專題25.1概率初步（十三大考點(diǎn)）（原卷版）

專題概率初步1.能識(shí)別必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件，知道隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的；2.理解概率的含義,能通過列舉法，列表法或畫樹狀圖法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果;3.知道通過大量地重復(fù)試驗(yàn),可以用頻率來估計(jì)概率一、事件類型1.必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.2.不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.3.不確定事件：許多事情我們無法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，稱為不確定事件（又叫隨機(jī)事件）.說明：（1）必然事件、不可能事件都稱為確定性事件.（2）事件分為確定事件和不確定事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即(必然事件)；②不可能事件發(fā)生的概率為0,即（不可能事件）；③如果為不確定事件，那么二、概率1.定義：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件發(fā)生的概率，記為．（1）一個(gè)事件在多次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性，反映這個(gè)可能性大小的數(shù)值叫做這個(gè)事件發(fā)生的概率.（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個(gè)數(shù)值.2.概率的求法：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含其中的種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率為．（1）一般地，所有情況的總概率之和為1;（2）在一次實(shí)驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有限多個(gè);（3）在一次實(shí)驗(yàn)中,各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等;（4）概率從數(shù)量上刻畫了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0;（5）可能性與概率的關(guān)系事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0．3.求概率方法：（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結(jié)果比較少時(shí)，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來，并且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等時(shí)使用.等可能性事件的概率可以用列舉法而求得.但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法;（2）列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素（例如擲兩個(gè)骰子），并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用;（3）列樹形圖法：當(dāng)一個(gè)實(shí)驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素（例如從3個(gè)口袋中取球）時(shí)，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用.三、頻率與概率1.頻數(shù)：在多次試驗(yàn)中，某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù).2.頻率：某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比，叫做這個(gè)事件出現(xiàn)的頻率.3.一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近，那么，這個(gè)常數(shù)就叫作事件的概率，記為.考點(diǎn)01事件的判斷例1．下列事件中為必然事件的是（

）A．任意拋擲一枚圖釘，結(jié)果釘尖著地 B．在一個(gè)只裝著白球和黑球的袋中，摸出紅球C．太陽從東邊升起 D．明天會(huì)下雨變式11．下列事件是隨機(jī)事件的是（

）A．任意畫一個(gè)三角形，該三角形的內(nèi)角和為180°B．從分別寫有2，4，6的三張卡片中隨機(jī)抽出一張，卡片上的數(shù)字能被2整除C．購買一張福利彩票就中獎(jiǎng)D．從裝有4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的袋中，隨機(jī)抽取一個(gè)是白球變式12．如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)A、B、C、D和1個(gè)小燈泡，在所有的元件和線路都正常的前提下．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個(gè)事件是不可能事件的是（

）A．只閉合1個(gè)開關(guān) B．只閉合2個(gè)開關(guān)C．只閉合3個(gè)開關(guān) D．閉合4個(gè)開關(guān)變式13．“三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角”這一事件是（）A．隨機(jī)事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是考點(diǎn)02可能性的大小例2．在不透明的袋子里裝有個(gè)紅球、個(gè)白球、個(gè)黑球，它們除顏色外都相同，從袋子中任意摸出個(gè)球．下列判斷正確的是（

）甲：摸到紅球比摸到白球的可能性小；乙：摸到紅球和摸到黑球的可能性相同A．只有甲對(duì) B．只有乙對(duì) C．甲、乙都對(duì) D．甲、乙都不對(duì)變式21．下列詞語所反映的事件中，可能性最小的是（

）A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．旭日東升 D．十拿九穩(wěn)變式22．有10張（）數(shù)字卡片放入紙袋，隨意摸一張，摸出可能性最大的是（

）A．合數(shù) B．質(zhì)數(shù) C．偶數(shù) D．不能確定變式23．抽獎(jiǎng)啦！現(xiàn)有3個(gè)不透明箱子，箱子內(nèi)放有若干小球（除顏色外其余均相同）．規(guī)定：每次只能摸一個(gè)小球，摸出紅球獎(jiǎng)勵(lì)一杯奶茶，摸出黃球獎(jiǎng)勵(lì)一支雪糕，若小麗想得到一杯奶茶，應(yīng)選擇從號(hào)箱子里摸球，如愿的可能性最大．考點(diǎn)03利用概率公式計(jì)算簡單事件的概率例3．如圖，在的正方形網(wǎng)格中有9個(gè)格點(diǎn)，已經(jīng)取定點(diǎn)和，在余下的7個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)，使為直角三角形的概率是（

