人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用題

人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用題人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用題/人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用題二元一次方程組知識(shí)梳理二元一次方程組一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解并認(rèn)識(shí)二元一次方程的概念.

2.了解與認(rèn)識(shí)二元一次方程的解.

3.了解并掌握二元一次方程組的概念并會(huì)求解.

4.掌握二元一次方程組的解并知道與二元一次方程的解的區(qū)別.

5.掌握代入消元法和加減消元法.

二、知識(shí)概要

1.二元一次方程：像x＋y＝2這樣的方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（x和y），并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，這樣的方程叫做二元一次方程.

2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.

3.二元一次方程組：把兩個(gè)方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合寫在一起為像這樣，把兩個(gè)二元一次方程組合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.

4.二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

5.代入消元法：由二元一次方程組中的一個(gè)方程，把一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.

6.加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.

三、重點(diǎn)難點(diǎn)

代入消元法和加減消元法是本周學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是本周學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

四、知識(shí)鏈接

本周的二元一次方程組由我們學(xué)過的一元一次方程演化而來，為以后解決實(shí)際問題提供了一種有力的工具.

五、中考視點(diǎn)

本周所學(xué)的二元一次方程組經(jīng)常在中考中的填空、選擇中出現(xiàn)，還有的出現(xiàn)在解答題的計(jì)算當(dāng)中.二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型（即二元一次方程組），解決問題.

二、知識(shí)概要

列方程組解應(yīng)用題的常見類型主要有：

１.行程問題.包括追與問題和相遇問題，基本等量關(guān)系為：路程＝速度×?xí)r間；

２.工程問題.一般分為兩類，一類是一般的工程問題，一類是工作總量為1的工程問題.

基本等量關(guān)系為：工作量＝工作效率×工作時(shí)間；

3.和差倍分問題.基本等量關(guān)系為：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×1倍量；

4.航速問題.此類問題分為水中航行和風(fēng)中航行兩類，基本關(guān)系式為：

順流（風(fēng)）：航速＝靜水（無風(fēng)）中的速度＋水（風(fēng)）速

逆流（風(fēng)）：航速＝靜水（無風(fēng)）中的速度－水（風(fēng)）速

5.幾何問題、年齡問題和商品銷售問題等.

三、重點(diǎn)難點(diǎn)

建立數(shù)學(xué)模型（二元一次方程組）是本周的重點(diǎn)，也是本周的難點(diǎn).

四、知識(shí)鏈接

本周知識(shí)是上周學(xué)的二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，為解決一些實(shí)際問題提供了一個(gè)模型，一種方法.

五、中考視點(diǎn)

二元一次方程組是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，主要有以下幾個(gè)方面：

（1）從實(shí)際數(shù)學(xué)問題中構(gòu)造一次方程組，解決有關(guān)問題；

（2）能從圖表中獲得有關(guān)信息，列方程組解決問題.第二節(jié)、教材解讀二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．從定義中可以看出：二元一次方程具備以下四個(gè)特征：

（1）是方程；

（2）有且只有兩個(gè)未知數(shù)；

（3）方程是整式方程，即各項(xiàng)都是整式；

（4）各項(xiàng)的最高次數(shù)為1.

例如：像+y＝3中，不是整式，所以+y＝3就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不是含有兩個(gè)未知數(shù)，也就不是二元一次方程；像xy+6=1中，雖然含有兩個(gè)未知數(shù)x、y且次數(shù)都是1，但未知項(xiàng)xy的次數(shù)為2，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必須同時(shí)具備以上四點(diǎn)．

2．二元一次方程組

含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組，它有兩個(gè)特點(diǎn)：一是方程組中每一個(gè)方程都是一次方程；二是整個(gè)方程組中含有兩個(gè)且只含有兩個(gè)未知數(shù)，如

一次方程組．

3．二元一次方程的一個(gè)解

符合二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解．

一般地二元一次方程的解有無數(shù)個(gè)，例如x+y=2中，由于x、y只是受這個(gè)方程的約束，并沒有被取某一個(gè)特定值而制約，因此，二元一次方程有無數(shù)個(gè)解．

4．二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解叫做這個(gè)二元一次方程組的解．

定義中的公共解是指同時(shí)使二元一次方程組中的每一個(gè)方程左右兩邊的值都相等，而不是使其中一個(gè)或部分左右兩邊的值相等，由于未知數(shù)的值必須同時(shí)滿足每一個(gè)方程，所以，二元一次方程組一般情況下只有惟一的一組解，即構(gòu)成方程組的兩個(gè)二元一次方程的公共解．第三節(jié)、錯(cuò)題剖析

【誤解】A或D．

【思考與分析】二元一次方程組的解是使方程組中的每一個(gè)方程的左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，而中的一個(gè)方程的解，并不能讓另一方程左、右兩邊相等，所以它們都不是這個(gè)方程組的解，只有C是正確的．

驗(yàn)證方程組的解時(shí)，要把未知數(shù)的值代入方程組中的每個(gè)方程中，只有使每個(gè)方程的左、右兩邊都相等的未知數(shù)的值才是方程組的解．

【正解】C．

把式③代入式②得8-3y+3y=8，0×y=0.

