北師版高數必修五第12講：基本不等式

均值不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教學重點：掌握均值不等式的證明及應用，會用均值不等式求函數的最大值或最小值；教學難點：利用均值不等式的證明。算術平均值與幾何平均值算術平均值：對任意兩個正實數，數___________叫做的算術平均值幾何平均值：對任意兩個正實數，數__________叫做的幾何平均值均值定理如果，那么____________，當且僅當__________時，等號成立均值不等式的常見變形（1）（2）（3）（同號且不為0）（4）類型一：均值不等式的理解設，則下列不等式不成立的是（）A.B.C.D.練習1.若a、b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2練習2.設0<a<b，則下列不等式中正確的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D．eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b類型二：均值不等式與最值例2.若正數x、y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5D．6練習3.設x、y∈R，且x＋y＝5，則3x＋3y的最小值為()A．10B．6eq\r(3)C．4eq\r(6)D．18eq\r(3)練習4.已知正項等差數列{an}中，a5＋a16＝10則a5a16的最大值為(A．100B．75C．50D．25類型三：利用均值不等式證明不等式及應用例3.已知a、b、c∈R，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．練習5.已知a、b是正數，試比較eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))與eq\r(ab)的大?。毩?.若x>0，y>0，x＋y＝1，求證：(1＋eq\f(1,x))·(1＋eq\f(1,y))≥9..例4.在面積為S(S為定值)的扇形中，當扇形中心角為θ，半徑為r時，扇形周長最小，這時θ、r的值分別是()A．θ＝1，r＝eq\r(S)B．θ＝2，r＝eq\r(4,S)C．θ＝2，r＝eq\r(3,S)D．θ＝2，r＝eq\r(S)練習7.設計用32m2的材料制造某種長方體車廂(無蓋)，按交通規(guī)定車廂寬為2m，則車廂的最大容積是(A．(38－3eq\r(73))m3B．16m3C．4eq\r(2)m3D．14m3練習8.將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，每漲價1元，其銷售量就減少20個，為獲得最大利潤，售價應定在()A．每個95元B．每個100元C．每個105元D．每個110元1.若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，則下列不等式中恒成立的是()A．eq\f(1,x＋y)≤eq\f(1,4)B．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1C．eq\r(xy)≥2D．eq\f(1,xy)≥12.已知m、n∈R，m2＋n2＝100，則mn的最大值是()A．100B．50C．20D．103.若a>0，b>0且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是()A．eq\f(1,ab)>eq\f(1,2)B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C．eq\r(ab)≥2D．eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8)4.實數x、y滿足x＋2y＝4，則3x＋9y的最小值為()A．18B．12C．2eq\r(3)D．eq\r(4,3)5．設x＋3y－2＝0，則3x＋27y＋1的最小值為()A．7B．3eq\r(3,9)C．1＋2eq\r(2)D．56.設a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．8B．4C．1D．eq\f(1,4)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎鞏固1.若0<a<1,0<b<1，且a≠b，則a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一個是()A．a2＋b2B．2eq\r(ab)C．2abD．a＋b2.若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]3.已知x、y∈R＋，且滿足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，則xy的最大值為________．4.已知a、b為實常數，函數y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值為__________5.a、b、c是互不相等的正數，且a2＋c2＝2bc，則下列關系中可能成立的是()A．a>b>cB．c>a>bC．b>a>c D．a>c>b6.設{an}是正數等差數列，{bn}是正數等比數列，且a1＝b1，a21＝b21，則()A．a11＝b11B．a11>b11C．a11<b11D．a11≥b117.已知a>1，b>1，且lga＋lgb＝6，則lga·lgb的最大值為()A．6B．9C．12 D．8.某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元．若每批生產x件，則平均倉儲時間為eq\f(x,8)天，且每件產品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品()A．60件B．80件C．100件D．120件9.已知eq\f(2,x)＋eq\f(3,y)＝2(x>0，y>0)，則xy的最小值是________．10.若實數x、y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．11.做一個面積為1m2，形狀為直角三角形的鐵架框，在下面四種長度的鐵管中，最合理(夠用，又浪費最少)的是A．mB．mC．5mD．5.212.光線透過一塊玻璃，其強度要減弱eq\f(1,10).要使光線的強度減弱到原來的eq\f(1,3)以下，至少需這樣的玻璃板________塊．(參考數據：lg2＝，lg3＝13.一個矩形的周長為l，面積為S，給出下列實數對：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，eq\f(1,2))．其中可作為(l，S)的取值的實數對的序號是________．`14.已知正常數a、b和正實數x、y，滿足a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值為18，求a、b的值．能力提升15.已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．2eq\r(3)16.設函數f(x)＝2x＋eq\f(1,x)－1(x<0)，則f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函數D．是減函數17.已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差數列，x、c、d、y成等比數列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0B．1C．2D．418.若a、b、c、d、x、y是正實數，且P＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，Q＝eq\r(ax＋cy)·eq\r(\f(b,x)＋\f(d,y))，則有()A．P＝QB．P≥QC．P≤QD．P>Q19.已知x≥eq\f(5,2)，則f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,4)B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1D．最小值120.已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xyB．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<yD．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y21.設a、b是正實數，給出以下不等式：①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2，其中恒成立的序號為()A．①③B．①④C．②③D．②④22.已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－1))的最小值為()A．6B．7C．8D．923.若直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．424.當x>1時，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，則實數a的取值范圍是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]25.已知正數x、y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，則xy有()A．最小值eq\f(1,16)B．最大值16C．最小值16D．最大值eq\f(1,16)26.若正實數x、y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________27.已知函數f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判斷eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]與f(eq\f(x1＋x2,2))的大小并加以證明．28.已知a、b、c∈R＋，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋C29．求函數y＝1－2x－eq\f(3,x