）A． B． C． D．變式31．如果一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之差的絕對(duì)值不超過1，則稱該三位數(shù)為“平穩(wěn)數(shù)”．用3，4，5這三個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為．變式32．在三張完全相同的卡片上，分別畫有正三角形、正方形、正五邊形，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上畫的恰好是中心對(duì)稱圖形的概率是．變式33．今年“”互聯(lián)網(wǎng)促銷期間，某網(wǎng)紅店開展有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡進(jìn)店購物的顧客均有轉(zhuǎn)動(dòng)8等分圓盤的機(jī)會(huì)，（如圖），如果規(guī)定當(dāng)圓盤停下來時(shí)指針指向1就中一等獎(jiǎng)，指向3或8就中二等獎(jiǎng)，指向2或4或6就中三等獎(jiǎng)；指向其余數(shù)字不中獎(jiǎng)．(1)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，中一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的概率分別是多少？(2)6月18日這天有1600人參與這項(xiàng)活動(dòng)，估計(jì)這天獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)是多少？考點(diǎn)04利用概率公式求數(shù)量例4．一個(gè)不透明的袋中有紅、黃、白三種顏色球共50個(gè)，它們除了顏色外其他都相同，其中黃球個(gè)數(shù)比白球個(gè)數(shù)的2倍少5個(gè)，已知從袋中摸出一個(gè)紅球的概率是．(1)求袋中白球的個(gè)數(shù)；(2)求從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率；(3)取走2個(gè)白球和3個(gè)黃球后，求從剩余的球中摸出一個(gè)球是紅球的概率．變式41．在一個(gè)不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個(gè)，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有25次摸到紅球，則口袋中紅球約有個(gè)．變式42．袋子中裝有除顏色外完全相同的n個(gè)黑球和5個(gè)白球，從中隨機(jī)抽取1個(gè)，若選中白球的概率是，則n的值是．變式43．暑假期間，某商場為了吸引顧客，對(duì)一次購物滿元的顧客可獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤得獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì).如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被等分成個(gè)扇形），轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤停止后，根據(jù)指針指向參照下表獲得獎(jiǎng)券（指針指向黃色區(qū)域不獲獎(jiǎng)，指向分界線時(shí)重轉(zhuǎn)，直到指向某一扇形為止）顏色紅藍(lán)黑獎(jiǎng)券金額（元）205080(1)甲顧客購物元，他獲得獎(jiǎng)券的概率是___________；(2)乙顧客購物元，并參與該活動(dòng)，他獲得元和元獎(jiǎng)券的概率分別是多少？(3)為加大活動(dòng)力度，現(xiàn)商場想調(diào)整獲得元獎(jiǎng)券的概率為，其余獎(jiǎng)券獲獎(jiǎng)概率不變，則需要將多少個(gè)黃色區(qū)域改為紅色？考點(diǎn)05幾何概率例5．如圖，是一個(gè)等腰直角三角形紙板，，在此三角形內(nèi)部作一個(gè)正方形，使在邊上，點(diǎn)，分別在，邊上．將一個(gè)飛鏢隨機(jī)投擲到這個(gè)紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．變式51．如圖，正方形是一塊綠化帶，其中陰影部分，都是正方形的花圃，已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（

）A． B． C． D．變式52．如圖所示陰影部分是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q．作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，可以認(rèn)為聚成了一點(diǎn)，將一飛鏢隨機(jī)投擲到大正方形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．變式53．如圖，在平行四動(dòng)形紙板中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接．將一飛鏢隨機(jī)投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為．考點(diǎn)06列表法求概率例6．桌面上有張卡片．張卡片的正面分別標(biāo)有數(shù)字，這些卡片除數(shù)字外完全相同，將卡片背面朝上且打亂擺放順序，隨機(jī)抽取張卡片，抽取的卡片數(shù)字都是方程的解的概率是（