所以y可以為任何值.

所以原方程組有無數(shù)組解．

【思考與分析】代入法是求二元一次方程組的解的一種基本方法．它的一般步驟是：（1）從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)，用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，如本題中方程②中的x，用含y的代數(shù)式表示為x=8-3y；（2）將這個(gè)變形所得的代數(shù)式代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；這里要求代入“另一個(gè)”方程，“誤解”把它代入到變形的同一個(gè)方程中，得到了一個(gè)關(guān)于y的恒等式，出現(xiàn)了錯(cuò)誤．（3）解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；（4）將求出的未知數(shù)的值代入前面變形所得的式子中，求出另一個(gè)未知數(shù)，從而得到方程組的解．

【正解】由式②得x=8-3y③

把式③代入式①得2（8-3y）+5y=-21，

解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×37，解得x=-103.所以【例3】解方程組

【錯(cuò)解】方程①-②得：－3y=0，所以y=0，

把y=0，代入②得x=－2，所以原方程組的解為

【分析】在①-②時(shí)出錯(cuò).

【正解】①-②得：（x－2y）－（x－y）＝2－（－2）

x－2y－x＋y＝4

－y=4

y=－4

把y=－4代入②得x=－6，

所以原方程組的解為

【小結(jié)】?jī)煞匠滔鄿p時(shí)，易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，所以要特別細(xì)心.

【例4】某化妝晚會(huì)上，男生臉上涂藍(lán)色油彩，女生臉上涂紅色油彩.游戲時(shí)，每個(gè)男生都看見涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍(lán)色油彩的人數(shù)的2倍少1人；而每個(gè)女生都看見涂藍(lán)色油彩的人數(shù)是涂紅色油彩的人數(shù)的，問晚會(huì)上男、女生各有幾人？

錯(cuò)解:設(shè)晚會(huì)上男生有x人，女生有y人.

根據(jù)題意，得

把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.

所以答:晚會(huì)上男生3人，女生5人.

【分析】本題錯(cuò)在對(duì)題中的數(shù)量關(guān)系沒有弄清.每個(gè)男生都看見涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍(lán)色油彩的人數(shù)的2倍少1人，這里涂藍(lán)色油彩的人數(shù)不是題中所有的男生人數(shù)，而是除自己之外的男生人數(shù)，同理，女生看到的人數(shù)也應(yīng)是除自己以外的女生人數(shù).

正解:設(shè)晚會(huì)上男生有x人，女生有y人.

根據(jù)題意，得

把③代入④,得

x=［2（x-1）－1－1］，

解得x=12.

把x=12代入④，得y=21.

所以

答：晚會(huì)上男生12人，女生21人.解二元一次方程組的問題看似簡(jiǎn)單，但如果你稍不注意，就有可能犯如下錯(cuò)誤.

【例5】解方程組

【錯(cuò)解】方程①＋②得：2x=4，

原方程組的解是：x=2

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解只求出了一個(gè)未知數(shù)x，沒有求出另一個(gè)未知數(shù)y.所以求解是不完整的.

【正解】（接上）將x=2帶入②得：y=0.所以原方程組的解為

【小結(jié)】用消元法來解方程組時(shí)，只求出一個(gè)未知數(shù)的解，就以為求出了方程組的解，這是對(duì)二元一次方程組的解的意義不明確的表現(xiàn).應(yīng)牢記二元一次方程組的解是一組解，而不是一個(gè)解.

【例6】解方程組

【錯(cuò)解】由式①得y=2x-19

③

把式③代入式②得2（2x－19－

【錯(cuò)因分析】“錯(cuò)解”在把變形后的式③代入式②時(shí)，符號(hào)書寫出現(xiàn)了錯(cuò)誤．當(dāng)解比較復(fù)雜的方程組時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)，在求出一個(gè)未知數(shù)后，可以將它代入化簡(jiǎn)后的方程組里的任意一個(gè)方程中，求出第二個(gè)未知數(shù)，這樣使得運(yùn)算方便，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．

