5）*（﹣3）的值；（2）若x1，x2是元二次方程x2﹣5x+