2022年度湖北省鄂州市寒溪初級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2022年度湖北省鄂州市寒溪初級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試

題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.要得到函數(shù)/一…s"5’的圖明，只需將函數(shù)＞=2sm3x的圖象()

n7T

A.向左平移5個(gè)單位B.向右平移5個(gè)單位

nn

C.向左平移記個(gè)單位D.向右平移記個(gè)單位

參考答案：

D

略

2.對(duì)于集合M、N,定義M-N={x|xGM且x?N},M?N=(M-N)U(N-M),設(shè)人={丫|丫=

3x,x￡R},B={y|y=—(x—1)2+2,xWR},則A十B等于()

A.[0,2)B.(0,2]

C.(一8,0]U(2,+°o)D.(-8,0)U[2,+°o)

參考答案：

C

略

3.從某地高中男生中隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率分

布直方圖(如圖).由圖中數(shù)據(jù)可知體重的平均值為kg；若要從身高在

[60,70),[70,80),[80,90]三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項(xiàng)活

動(dòng)，再?gòu)倪@12人選兩人當(dāng)正負(fù)隊(duì)長(zhǎng)，則這兩人體重不在同一組內(nèi)的概率

為.

405060708090體重(kg)

參考答案：

64.5,

"Ix+11,x<l

<

2

4.已知mGR,函數(shù)f(x)=1g(x-1),x>l,g(x)=x-2x+2m-2,若函數(shù)y=f

(g(x))-m有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

3232

A.(1,2)B.(4,1)C.(3,4)D.(0,3)

參考答案：

D

【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；作圖題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

|x+11,x<Cl

4

【分析】作函數(shù)f(x)=l1g(x-l)，x〉l的圖象，從而可得方程x2-2x+3m-1=0、

x"-2x+m-1=0與x*-2x+2m-3-10m=0都有兩個(gè)不同的解，從而解得.

'|x+l|,x<Cl

【解答】解：作函數(shù)f(X)=1g(x-l),x>l的圖象如下，

由圖象可知，當(dāng)0VmV2時(shí)，f(u)-m=0有三個(gè)不同的解，

即|u+11=m或1g(u-1)=m,

故u=-1-m或u=-1+m或u=l+10ffi,

故g(x)=x2-2x+2m-2=-1-m或x?-2x+2m-2=-1+m或x?-2x+2m-2=l+10m,

故x2-2x+3m-1=0或x，-2x+m-1=0或x?-2x+2m-3-10°=0,

?.?函數(shù)y=f(g(x))-m有6個(gè)零點(diǎn)，

，方程x2-2x+3m-1=0.x2-2x+m-1=0與x2-2x+2m-3-10"1=0都有兩個(gè)不同的解,

'△『4-4(3m-1)>0

.A2=4-4(m-1)>0

...△3=4-4(2m-3-l0m)>0,

2

解得，m<3,

2

故0<m<3,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及二次方程的判別式的應(yīng)用，難點(diǎn)在于復(fù)合函數(shù)的應(yīng)

用.

5,設(shè)向好=(2,x-l),6=(x+1,4),則"x=3"是％//『'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

A

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出$=()

(A)2(B)6(C)15(D)31

參考答案：

C

第一次循環(huán)，滿(mǎn)足條件，S=1+l=2需=2；第二次循環(huán)，滿(mǎn)足條件，

S=2+2'=6*=3；第三次循環(huán)，滿(mǎn)足條件，S=6+32=15*=4；第四次循環(huán)，不

滿(mǎn)足條件，輸出$=15,選c.

1,9

若存在兩項(xiàng)a0,a“使得g=4

7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a?｝滿(mǎn)足a7=a6+2a5,?則mn的最

小值為()

8

瓦3

參考答案：

A

8.設(shè)雙曲線(xiàn)》的實(shí)軸長(zhǎng)為2、5，焦距為2亞則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程

為().

A.*仝B.六土缶

丘士5x

D.