【正解一】化簡(jiǎn)原方程組得

【正解二】化簡(jiǎn)原方程組得

①×6+②得17x=114，

【小結(jié)】解二元一次方程組可以用代入法，也可以用加減法．一般地說，當(dāng)方程組中有一個(gè)方程的某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值是1或有一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)是0時(shí)，用代入法比較方便；當(dāng)兩個(gè)方程中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成整數(shù)倍時(shí)，用加減法比較方便．第四節(jié)、思維點(diǎn)撥小紅到郵局寄掛號(hào)信，需要郵資３元８角.小紅有票額為６角和８角的郵票若干張，問各需多少?gòu)堖@兩種面額的郵票？【思考與解】要解此題，第一步要找出問題中的數(shù)量關(guān)系.寄信需郵資３元８角，由此可知所需郵票的總票額要等于所需郵資3.8元.再接著往下找數(shù)量關(guān)系，所需郵票的總票額等于所需６角郵票的總票額加上所需８角郵票的總票額.所需６角郵票的總票額等于單位票額６角與所需６角郵票數(shù)目的乘積.同樣的，所需８角郵票的總票額等于單位票額８角與所需８角郵票數(shù)目的乘積.這就是題中蘊(yùn)含的所有數(shù)量關(guān)系.

第二步要抓住題中最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式.由圖可知最主要的數(shù)量關(guān)系是：所需郵資=所需郵票的總票額.

第三步要在構(gòu)建等式的基礎(chǔ)上找出這個(gè)數(shù)量關(guān)系中牽涉到哪些已知量和未知量.已知量是所需郵資３.8元，兩種郵票的單位票額０.6元和0.8元，未知量是兩種郵票的數(shù)目.

第四步是設(shè)元（即設(shè)未知量），并用數(shù)學(xué)符號(hào)語言將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程.設(shè)0.6元的郵票需x張，0.8元的郵票需y張，用字母和運(yùn)算符號(hào)將其轉(zhuǎn)化為方程：0.6x+0.8y=3.8.

第五步是解方程，求得未知量.由于兩種郵票的數(shù)目都必須是自然數(shù)，此二元一次方程可以用列表嘗試的方法求解.方程的解是

第六步是檢驗(yàn)結(jié)果是否正確合理.方程的兩個(gè)解中兩種郵票的數(shù)目均為正整數(shù)，將兩解代入方程后均成立，所以結(jié)果是正確合理的.

第七步是答，需要1張6角的郵票和4張8角的的郵票，或需要5張6角的郵票和1張8角的的郵票.【例2】小聰全家外出旅游，估計(jì)需要膠卷底片１２０張.商店里有兩種型號(hào)的膠卷：Ａ型每卷３６張底片，Ｂ型每卷１２張底片.小聰一共買了４卷膠卷，剛好有１２０張底片.求兩種膠卷的數(shù)量.【思考與解】第一步：找數(shù)量關(guān)系.Ａ型膠卷數(shù)＋Ｂ型膠卷數(shù)＝膠卷總數(shù)，Ａ型膠卷的底片總數(shù)＋Ｂ型膠卷的底片總數(shù)＝底片總數(shù).Ａ型膠卷的底片總數(shù)=每卷Ａ型膠卷所含底片數(shù)×Ａ型膠卷數(shù)，Ｂ型膠卷的底片總數(shù)＝每卷Ｂ型膠卷所含底片數(shù)×Ｂ型膠卷數(shù).

第二步：找出最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式.Ａ型膠卷數(shù)＋Ｂ型膠卷數(shù)＝膠卷總數(shù)，Ａ型膠卷的底片總數(shù)＋Ｂ型膠卷的底片總數(shù)＝底片總數(shù).

第三步：找出未知量和已知量.已知量是：膠卷總數(shù)，度片總數(shù)，每卷Ａ型膠卷所含底片數(shù)，每卷Ｂ型膠卷所含底片數(shù)；未知量是：Ａ型膠卷數(shù)，Ｂ型膠卷數(shù).

第四步：設(shè)元，列方程組.設(shè)Ａ型膠卷數(shù)為x，Ｂ型膠卷數(shù)為y，根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系可列出方程組：

第五步：答：Ａ型膠卷數(shù)為3，Ｂ型膠卷數(shù)為1.

【小結(jié)】我們?cè)诮膺@類題時(shí)，一般就寫出設(shè)元、列方程組并解出未知量和答這幾步，如有必要可以加上驗(yàn)證這一步.其他步驟可以省略.

【例３】用加減法解方程組

【思考與分析】經(jīng)觀察，我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，故將兩方程相加，消去y.

解：①＋②，得４x=8.

解得x=2.

把x=2代入①，得2+2y=3.

解得y=.