）A． B． C． D．變式61．一只不透明的袋子中裝有4個(gè)除了顏色外都相同的小球，其中兩個(gè)紅球、一個(gè)黃球、一個(gè)綠球．?dāng)噭蚝笙葟闹忻?個(gè)小球（不放回），再從余下的當(dāng)中摸出一個(gè)小球，如果紅球代表A種矩形紙片，黃球代表B種矩形紙片，綠球代表C種矩形紙片，通過畫樹狀圖或列表求兩次摸出的小球代表的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率（不重疊無縫隙拼接）變式62．某校矩形以《大國重器》為主題的演講比賽，其中一個(gè)環(huán)節(jié)是即興演講，該環(huán)節(jié)共有三個(gè)題目，由電腦隨機(jī)給每位參賽選手派發(fā)一個(gè)題目，選手根據(jù)題目對(duì)應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行90秒演講．小亮和小敏都參加了即興演講，則電腦給他們派發(fā)的是同一個(gè)題目的概率是（

）A． B． C． D．變式63．四張質(zhì)地相同的卡片如圖所示．將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上．(1)求隨機(jī)抽取兩張卡片，恰好得到數(shù)字的概率；(2)小貝和小晶想用以上四張卡片做游戲，游戲規(guī)則見信息圖．請用列表格法或畫樹狀圖法說明這個(gè)游戲是否公平？考點(diǎn)07樹狀圖求概率例7．如圖，轉(zhuǎn)盤A的三個(gè)扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，轉(zhuǎn)盤B的四個(gè)扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將指針指向扇形中的兩個(gè)數(shù)字相加（當(dāng)指針落在兩扇形的交線上時(shí)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）．(1)用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)若規(guī)定指針指向扇形中的兩個(gè)數(shù)字的和為5時(shí)甲贏，和為4時(shí)乙贏，和為其他數(shù)字時(shí)，甲、乙平局．請問這個(gè)游戲?qū)?、乙兩人是否公平？變?1．將數(shù)，，分別寫在三張相同的不透明卡片上的正面，將卡片洗勻后背面朝上置于桌面，甲乙兩個(gè)同學(xué)從中隨機(jī)各抽取一張卡片（注：第一個(gè)同學(xué)抽取到的卡片不放回）．(1)甲同學(xué)抽到的卡片上數(shù)字是的概率是________；(2)求甲乙兩個(gè)同學(xué)抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)的概率．（用畫樹狀圖的方法求解）變式72．在2022年高考中，西安某中學(xué)考生小玲高考673分，選擇報(bào)考名校西安交通大學(xué)．西安交通大學(xué)有國家一級(jí)專業(yè)：A材料科學(xué)與工程、B動(dòng)力工程、C電氣工程、D生物醫(yī)學(xué)工程，小玲可以選擇填寫兩個(gè)志愿．（填寫志愿和順序無關(guān)）(1)小玲填寫兩個(gè)志愿中有A志愿的概率是；(2)小玲的第一志愿在A、B、C、D中選擇一個(gè)，第二志愿在剩下的三個(gè)專業(yè)中選擇一個(gè)，求小玲填寫不選C志愿的概率．變式73．籠子里關(guān)著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開．松鼠要先經(jīng)過第一道門（A，B，或C），再經(jīng)過第二道門（D或E）才能出去．(1)請用樹狀圖或列表的方法，表示松鼠走出籠子的所有可能路線（經(jīng)過的兩道門）．(2)求松鼠經(jīng)過E門出去的概率．考點(diǎn)08用頻率估計(jì)概率例8．在一個(gè)不透明的盒子中裝有a個(gè)除顏色外完全相同的球，這a個(gè)球中只有3個(gè)紅球，若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為．變式81．近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（