參考答案:

D

?易知?后”企,

Cd-W

二七二土其

，漸近線(xiàn)方程為a1"T1,選擇D.

9.在等差數(shù)列中，首項(xiàng)生=°?公差dwO,若收=%+%+與+…+%,則上=()

A.22B.23C.24D.25

參考答案：

A

略

10.從(40,30),(50,10),(20,30),(45,5),(10,10)這5個(gè)點(diǎn)中任取一

個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=2016內(nèi)部的概率是()

3214

A.5B.5C.5D.5

參考答案：

B

【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】從(40,30)，(50,10),(20,30),(45,5),(10,10)這5個(gè)點(diǎn)中

任取一個(gè)點(diǎn)，基本事件總數(shù)n=5,再用列舉法求出這個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=2016內(nèi)部，包含的基

本事件個(gè)數(shù)，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出這個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=2016內(nèi)部的概

率.

【解答】解：從(40,30),(50,10),(20,30),(45,5),(10,10)這5個(gè)

點(diǎn)中任取一個(gè)點(diǎn)，

基本事件總數(shù)n=5,

這個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=2016內(nèi)部，包含的基本事件有：(20,30),(10,10),共2個(gè)，

2

這個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=2016內(nèi)部的概率p=5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算

公式的合理運(yùn)用.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.設(shè)x,y為正數(shù)，且x,a”az,y成等差數(shù)列，x,b?b2,y成等比數(shù)列，則

(a[+&2)2

blb2的最小值是.

參考答案：

4

【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.

【分析】先利用條件得到a,+a產(chǎn)x+y和bh=xy,再對(duì)所求都轉(zhuǎn)化為用x,y表示后，在用基

本不等式可得結(jié)論.

【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)知ai+akx+y；

由等比數(shù)列的性質(zhì)知bb=xy,

(a]+&2)2<+y)2*2+y2+2xy卜x2+y2

所以blb2-xy-xy-xy

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).

故答案為：4.

12.A,8,C,。均在同一個(gè)球上，且4B,AC,AO兩兩互相垂直，且AB=14C=2,AO=3,則該球

的表面積為.

參考答案：

14K

13.若對(duì)任意xSR,不等式sin2x-2sin°x-mVO恒成立，則m的取值范圍是.

參考答案:

(V2-1,+8)

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值.

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值.

分析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為m>sin2x-2sin2x對(duì)任意x￡R恒成立，只需由三角函數(shù)求出求

t=sin2x-2sin2x的最大值即可.

解答：解：?對(duì)任意x￡R,不等式sin2x-2sin?x-mVO恒成立，

.\m>sin2x-2sin2x對(duì)任意x￡R恒成立，

???只需求t=sin2x-2sin2x的最大值,

Vt=sin2x-2sin2x=sin2x-(1-cos2x)

_K

=sin2x+cos2x-l=V2sin(2x+4)-1,

K_

...當(dāng)sin(2X+-T)=1時(shí)，t取最大值加-1,

...m的取值范圍為(&-1,+8)

故答案為：(、巧-1,+8)

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，涉及恒成立問(wèn)題和三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

3立

14.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)上，使直線(xiàn)+爹與圓d+V=l相交的概率

為.

參考答案：

1

2

15.過(guò)拋物線(xiàn)--=2Px>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)1交拋物線(xiàn)于A,B,兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C

若CB=2BF,則直線(xiàn)AB的斜率為

參考答案：

土石

1md+L...+_l)

16.已知等比數(shù)列｛/購(gòu)前"項(xiàng)和Sa=3"AT),則-4】a3a,

參藕案：

3

4

/(x)-sinl2iI)."

17.函數(shù)141在區(qū)間2上的最小值是

參考答案：

2

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.如圖，正方形ADMN與矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6,點(diǎn)E為線(xiàn)段AB上一

點(diǎn).

(1)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：BM〃平面NDE；

參考答案:

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線(xiàn)與平面平行的判定.

【分析】（1）連結(jié)AM,設(shè)AMC1ND=F,連結(jié)EF,推導(dǎo)出EF〃BM,由此能證明BM〃平面

NDE.