所以，原方程組的解為：

【思考與分析】經(jīng)觀察，我們發(fā)現(xiàn)x的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，故先將方程①×2再與方程②作差消去x較好.

解：①×２，得4x-6y=16.

③

②－③，得11y=-22.

解得y=-2.

把y=-2代入①，得２x-3×（-2）＝８.解得x=1.

所以原方程組的解為

【思考與分析】如果用代入法解這個(gè)方程組，就要從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)，然后代入另一個(gè)方程.本題中，方程②的系數(shù)比較簡(jiǎn)單，應(yīng)該將方程②進(jìn)行變形.

如果用加減法解這個(gè)方程組，應(yīng)從計(jì)算簡(jiǎn)便的角度出發(fā)，選擇應(yīng)該消去的未知數(shù).通過觀察發(fā)現(xiàn)，消去x比較簡(jiǎn)單.只要將方程②兩邊乘以2，然后將兩方程相減即可消去x.

解法1：由②得x=8-2y.③

把③代入①得

2（8-2y）+5y=21，解得y=5.

把y=5代入③得x=-2.

所以原方程組的解為：

解法2：②×2得2x+4y=16.③

①-③得2x+5y-（2x+4y）=21-16，解得y=5.

把y=5代入②得x=-2.

所以原方程組的解為

【小結(jié)】我們解二元一次方程組時(shí)，用到的都是消元的思想，用代入法還是加減法解題，原則上要以計(jì)算簡(jiǎn)便為依據(jù).【例6】用代入法解方程組

【思考與分析】經(jīng)觀察，我們發(fā)現(xiàn)方程①為用y表示x的形式，故將①代入②，消去x.

解：把①代入②，得３（y+3）-8y=14.

解得y=-1.

把y=-1代入①，得x=2.

所以原方程組的解為

【例7】用代入法解方程組

【思考與分析】經(jīng)觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)方程①更易于變?yōu)橛煤粋€(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，故選擇①變形，消去y.

解：由①，得y=2x-5.

③

把③代入②，得３x+4（2x-5）=2.解得x=2.

把x=2代入③，得y=-1.

所以原方程組的解為：

【例8】甲、乙兩廠，上月原計(jì)劃共生產(chǎn)機(jī)床90臺(tái)，結(jié)果甲廠完成了計(jì)劃的112％，乙廠完成了計(jì)劃的110％，兩廠共生產(chǎn)機(jī)床100臺(tái)，求上月兩廠各超額生產(chǎn)了多少臺(tái)機(jī)床？

【思考與分析】我們可以采用兩種方法設(shè)未知數(shù)，即直接設(shè)法和間接設(shè)法.直接設(shè)法就是題目要求什么就設(shè)什么為未知數(shù)，本題中就是設(shè)上月甲廠超額生產(chǎn)x臺(tái)，乙廠超額生產(chǎn)y臺(tái)；而間接設(shè)法就是問什么并不設(shè)什么，而是采用先設(shè)出一個(gè)中間未知數(shù)，求出這個(gè)中間未知數(shù)，再利用它同題中要求未知數(shù)的聯(lián)系，解出所要求的未知數(shù)，題中我們可設(shè)上月甲廠原計(jì)劃生產(chǎn)x臺(tái)，乙廠原計(jì)劃生產(chǎn)y臺(tái).

解法一：直接設(shè)法.

設(shè)上月甲廠超額生產(chǎn)x臺(tái)，乙廠超額生產(chǎn)y臺(tái)，則共超額了100－90＝10（臺(tái)），而甲廠計(jì)劃生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)是臺(tái)，乙廠計(jì)劃生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)是臺(tái).

根據(jù)題意，得

答：上月甲廠超額生產(chǎn)6臺(tái)，乙廠超額生產(chǎn)4臺(tái).

解法二：間接設(shè)法.

設(shè)上月甲廠原計(jì)劃生產(chǎn)x臺(tái)，乙廠原計(jì)劃生產(chǎn)y臺(tái).

根據(jù)題意，得

所以x×（112％－1）＝50×12％＝6，

y×（110％-1）＝40×10％＝4.

答：上月甲廠超額生產(chǎn)6臺(tái)，乙廠超額生產(chǎn)4臺(tái).【例9】某學(xué)校組織學(xué)生到100千米以外的夏令營(yíng)去，汽車只能坐一半人，另一半人步行.先坐車的人在途中某處下車步行，汽車則立即回去接先步行的一半人.已知步行每小時(shí)走4千米，汽車每小時(shí)走20千米（不計(jì)上下車的時(shí)間），要使大家下午5點(diǎn)同時(shí)到達(dá)，問需何時(shí)出發(fā).

