振動與沖擊理論基礎(chǔ)概念

第3章

振動與沖擊理論基礎(chǔ)——力學(xué)基礎(chǔ)（沖擊、振動）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微分方程、隨機過程）1 概述商品破損的原因:（1）沖擊——沖擊過程的時間歷程不能用數(shù)學(xué)式描述；沖擊幅值是多峰狀態(tài)，包裝的響應(yīng)是隨機分布的；沖擊波的形狀比較復(fù)雜，難以用簡單的函數(shù)表達；沒有明確的沖擊作用時間，很難用脈寬來定量時間；(2)振動——某個物理量的值在觀測時間內(nèi)不斷地經(jīng)過極大值和極小值地變化，這種狀態(tài)的改變稱為振動。機械振動——物體在平衡位置附近所做的周期性往復(fù)運動稱為機械振動。（包裝動力學(xué)研究的重點）氣候條件（溫濕度、風(fēng)雨、鹽霧等）其他因素（如有害氣體、熱源、放射源、氣味源和日光照射等）脆值1.1

機械振動組成：振動系統(tǒng)（單擺），振源（給一初始位移），響應(yīng)振動問題：已知振源、系統(tǒng)特性，求響應(yīng)環(huán)境預(yù)測：已知系統(tǒng)特性、響應(yīng)，求輸入系統(tǒng)識別：已知輸入、響應(yīng)，求系統(tǒng)特性車床+混凝土機座彈性墊振動系統(tǒng)激勵響應(yīng)1.1

實際包裝系統(tǒng)——簡化1.2

力學(xué)模型簡化力學(xué)模型的原則：要正確反映包裝系統(tǒng)的特性；在正確反映包裝系統(tǒng)的特性的前提下盡可能簡化模型?？紤]的具體問題：包裝產(chǎn)品是均質(zhì)剛體，還是由多個部件組成？產(chǎn)品的擺放方式？是否考慮外包裝箱的質(zhì)量和彈性？是否考慮緩沖材料的質(zhì)量？是否考慮緩沖材料的粘性？1.2

力學(xué)模型——單自由度系統(tǒng)假設(shè)：被包裝產(chǎn)品為均質(zhì)剛體，略去外包裝箱的質(zhì)量和彈性，不計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和阻尼的彈性體。m：產(chǎn)品質(zhì)量k：緩沖襯墊材料的彈性系數(shù)c：緩沖襯墊材料的粘性阻尼系數(shù)1.2

力學(xué)模型——二自由度系統(tǒng)假設(shè)：略去外包裝箱的質(zhì)量和彈性，不計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和阻尼的彈性體。m1,m2：易損件和產(chǎn)品質(zhì)量；k1，c1：易損件與產(chǎn)品間的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)；k2，c2：產(chǎn)品主體與外包裝箱間的緩沖材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。1.2

力學(xué)模型——三自由度系統(tǒng)假設(shè)：不計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和阻尼的彈性體。m1,m2：易損件和產(chǎn)品質(zhì)量；m3：外包裝箱的質(zhì)量（外包裝箱很重時）；k1，c1：易損件與產(chǎn)品間的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)；k2，c2：產(chǎn)品主體與外包裝箱間的緩沖材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。1.2

力學(xué)模型——多自由度系統(tǒng)1.2

力學(xué)模型——多自由度系統(tǒng)假設(shè)：產(chǎn)品疊放在同一包裝箱中或同一產(chǎn)品有多個關(guān)鍵零部件不計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和阻尼的彈性體。m1,m2…mn：質(zhì)量；k1，k2…kn：彈性系數(shù)；c1，c2…cn：粘性阻尼系數(shù)。1.3

機械振動的分類按自由度分：單自由度系統(tǒng)，二自由度系統(tǒng)，三自由度系統(tǒng)，多自由度系統(tǒng)，連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)；按系統(tǒng)運動的微分方程分：線性振動（運動方程為線性微分方程）；非線性振動（運動方程為非線性微分方程）；按系統(tǒng)輸入類型分：自由振動：系統(tǒng)只受初干擾或外界激勵取消后，系統(tǒng)僅在彈性恢復(fù)力的作用下產(chǎn)生振動。強迫振動：系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動；自激振動：系統(tǒng)在輸入和輸出之間有反饋特性，并有能量補充而產(chǎn)生的診斷。按系統(tǒng)輸出規(guī)律分：周期振動隨機振動2