）A．8 B．12 C． D．變式82．在一個(gè)不透明的袋子中有50個(gè)除顏色外均相同的小球，通過多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率約為，估計(jì)袋中白球有個(gè)．變式83．某商場有一種游戲，規(guī)則是：在一只裝有8個(gè)紅球和若干個(gè)白球（每個(gè)球除顏色外其余都相同）的不透明的箱子中，隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到紅球就可獲得一瓶飲料．工作人員統(tǒng)計(jì)了參加游戲的人數(shù)和獲得飲料的人數(shù)．（見下表）參加游戲的人數(shù)200300400500獲得飲料的人數(shù)39638299獲得飲料的頻率(1)計(jì)算并完成表格；(2)估計(jì)獲得飲料的概率為________（精確到）(3)請你估計(jì)袋中白球的數(shù)量．考點(diǎn)09概率與代數(shù)的結(jié)合例9．若實(shí)數(shù)為不大于的非負(fù)整數(shù)，則使關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)的概率為（）A． B． C． D．變式91．從不等式組所有整數(shù)解中任取一個(gè)數(shù)，求它是偶數(shù)的概率．變式92．從，，，，0，，1，2，3這9個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，記為m，若數(shù)m使關(guān)于x的不等式組無解，且使關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，那么從這9個(gè)數(shù)中抽到滿足條件的m的概率是．變式93．有四張完全相同且不透明的卡片，正面分別標(biāo)有數(shù)字、、、，將四張卡片背面朝上，任抽一張卡片，卡片上的數(shù)字記為，放回后洗勻，再抽一張，卡片上的數(shù)字記為，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限的概率是．考點(diǎn)10概率與幾何的結(jié)合例10．如圖，A，B是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的兩個(gè)格點(diǎn)，在格點(diǎn)上任意放置點(diǎn)C．(1)試在圖①中標(biāo)出所有符合條件的點(diǎn)C，使得為直角三角形，并求能使為直角三角形的概率；(2)試在圖②中標(biāo)出所有符合條件的點(diǎn)C，使得為等腰三角形，并求能使為等腰三角形的概率．變式101．如圖，正方形的邊長為2，將長為2的線段的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)．如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動(dòng)到A止，同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動(dòng)到B止，在這個(gè)過程中，線段的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積記為S．點(diǎn)N是正方形內(nèi)任一點(diǎn)，把N點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的距離均不小于1的概率記為P，則（）A． B． C． D．變式102．如圖，三角形紙板，點(diǎn)M，N分別是中點(diǎn)，點(diǎn)D，E在上，連接、，，小明隨機(jī)向紙板內(nèi)投擲飛鏢一次，飛鏢落在陰影部分的概率是．變式103．在的方格紙中，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)分別位于如圖所示的小正方形的頂點(diǎn)上．(1)從C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，以所取的這一點(diǎn)及A，B為頂點(diǎn)畫三角形，則所畫三角形是等腰三角形的概率是______．(2)從C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)中任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，以所取的這兩點(diǎn)及A，B為頂點(diǎn)畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率（用樹狀圖或列表求解）．考點(diǎn)11概率與物理的結(jié)合例11．在物理課上，同學(xué)們學(xué)習(xí)了“電學(xué)”知識(shí)之后，便可以設(shè)計(jì)一些簡單的電路圖．(1)如圖1所示的電路圖中，三個(gè)開關(guān)并聯(lián)成一個(gè)開關(guān)組，閉合其中任何一個(gè)開關(guān)，可以使燈泡發(fā)亮的概率是________；(2)如圖2，在圖1的電路圖中，新增一個(gè)開關(guān)組，在兩個(gè)開關(guān)組中各閉合一個(gè)開關(guān)，用樹狀圖或列表法求小燈泡發(fā)亮的概率．(3)小明同學(xué)觀察圖2后提出：“若將開關(guān)或去掉，則在兩個(gè)開關(guān)組中各閉合一個(gè)開關(guān)，小燈泡一定會(huì)發(fā)亮．”你認(rèn)為小明同學(xué)的說法是否正確？試簡要說明理由．變式111．摩爾斯電碼（又譯為摩斯密碼）是一種時(shí)通時(shí)斷的信號(hào)代碼，通過不同的排列順序來表達(dá)不同的英文字母、數(shù)字和標(biāo)點(diǎn)符號(hào)．它的表現(xiàn)形式可以是編碼，可以是敲擊聲音，也可以是燈光，其中，燈光是以光亮?xí)r間來表示長短信號(hào)，若短光對(duì)應(yīng)的是字母S，長光對(duì)應(yīng)的是字母O，請回答下列問題：（1）若隨機(jī)發(fā)射一組這樣的長光或短光，信號(hào)對(duì)應(yīng)為字母“S”的概率是___________．（2）S．O．S是國際摩爾斯電碼救難信號(hào)，它的光線發(fā)射方法為：短光——長光—短光，若隨機(jī)發(fā)射三次這樣的長光或短光，請你求出救難信號(hào)發(fā)送成功的概率．變式112．在一次試驗(yàn)中，每個(gè)電子元件的狀態(tài)有兩種可能（通電，斷開），并且這兩種狀態(tài)的可能性相等，如圖A，B之間電流能夠正常通過的概率是（