【思考與分析】我們從行程問題的3個(gè)基本量去尋找，可以發(fā)現(xiàn)，速度已明確給出，只能從路程和時(shí)間兩個(gè)量中找出等量關(guān)系，有題意知，先坐車的一半人，后坐車的一半的人，車三者所用時(shí)間相同，所以根據(jù)時(shí)間來列方程組.如圖所示是路程示意圖，正確使用示意圖有助于分析問題，尋找等量關(guān)系.

解：設(shè)先坐車的一半人下車點(diǎn)距起點(diǎn)x千米，這個(gè)下車點(diǎn)與后坐車的一半人的上車點(diǎn)相距y千米，根據(jù)題意得

化簡(jiǎn)得

從起點(diǎn)到終點(diǎn)所用的時(shí)間為

所以出發(fā)時(shí)間為：17－10＝7.即早晨7點(diǎn)出發(fā).

答：要使學(xué)生下午5點(diǎn)到達(dá)，必須早晨7點(diǎn)出發(fā).

【例10】小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25％的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？（利息所得稅＝利息金額×20%，教育儲(chǔ)蓄沒有利息所得稅）

【思考與分析】設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：

解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則

答：存教育儲(chǔ)蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元.

【反思】我們?cè)诮庖恍┥媾c到行程、收入、支出、增長(zhǎng)率等的實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.第五節(jié)、競(jìng)賽數(shù)學(xué)【例1】已知方程組的解x，y滿足方程5x-y=3，求k的值.

【思考與分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法.

（１）由已知方程組消去k，得x與y的關(guān)系式，再與5x-y=3聯(lián)立組成方程組求出x，y的值，最后將x，y的值代入方程組中任一方程即可求出k的值.

（２）把k當(dāng)做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù)5x-y=3建立關(guān)于k的方程，便可求出k的值.

（３）將方程組中的兩個(gè)方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整體代入即可求出k的值.

把代入①，得，解得k=-4.

解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，

解法三：①+②，得5x-y=2k+11.

又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.

【小結(jié)】解題時(shí)我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時(shí)間，可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了，當(dāng)然，巧妙解法很容易想到的話，那就應(yīng)該用巧妙解法了.【例2】某種商品價(jià)格為每件３３元，某人身邊只帶有２元和５元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品.若無需找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出２元和５元錢的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？

【思考與分析】本題我們可以運(yùn)用方程思想將此問題轉(zhuǎn)化為方程來求解.我們先找出問題中的數(shù)量關(guān)系，再找出最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式.然后找出已知量和未知量設(shè)元，列方程組求解.

最后，比較各個(gè)解對(duì)應(yīng)的x+y的值，即可知道哪種付款方式付出的張數(shù)最少.

解：設(shè)付出２元錢的張數(shù)為x，付出５元錢的張數(shù)為y，則x，y的取值均為自然數(shù).依題意可得方程：2x+5y=33.

因?yàn)?y個(gè)位上的數(shù)只可能是０或５，

所以2x個(gè)位上數(shù)應(yīng)為３或８.

又因?yàn)椋瞲是偶數(shù)，所以２x個(gè)位上的數(shù)是８，從而此方程的解為：

由得x+y=12；由得x+y=15.所以第一種付款方式付出的張數(shù)最少.

答：付款方式有３種，分別是：付出４張２元錢和５張５元錢；付出９張２元錢和３張５元錢；付出１４張２元錢和１張５元錢.其中第一種付款方式付出的張數(shù)最少.【例3】解方程組

【思考與分析】本例是一個(gè)含字母系數(shù)的方程組.解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時(shí)乘以或除以字母表示的系數(shù)時(shí)，也需要弄清字母的取值是否為零.

解：由①，得

y=4－mx，

③

把③代入②，得

2x+5（4－mx）=8，

解得

（2－5m）x=-12，當(dāng)2－5m＝0，

即m＝時(shí)，方程無解，則原方程組無解.

當(dāng)2－5m≠0，即m≠時(shí)，方程解為

將代入③，得

故當(dāng)m≠時(shí)，

原方程組的解為

【小結(jié)】含字母系數(shù)的一次方程組的解法和數(shù)字系數(shù)的方程組的解法相同，但注意求解時(shí)需要討論字母系數(shù)的取值情況．

對(duì)于x、y的方程組中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均為已知數(shù)，且a1與b1、a2與b2都至少有一個(gè)不等于零，則

①時(shí)，原方程組有惟一解；

②時(shí)，原方程組有無窮多組解；

③時(shí)，原方程組無解.【例4】某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同.安全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了訓(xùn)練：當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí)，2分鐘內(nèi)可以通過560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和一道側(cè)門時(shí)，4分鐘可以通過800名學(xué)生.