單自由度線性系統(tǒng)的振動2.1

單自由度線性系統(tǒng)的自由振動自由振動——振體在受到初干擾（初位移或初速度）后，僅在系統(tǒng)恢復(fù)力的作用下在平衡位置附近作往復(fù)運動稱為自由振動。2.1.1

無阻尼系統(tǒng)的自由振動(a)(b)(c)平衡位置（1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解圖（b）圖（c）W=F=kF=

-

k(（2-1）)

負(fù)號表示力的方向根據(jù)牛頓第2定律

F=ma

得振動體的運動微分方程：W-

k(

)=m由（2-1）得

m

=

-

k（作用在振動方向的常力只影響振動中心的位置，而不影響振動規(guī)律）（1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解設(shè)得解：系統(tǒng)的固有特性，固有頻率）（二階常系數(shù)線性齊次微分方程）C，D待定系數(shù)代入初始條件：所以,得方程的解（1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解令A(yù)振幅：振體偏離振動中心的最大距離相位角，A，由運動的初始條件定。（2）周期、頻率和圓頻率——運動狀態(tài)具有周期性周期：物體作一次完全振動（來回一次）所需的時間稱為振動周期，用T表示，則物體在任一時刻t的運動狀態(tài)（位置和速度）應(yīng)該與物體在t+T的運動狀態(tài)（位置和速度）相同由于正弦函數(shù)的數(shù)值每經(jīng)過2π重復(fù)一次，故頻率：周期的倒數(shù)稱為頻率。它表示單位時間內(nèi)（每秒）物體所作的完全振動的次數(shù)，單位為赫茲（Hz）。圓頻率

：表示振動體在2π秒內(nèi)的振動次數(shù)。

（弧度/秒）（2）周期、頻率和圓頻率之間的關(guān)系說明：周期、頻率或固有頻率都是由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定的量；這種由系統(tǒng)本身性質(zhì)所決定的周期、頻率或圓頻率往往稱為固有周期、固有頻率或固有圓頻率。（3）計算固有頻率的能量法根據(jù)能量守恒定理，系統(tǒng)的機械能守恒：T+V=常數(shù)

T：動能，V：勢能具體研究質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)：振動體在任意位置且有速度

，則（3）計算固有頻率的能量法平衡位置：極限位置：在上述系統(tǒng)中：，即代入（4）串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效剛度串聯(lián)彈簧（4）串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效剛度并聯(lián)彈簧：推廣到N個并聯(lián)彈簧：2.1.2

阻尼對自由振動的影響——衰減振動(1)阻尼振動：振幅隨時間而減小的振動稱為阻尼振動。

(2)粘滯阻尼的大小:當(dāng)振體以不大的速度在流體介質(zhì)（空氣、油類等）中運動時，介質(zhì)給振體的阻尼的大小與振體速度成正比，即——粘滯阻尼系數(shù)，取決于振體的形狀、大小和介質(zhì)的性質(zhì)，單位為牛頓?秒/米?！?/p>

振體速度，米/秒?！?/p>

牛頓。-號表示阻尼的方向與振體速度的方向相反。（3）單自由度有阻尼系統(tǒng)的受力分析取平衡位置為坐標(biāo)原點

，該系統(tǒng)的運動微分方程為方程的解可設(shè)為（二階常系數(shù)線性齊次微分方程）代入微分方程

得——

該系統(tǒng)的特征方程特征方程的解產(chǎn)生重根的情況在物理上具有特殊意義，將對應(yīng)的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)。設(shè)——系統(tǒng)中實際存在的阻尼與該系統(tǒng)臨界阻尼系數(shù)之比，稱為阻尼比。(A)