）A． B． C． D．1變式113．如圖，電路圖上有三個(gè)開關(guān)A、B、C，開關(guān)閉合記“+”，開關(guān)斷開記“”．(1)若只閉合其中一個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光（即電流通過）的概率是______；(2)用樹狀圖或列表格的方法表示三個(gè)開關(guān)A、B、C閉合或斷開的所有情況，并求小燈泡發(fā)光（即電流通過）的概率．考點(diǎn)12概率與比賽的結(jié)合例12．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戲，一人為蒙眼人，捉另外兩人，捉到一人，記為捉一次；被捉到的人成為新的蒙眼人，接著捉……一直這樣玩（每次捉到一人）．請用樹狀圖解決下列問題，(1)若甲為開始蒙眼人，捉兩次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該誰為開始蒙眼人？變式121．某籃球運(yùn)動(dòng)員去年共參加40場比賽，其中3分球的命中率為，平均每場有12次3分球未投中．(1)該運(yùn)動(dòng)員去年的比賽中共投出多少個(gè)3分球？共投中多少個(gè)3分球？(2)在其中的一場比賽中，該運(yùn)動(dòng)員3分球共出手20次，小明說，該運(yùn)動(dòng)員這場比賽中一定投中了5個(gè)3分球，你認(rèn)為小明的說法正確嗎？請說明理由．變式122．一個(gè)智力挑戰(zhàn)賽需要全部答對(duì)兩道單項(xiàng)選擇題，才能順利通過第一關(guān).第一道題有個(gè)選項(xiàng)，第二道題有個(gè)選項(xiàng)，這兩道題小新都不會(huì)，不過小新還有一個(gè)“求助卡”沒有用，使用“求助卡”可以讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)．（1）如果小新在第題使用“求助卡”，請用樹狀圖或者列表來分析小新順利通過第一關(guān)的概率；（2）從概率的角度分析，你建議小新在第幾題使用“求助卡”．為什么．變式123．甲、乙兩同學(xué)開展“投球進(jìn)筐”比賽，雙方約定：①比賽分6局進(jìn)行，每局在指定區(qū)域內(nèi)將球投向筐中，只要投進(jìn)一次后該局便結(jié)束；②若一次未進(jìn)可再投第二次，以此類推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未進(jìn)，該局也結(jié)束；③計(jì)分規(guī)則如下：a.得分為正數(shù)或0；b.若8次都未投進(jìn)，該局得分為0；c.投球次數(shù)越多，得分越低；局比賽的總得分高者獲勝.(1)設(shè)某局比賽第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次將球投進(jìn)，請你按上述約定，用公式、表格或語言敘述等方式，為甲、乙兩位同學(xué)制定一個(gè)把n換算為得分M的計(jì)分方案；(2)若兩人6局比賽的投球情況如下(其中的數(shù)字表示該局比賽進(jìn)球時(shí)的投球次數(shù)，“×”表示該局比賽8次投球都未進(jìn))：根據(jù)上述計(jì)分規(guī)則和你制定的計(jì)分方案，確定兩人誰在這次比賽中獲勝.第一局第二局第三局第四局第五局第六局甲5×4813乙82426×考點(diǎn)13統(tǒng)計(jì)與概率綜合例13．某校在課后服務(wù)中，成立了以下社團(tuán)：A．計(jì)算機(jī)，B．圍棋，C．籃球，D．書法每人只能加入一個(gè)社團(tuán)，為了?學(xué)生參加社團(tuán)的情況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，其中圖1中D所占扇形的圓心角為．請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有______人；(2)請你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)若該校共有1800學(xué)生加入了社團(tuán)，請你估計(jì)這1800名學(xué)生中有多少人參加了籃球社團(tuán)；(4)在書法社團(tuán)活動(dòng)中，由于甲、乙、丙、丁四人平時(shí)的表現(xiàn)優(yōu)秀，恰好四位同學(xué)中有兩名是男同學(xué)，兩名是女同學(xué)．現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加全市書法大賽，用畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率．變式131．