（1）求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生？

（2）檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20％.安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離.假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問：建造的這4道門是否符合安全規(guī)定？請(qǐng)說明理由.

【思考與解】（1）設(shè)平均每分鐘一道正門可通過x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過y名學(xué)生.

根據(jù)題意，得

所以平均每分鐘一道正門可以通過學(xué)生120人，一道側(cè)門可以通過學(xué)生80人.

（2）這棟樓最多有學(xué)生4×8×45=1440（人）.擁擠時(shí)5分鐘4道門能通過

5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.

因?yàn)?600>1440，所以建造的4道門符合安全規(guī)定.

答:平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過120名學(xué)生、80名學(xué)生；建造的這4道門符合安全規(guī)定.【例5】某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：

張強(qiáng)兩次共購(gòu)買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請(qǐng)問張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買香蕉多少千克？

【思考與分析】要想知道張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價(jià)格和張強(qiáng)買的香蕉的千克數(shù)以與付的錢數(shù)來入手.通過觀察圖表我們可知香蕉的價(jià)格分三段，分別是6元、5元、4元.相對(duì)應(yīng)的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設(shè)張強(qiáng)兩次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi)，利用分類討論的方法求得張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買香蕉的千克數(shù).

解：設(shè)張強(qiáng)第一次購(gòu)買香蕉x千克，第二次購(gòu)買香蕉y千克．由題意，得0<x<25．

①當(dāng)0<x≤20，y≤40時(shí)，由題意，得

②當(dāng)0<x≤20，y>40時(shí)，由題意，得（與0<x≤20，y≤40相矛盾，不合題意，舍去）．

③當(dāng)20<x<25時(shí)，25<y<30．此時(shí)張強(qiáng)用去的款項(xiàng)為5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合題意，舍去）.

綜合①②③可知，張強(qiáng)第一次購(gòu)買香蕉14千克，第二次購(gòu)買香蕉36千克.

答：張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買香蕉14千克、36千克.

【反思】我們?cè)谧鲞@道題的時(shí)候，一定要考慮周全，不能說想出了一種情況就認(rèn)為萬事大吉了，要進(jìn)行分類討論，考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意.【例6】用如圖１中的長(zhǎng)方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖２的豎式和橫式兩種無蓋紙盒.現(xiàn)在倉(cāng)庫里有１０００張正方形紙板和２000張長(zhǎng)方形紙板，問兩種紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫存的紙板用完？

【思考與分析】我們已經(jīng)知道已知量有正方形紙板的總數(shù)1000，長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)2０００，未知量是豎式紙盒的個(gè)數(shù)和橫式紙盒的個(gè)數(shù).而且每個(gè)豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數(shù)量的正方形紙板和長(zhǎng)方形紙板做成，如果我們知道這兩種紙盒分別要用多少?gòu)堈叫渭埌搴烷L(zhǎng)方形紙板，就能建立起如下的等量關(guān)系：

每個(gè)豎式紙盒要用的正方形紙板數(shù)×豎式紙盒個(gè)數(shù)+每個(gè)橫式紙盒要用的正方形紙板數(shù)×橫式紙盒個(gè)數(shù)=正方形紙板的總數(shù)

每個(gè)豎式紙盒要用的長(zhǎng)方形紙板數(shù)×豎式紙盒個(gè)數(shù)+每個(gè)橫式紙盒要用的長(zhǎng)方形紙板數(shù)×橫式紙盒個(gè)數(shù)=長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)

通過觀察圖形，可知每個(gè)豎式紙盒分別要用１張正方形紙板和４張長(zhǎng)方形紙板，每個(gè)橫式紙盒分別要用２張正方形紙板和３張長(zhǎng)方形紙板.

解：由題中的等量關(guān)系我們可以得到下面圖表所示的關(guān)系.

設(shè)豎式紙盒做x個(gè)，橫式紙盒做y個(gè).根據(jù)題意，得

①×4-②，得５y=2000，

解得y=400.

把y=400代入①，得x+800=1000，

解得x=200.

所以方程組的解為

因?yàn)?00和400均為自然數(shù)，所以這個(gè)解符合題意.

答：豎式紙盒做２００個(gè)，橫式紙盒做４００個(gè)，恰好將庫存的紙板用完.第六節(jié)、本章訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、填空題（每題7分，共35分）

1.一個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字之和是7，這個(gè)兩位數(shù)減去27，它的十位和個(gè)位上的數(shù)字就交換了位置，則這個(gè)兩位數(shù)是

.