小阻尼系統(tǒng)的自由振動（<1）——弱阻尼系統(tǒng)特征方程有兩個虛根：振體運動的微分方程的解為：或式中：A和

取決與系統(tǒng)本身的特性和初始條件衰減周期和對數(shù)衰減率衰減周期：

無阻尼自由振動的周期較小，對系統(tǒng)周期影響較小。在小阻尼情況下，可忽略不計。設(shè)相鄰兩次的振幅分別為

和

，則振幅比為：任意兩個相鄰振幅的比值都是常數(shù)，通常用振幅比的自然對數(shù)來表示幅值的衰減率——對數(shù)衰減率（主要用于由實驗方法來確定系統(tǒng)的阻尼）(B)

臨界阻尼系統(tǒng)的自由振動（

=1）振體運動的微分方程的解為：—按指數(shù)規(guī)律衰減的響應(yīng)，A、B取決于初始條件。(C)

大阻尼系統(tǒng)的自由振動（

>1）——強阻尼系統(tǒng)特征方程有兩個負(fù)實根

：振體運動的微分方程的解為兩個衰減指數(shù)函數(shù)的和：取決于初始條件例題1：緩沖襯墊的排列如圖所示，其中緩沖襯墊的彈簧剛度為

，

，

，求等效彈簧剛度。解：例題2：已知單自由度小阻尼系統(tǒng)在

時的第三個振幅比第二個振幅降低了20%，求此系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和固有頻率。解：（1）求阻尼系數(shù)小阻尼系統(tǒng)對數(shù)衰減率：的（2）求固有頻率振動周期，阻尼系統(tǒng)的固有頻率為：2.2

單自由度系統(tǒng)的受迫振動受迫振動：振動系統(tǒng)在長時間或瞬間的激勵作用下發(fā)生的振動。2.2.1

運動微分方程及求解以靜平衡位置為坐標(biāo)原點，坐標(biāo)向下為正。F（t）簡諧擾力（二階常系統(tǒng)非齊次微分方程）2.2.1

運動微分方程及求解方程的解為：其中：為對應(yīng)的齊次方程的通解，設(shè)，則是一個衰減運動，瞬態(tài)解，通常不考慮；為特解（穩(wěn)態(tài)解）：為強迫振動的振幅，

為相位角。代入非齊次微分方程中，可得將——強迫振動的振幅和相位角只決定于系統(tǒng)本身的特性和干擾力的性質(zhì)，與運動的初始條件無關(guān)。(1)頻率比

：穩(wěn)態(tài)解為：靜力偏移

：動力放大系數(shù)

：—力幅作用下系統(tǒng)的偏移表示干擾力對振動系統(tǒng)動力作用的效果，取決于

和

。(4)曲線（以為參變量）(4)

曲線（以

為參變量）——緩慢交A．《1，即

（低頻段），

接近1，

接近變的干擾力的動力作用接近其靜力的作用。B．

》1，即

（高頻段），

接近0，——干擾力交變極其迅速時，振體由于慣性幾乎來不及振動。增大時，對于確定的C．對

的各條曲線，當(dāng)和，都有相應(yīng)的最大值——共振——解決問題！——求出共振時

和

，——求極值的問題。當(dāng)

值較?。▽嶋H中往往如此），認(rèn)為

，即干擾力頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時發(fā)生共振，

。當(dāng)

，無共振現(xiàn)象。D.當(dāng)

=0，無阻尼自由振動。從圖上可以看出，小阻尼系統(tǒng)和無阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)沒有區(qū)別。因此，在

和時可以按無阻尼系統(tǒng)來計算

值。例題3：在如圖所示的振動系統(tǒng)中，已知彈簧常數(shù)，物塊質(zhì)量，粘滯阻尼系數(shù)，干擾力的力幅，干擾力頻率，試求振體的受迫振動。解：分析——求

和（注意單位）——求

和求系統(tǒng)的固有頻率求頻率比求阻尼比求

和2.2.2

支座激勵與隔振強迫振動——外界的激勵力，位移干擾。（1）系統(tǒng)運動微分方程及求解運動微分方程為將方程的穩(wěn)態(tài)解為：（2）傳遞率:（振體振幅與支座振動的振幅的比值）（3）