在加強(qiáng)對(duì)中小學(xué)生“雙減”和“五項(xiàng)管理”政策下，某校為了了解在教學(xué)改革模式下九年級(jí)期末數(shù)學(xué)成績，隨機(jī)抽取40名學(xué)生抽測，滿分為50分，并將測試成績分成五檔：A檔：；B檔：；C檔：；D檔：；E檔：，繪制頻數(shù)分布圖如下，已知在這一組的具體得分（單位：分）是20、26、22、27、28、26、26、26、24、29、27、21、28、27．(1)在這一組成績數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為，眾數(shù)為，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(2)若成績不低于40分為優(yōu)秀，該校九年級(jí)有1800名學(xué)生，則該校九年級(jí)期末數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生約有多少名？(3)該校舉辦“一幫一”活動(dòng)，在A檔中隨抽取兩名學(xué)生，在E檔隨抽取兩名學(xué)生，則該4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好抽出一名A檔學(xué)生和一名E檔學(xué)生的概率是多少？變式132．為了解學(xué)生對(duì)“校園安全知識(shí)”的了解程度，某校隨機(jī)抽取了七年級(jí)、八年級(jí)各20名學(xué)生進(jìn)行問卷測試，并對(duì)得分情況進(jìn)行整理和分析（得分用整數(shù)x表示，單位：分），且分為A，B，C三個(gè)等級(jí)，分別是：優(yōu)秀為A等級(jí)：；合格為B等級(jí)：；不合格為C等級(jí)：．分別繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表，其中七年級(jí)學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)在A等級(jí)，A等級(jí)測試成績情況分別為：81，87，89，90，96，96，96，96，97，97，99，100；八年級(jí)學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)在A等級(jí)的共有a個(gè)人．七年級(jí)、八年級(jí)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差如下表所示：根據(jù)以上信息，解答下列問題：成績成平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級(jí)85bc八年級(jí)858896(1)填空：____，_____，______；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該學(xué)校哪個(gè)年級(jí)的測試成績更好，并說明理由；(3)若從獲得C等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享感受，抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的概率是______．變式133．恩施清外開展主題為“防疫常識(shí)知多少”的調(diào)查活動(dòng)，抽取了九年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查問卷設(shè)置了A：非常了解、B：比較了解、C：基本了解、D：不太了解四個(gè)等級(jí)，要求每個(gè)學(xué)生填且只能填其中的一個(gè)等級(jí)，采取隨機(jī)抽樣的方式，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)以上信息回答下列問題：等級(jí)頻數(shù)頻率A20B15bC10Da(1)頻數(shù)分布表中______，______，將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；(2)若九年級(jí)有學(xué)生1450人，請根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估算該?！胺浅Ａ私狻焙汀氨容^了解”防疫常識(shí)的學(xué)生共有多少人？(3)在“非常了解”防疫常識(shí)的學(xué)生中，某班有5個(gè)學(xué)生，其中3男2女，計(jì)劃在這5個(gè)學(xué)生中隨機(jī)抽選兩個(gè)加入防疫志愿者團(tuán)隊(duì)，請用列表或畫樹狀圖的方法求所選兩個(gè)學(xué)生中至少有一個(gè)女生的概率．基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列事件中屬于必然事件的是（