2.已知甲、乙兩人從相距３６km的兩地同時(shí)相向而行，1h相遇.如果甲比乙先走h(yuǎn)，那么在乙出發(fā)后h與甲相遇.設(shè)甲、乙兩人速度分別為xkm/h、ykm/h，則x＝

，y＝

.

3.甲、乙二人練習(xí)賽跑，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘就能追上乙；如果甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑4秒鐘就能追上乙，兩人每秒鐘各跑的米數(shù)是

.

4.一隊(duì)工人制造某種工件，若平均每人一天做5件，全隊(duì)一天就超額30件；若平均每人一天做4件，全隊(duì)一天就比定額少完成20件.若設(shè)這隊(duì)工人有x人，全隊(duì)每天的數(shù)額為y件，則依題意可得方程組

.

5.某次知識(shí)競(jìng)賽共出了25道題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：答對(duì)1題加4分；答錯(cuò)1題扣1分；不答記0分.已知小明不答的題比答錯(cuò)的題多2道，他的總分為74分，則他答對(duì)了

.

二、選擇題（每題7分，共35分）

1.一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小2，且能被3整除，若將十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換又能被5整除，這個(gè)兩位數(shù)是（

）.

A.53

B.57

C.35

D.75

2.甲、乙兩車相距150km，兩車同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲車4h可追上乙車；相向而行，1.5h后兩車相遇.設(shè)甲、乙兩車的平均速度分別為xkm/h、ykm/h.以下方程組正確的是（

）.

3.甲、乙二人從同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行，甲騎車乙步行.若乙先行12km，那么甲1小時(shí)追上乙；如果乙先走1小時(shí)，甲只用小時(shí)就追上乙，則乙的速度是（

）km/h.

A.6

B.12

C.18

D.36

4.一艘船在一條河上的順流速度是逆流速度的2倍，則船在靜水中的速度與水流的速度之比為（

）.

A.4：3

B.3：2

C.2：1

D.3：1

5.某校初中畢業(yè)生只能報(bào)考第一高中和第二高中中的一所.已知報(bào)考第一高中的人數(shù)是報(bào)考第二高中的2倍，第一高中的錄取率為50％，第二高中的錄取率為60％，結(jié)果升入第一高中的人數(shù)比升入第二高中的人數(shù)多64人，則升入第一高中與第二高中的分別有（

）.

A.320人，160人

B.100人，36人

C.160人，96人

D.120人，56人

三、列方程組解應(yīng)用題（每題15分，共30分）

1.一批機(jī)器零件共840個(gè)，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，問兩人每天各做多少個(gè)機(jī)器零件？

2.師傅對(duì)徒弟說“我像你這樣大時(shí)，你才4歲，將來當(dāng)你像我這樣大時(shí)，我已經(jīng)是52歲的人了”.問這位師傅與徒弟現(xiàn)在的年齡各是多少歲？答案

一、填空題

1.52

2.９，１１

3.甲跑6米，乙跑4米

5.19道題

二、選擇題

1.B2.B3.A4.D5.C

三、列方程組解應(yīng)用題

1.【解題思路】由題意得甲做12天，乙做8天能夠完成任務(wù)；而甲做9天，乙做13天也能完成任務(wù)，由此關(guān)系我們可列方程組求解.

解：設(shè)甲每天做x個(gè)機(jī)器零件，乙每天做y個(gè)機(jī)器零件，根據(jù)題意，得

答：甲每天做50個(gè)機(jī)器零件，乙每天做30個(gè)機(jī)器零件

2.【解題思路】由“我像你這樣大時(shí)，你才4歲”可知師傅現(xiàn)在的年齡等于徒弟現(xiàn)在的年齡加上徒弟現(xiàn)在的年齡減4，由“當(dāng)你像我這樣大時(shí)，我已經(jīng)是52歲的人了”可知52等于師傅現(xiàn)在的年齡加上師傅現(xiàn)在的年齡減去徒弟的年齡.由這兩個(gè)關(guān)系可列方程組求解.

解：設(shè)現(xiàn)在師傅x歲，徒弟y歲，根據(jù)題意，得

答：現(xiàn)在師傅36歲，徒弟20歲.提高訓(xùn)練題甲、乙兩人分別從相距30千米的A、B兩地同時(shí)相向而行，經(jīng)過3小時(shí)后相距3千米，再經(jīng)過2小時(shí)，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度.2.小華不小心將墨水濺在同桌小麗的作業(yè)本上，結(jié)果二元一次方程組中第一個(gè)方程y的系數(shù)和第二個(gè)方程x的系數(shù)看不到了，現(xiàn)在已知小麗的結(jié)果是你能由此求出原來的方程組嗎？3.若是關(guān)于x，y的二元一次方程3x-y+a=0的一個(gè)解，求a的值.