曲線（

為參變量）《1，《1，，隔振體的固有頻率遠(yuǎn)大于激勵頻率時，≈1，沒有隔振效果。區(qū)域內(nèi)，，振體振幅會被放大，當(dāng)，發(fā)生共振。——放大區(qū)。運輸包裝工具在起制動過程中可能會經(jīng)過放大區(qū)，因此隔振體（緩沖結(jié)構(gòu)）應(yīng)有適當(dāng)?shù)淖枘?。C．

，應(yīng)用中取，有隔振效果，稱為隔振區(qū)。在實際。（4）傳遞率曲線分析例4：包裝件內(nèi)裝產(chǎn)品在靜平衡時壓縮緩沖襯墊引起的靜變形為5.08cm如果此包裝放在運輸車上，支座擾頻為

，支座擾力幅值

，求產(chǎn)品最大位移和最大加速度。解：分析，求在本題中不考慮阻尼，故（1）求系統(tǒng)固有頻率（注意單位）求傳遞率求2.2.3

任意周期激勵力引起的強迫振動（1）非簡諧周期激振力引起的受迫振動按富里埃級數(shù)展開成一系列不同系統(tǒng)的運動微分方程為應(yīng)用諧波分析法，可將頻率的簡諧激振力，即為常力，取靜平衡位置為坐標(biāo)原點，方程中不出現(xiàn)該項。為第j階諧波響應(yīng)的相位差當(dāng)系統(tǒng)阻尼較小時，

可忽略不計，

，方程的解為：為第j階頻率比（2）非簡諧的周期性支承運動引起的受迫振動單自由度系統(tǒng)在支承運動作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：根據(jù)疊加原理，得非簡諧周期性支承運動作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)若忽略阻尼=0，則，方程的解可簡化為：2.2.4

任意激勵力引起的強迫振動系統(tǒng)的運動微分方程為：——任意激勵力，非周期，無法直接求解解決方法：任意激勵力——分解成無數(shù)多個脈沖寬度（脈沖作用時間）為無限小的脈沖，在

的間隔內(nèi)，系統(tǒng)質(zhì)量受到一個微沖量的作用——陰影面積表示——求出單獨脈沖作用下系統(tǒng)的響應(yīng)——疊加——系統(tǒng)的總響應(yīng)。Duhamel積分它包括了任意激勵力作法用下的瞬態(tài)振動和激勵停止后的自由振動。若忽略阻尼，則

=0，

，方程的解可簡化為：例5：試求有阻尼單自由度系統(tǒng)對圖2-15（a）所示的階躍函數(shù)激勵的響應(yīng)。解：單位階躍函數(shù)可表示為：階躍函數(shù)可表示為

,系統(tǒng)運動微分方程為：利用Duhamel積分法，在t>0,,則響應(yīng)為：對無阻尼系統(tǒng)，=0，，系統(tǒng)響應(yīng)為：當(dāng)

時，響應(yīng)達到最大，即其響應(yīng)曲線見圖（b）.，為靜變形的2倍，例6：求半周期正弦脈沖激勵對單自由度無阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)。解：時間間隔為的半周期正弦脈沖波形如圖a所示，可表示成式中：利用Duhamel積分法，半周期正弦脈沖在的響應(yīng)為：當(dāng)，激振力為0，響應(yīng)只取決于時的狀態(tài)，有：當(dāng)

的值不同時，響應(yīng)曲線不同，（c）半周期正弦脈沖的沖擊響應(yīng)譜。2.3

多自由度線性系統(tǒng)的振動2.3.1

兩自由度線性系統(tǒng)的振動（1）系統(tǒng)的運動微分方程整理得：耦合方程引入矩陣和向量：矩陣方程（2）無阻尼系統(tǒng)的自由振動方程的解為：為任意常數(shù)（由初始條件確定）時的振幅。為在頻率基波：較低的頻率項為基波；如果諧波：其他的項稱為諧波。，為基波。其中為常數(shù)主振型：系統(tǒng)按給定的一個固有頻率作自由振動為主振動，系統(tǒng)作主振動的