）A．等腰三角形的三條邊都相等 B．兩個(gè)偶數(shù)的和為偶數(shù)C．任意拋一枚均勻的硬幣，正面朝上 D．立定跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員的成績是2．在一個(gè)不透明的布袋中，有大小、形狀完全相同，顏色不同的15個(gè)球，從中摸出紅球的概率為，則袋中紅球的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．5 C．10 D．123．如圖，某展覽大廳有A，B兩個(gè)入口，C，D，E三個(gè)出口，小明任選一個(gè)入口進(jìn)入展覽大廳，參觀結(jié)束后任選一個(gè)出口離開，不同的出入路線一共有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種4．在學(xué)習(xí)“頻率的穩(wěn)定性”一節(jié)時(shí)，張老師讓同學(xué)們親自體驗(yàn)，經(jīng)歷事件發(fā)生的過程，感受可能性的大小．小穎和小琪擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，并把數(shù)據(jù)記錄如下表：擲硬幣的次數(shù)100200300400500正面朝上的次數(shù)58106144197251若擲硬幣的次數(shù)為5000，則“正面朝上”的頻數(shù)最接近（

）A．1000 B．2000 C．2500 D．35505．某班男女同學(xué)人數(shù)之比為，則在該班隨機(jī)抽一名同學(xué)，抽到女同學(xué)的概率是．6．從，4，5這3個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)作為k，b，則直線在第一、三、四象限的概率為．7．有四張大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分別印有4種車標(biāo)，將這四張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，所抽取的卡片正面上的圖形都是中心對(duì)稱圖形的概率是．8．兒童節(jié)期間，游樂場里有一種游戲的規(guī)則是：在一個(gè)裝有6個(gè)紅球和若干白球（每個(gè)球除顏色外，其它都相同）的袋中，隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到一個(gè)紅球就得歡動(dòng)世界通票一張，已知參加這種游戲的有300人，游樂場為此游戲發(fā)放歡動(dòng)世界通票50張，請你通過計(jì)算估計(jì)袋中白球的數(shù)量是個(gè).9．2022年冬奧會(huì)吉祥物為“冰墩墩”和“雪容融”，體現(xiàn)了人與自然和諧共生，深受青少年的喜愛．現(xiàn)有8張正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面圖案不同外，其余均相同，其中3張正面印有冰墩墩圖案，5張正面印有雪容融圖案，將8張卡片正面向下洗勻擺放．(1)從中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到的卡片恰好是雪容融圖案的概率是________；(2)請你從卡片中取出張冰墩墩卡片，再從剩余的卡片中隨機(jī)抽出一張，將“抽出的卡片為雪容融”記為事件A，若事件A為必然事件，則m的值為________；若事件A為隨機(jī)事件，則m的值為________．10．“天宮課堂”第二課在中國空間站開講，神舟十三號(hào)飛行乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富講了又一堂精彩的太空科普課．這場充滿奇思妙想的太空授課，讓科學(xué)的種子在億萬青少年的心里生根發(fā)芽．小明和小亮對(duì)航天知識(shí)產(chǎn)生了極大興趣，他們在中國載人航天網(wǎng)站了解到，航天知識(shí)分為“夢圓天路”、“飛天英雄”、“探秘太空”、“巡天飛船”等模塊．他們決定先從：“夢圓天路”、：“飛天英雄”、：“探秘太空”三個(gè)模塊中隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行學(xué)習(xí)．(1)小明同學(xué)選擇：“探秘太空”模塊的概率是_________；(2)用畫樹狀圖或列表的方法求出小明和小亮選擇相同模塊的概率．11．一個(gè)不透明的袋子中裝有三個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字3，4，5．從袋子中隨機(jī)取出一個(gè)小球，用小球上的數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后放回，再取出一個(gè)小球，用小球上的數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字，這樣組成一個(gè)兩位數(shù)．這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率是多少？請你用列表法或面樹狀圖法加以說明．12．在一個(gè)不透明的口袋里裝有黑、白兩種顏色的球共4個(gè)．某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回口袋中，不斷重復(fù)．下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n204840401000012000摸到白球的次數(shù)m1061204849796019摸到白球的頻率(1)請估計(jì)：當(dāng)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近（精確到）；(2)試估算口袋中白球有多少個(gè)？(3)若從中摸出一個(gè)球后不放回，再從余下的球中摸出一個(gè)，請用列表法求兩次摸到的球的顏色相同的概率．能力提升練1．某商場制作了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被分成了如圖所示的兩個(gè)區(qū)域，指針指向陰影部分（邊界處忽略不計(jì)）的概率為（

）A． B． C． D．不能確定2．一個(gè)各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6的骰子，連續(xù)投擲二次，分別出現(xiàn)數(shù)字，得到一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上的概率為（

）A． B． C． D．3．如圖①所示，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），開元同學(xué)想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個(gè)面積為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則