4.已知方程組

其中正確的說法是（）

A．只有（1）、（3）是二元一次方程組；

B．只有（1）、（4）是二元一次方程組；

C．只有（2）、（3）是二元一次方程組；

D．只有（2）不是二元一次方程組．

答案

1.解：設(shè)甲、乙的速度分別為x千米/時(shí)和y千米/時(shí).

第一種情況：甲、乙兩人相遇前還相距3千米.

根據(jù)題意，得

第二種情況：甲、乙兩人是相遇后相距3千米.

根據(jù)題意，得

答：甲、乙的速度分別為4千米/時(shí)和5千米/時(shí)；或甲、乙的速度分別為千米/時(shí)和千米/時(shí).

2.解：設(shè)第一個(gè)方程中y的系數(shù)為a，第二個(gè)方程的x系數(shù)為b.則原方程組可寫成

3.解：既然是關(guān)于x、y的二元一次方程3x－y＋a＝0的一個(gè)解，那么我們把代入二元一次方程3x－y＋a＝0得到3－2＋a＝0，解得a＝－1.

4.解：二元一次方程組是由兩個(gè)以上一次方程組成并且只含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組，所以其中方程可以是一元一次方程，并且方程組中方程的個(gè)數(shù)可以超過兩個(gè)．本題中的（1）、（3）、（4）都是二元一次方程組，只有（2）不是．所以選D.強(qiáng)化訓(xùn)練題1.解關(guān)于x，y的方程組，并求當(dāng)解滿足方程4x－3y＝21時(shí)的k值

2.有兩個(gè)長(zhǎng)方形，第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比為5∶4，第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比為3∶2，第一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比第二個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)大112cm，第一個(gè)長(zhǎng)方形的寬比第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的2倍還大6cm，求這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積.3.甲乙兩人做加法，甲在其中一個(gè)數(shù)后面多寫了一個(gè)0，得和為2342，乙在同一個(gè)加數(shù)后面少寫了一個(gè)0，得和為65，你能求出原來的兩個(gè)加數(shù)嗎？4.某校2006年初一年級(jí)和高一年級(jí)招生總數(shù)為500人，計(jì)劃2007年秋季初一年級(jí)招生人數(shù)增加20％，高一年級(jí)招生人數(shù)增加25％，這樣2007年秋季初一年級(jí)、高一年級(jí)招生總數(shù)比2006年將增加21％，求2007年秋季初一、高一年級(jí)的招生人數(shù)各是多少？答案

從而第一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：

5x×4x＝20x2＝1620（cm2）；

第二個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：

3y×2y＝6y2＝150（cm2）.

答：這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別為1620cm2和150cm2.3.解：設(shè)兩個(gè)加數(shù)分別為x、y.根據(jù)題意，得解得

所以原來的兩個(gè)加數(shù)分別為230和42.

4.解：設(shè)2007年初一年級(jí)秋季招生人數(shù)為x，高一年級(jí)招生人數(shù)為y.

根據(jù)題意得

解得

答：2007年初一年級(jí)秋季招生人數(shù)為480人，高一年級(jí)招生人數(shù)為125人.綜合訓(xùn)練題一、精心選一選（每題7分，共35分）

1.方程組的解是（

）.

2.在一次小組競(jìng)賽中，遇到了這樣的情況：如果每組7人，就會(huì)余3人；如果每組8人，就會(huì)少5人.問競(jìng)賽人數(shù)和小組的組數(shù)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，組數(shù)為y，根據(jù)題意，可列方程組（）.

3.買甲、乙兩種純凈水共用250元，其中甲種水每桶8元，乙種水每桶6元，乙種水的桶數(shù)是甲種水的桶數(shù)的75%，設(shè)買甲種水x桶、乙種水y桶，則所列方程組中正確的是（）.

4.一個(gè)兩位數(shù)被9除余2，如果把它的十位與個(gè)位交換位置，則所得的兩位數(shù)被9除余5，設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則下面正確的是（

）.（以下選項(xiàng)中k1、k2都為整數(shù)）

5.用面值l元的紙幣換成面值為l角或5角的硬幣，則換法共有（

）種.

A.4

B.3

C.2

D.1

二、用心填一填（每題7分，共35分）

1.一艘輪船順流航行，每小時(shí)行20千米；逆流航行每小時(shí)行16千米.則輪船在靜水中的速度為

______，水流速度為______.

2.一隊(duì)工人制造某種工件，若平均每人一天做5件，那么全隊(duì)一天就比定額少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全隊(duì)一天就超額20件.則這隊(duì)工人有______人，全隊(duì)每天制造的工件數(shù)額為______件.