><AE><-XAD><S

（2）推導(dǎo)出AE=3?,VE.AKK：VE-OT=T0正方形助明3AMDC；由此能求

出結(jié)果.

【解答】證明：（1）連結(jié)AM,設(shè)AMC1ND=F,連結(jié)EF,

???四邊形ADMN為正方形，是AM的中點(diǎn)，

又；E是AB中點(diǎn)，；.EF〃BM,

?；EF?平面NDE,BM?平面NDE,

；.BM〃平面NDE.

解：（2）???正方形ADMN與矩形ABCD所在的平面相互垂直，

AB=2AD=6,點(diǎn)E為線(xiàn)段AB上一點(diǎn).

直線(xiàn)EM與平面所成角的大小為一『，

...DEM-又...舶=6,DE=3?,

AE=<27-9=3點(diǎn),

.vv_'x趣Xs正方形頌yXADXSAHDC

??VE-ADMN：VE-CDM-0：V）

_4-X3V2X32VX3X-^-X3X6

二J:Jz

=〃:1.

19.（本小題滿(mǎn)分10分）【選修4一5：不等式選講】

已知函數(shù)f(x)=|2x+l|+|2x-3|.

（I）求不等式f（x）W6的解集;

（II）若獎(jiǎng)于關(guān)的不等式f（x）<|a-l|的解集非空，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

參考答案:

解：（I）原不等式等價(jià)于

x>2x<--

或《22

(2x+1)+(2r-/6[(2x+l)-(2x-3)<6或(-(2x?l)-(2x-$W6,

-減-Lwxwl或-ISx

解之得2222,

即不等式的解集為{K|-1WE2}..............................................................................（5

分）

（H）???/（x）=體+“+m-3對(duì)2x+1A（2.小4,

解此不等式得a<_磁r>5..............................................................（10

分）

20.某校對(duì)參加高校自主招生測(cè)試的學(xué)生進(jìn)行模擬訓(xùn)練，從中抽出N名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)

的頻率分布直方圖如圖所示.已知成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2人.

（1）求N的值并估計(jì)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和眾數(shù)；

參考答案：

解答：解：（1）由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的頻率為0.005X10=0.05,所以

N=0.05=40,利用中值估算抽樣學(xué)生的平均分：

45X0.05+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.25+95X0.05=72.

所以，估計(jì)這次考試的平均分是7.

由頻率分布直方圖可知，成績(jī)分布在間的頻率最大，所以眾數(shù)的估計(jì)值為區(qū)間的中點(diǎn)值

7-

(注：這里的眾數(shù)、平均值為估計(jì)量，若遺漏估計(jì)或大約等詞語(yǔ)扣一分)

【題文】

己知f(x)=ex-alnx-a,其中常數(shù)a>0.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

1<Y<1<Y

12

(2)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x“.xz(0<x.<x2),求證：a<a；

(3)求證：e2*'2-ex''lnx-x>0.

【答案】

【解析】

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最

值.

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用.

分析：(1)求出a=e的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，即可求得極值；

0<x4工

(2)先證明：當(dāng)f(x)20恒成立時(shí)，有0<aWe成立.若e,則f(x)=e*-a

X>1

(lnx+1)顯然成立；若e,運(yùn)用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，

結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可得證；

h(x)=工(x>0)

(3)討論當(dāng)a=e時(shí)，顯然成立，設(shè)ex,求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間可得

最大值，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證.

解答：解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

(x)=x--

(1)當(dāng)a=e時(shí)，f(x)=e'-elnx-e,ex,

X

F(x)=P-

而ex在(0,+8)上單調(diào)遞增，又呈(1)=0,

當(dāng)0<x<l時(shí)，f'(x)<f'(1)=0,則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時(shí)，f'(x)>f((1)=0,則f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則f(x)有極小值f(1)=0,沒(méi)有極大

值;

(2)先證明：當(dāng)f(x)20恒成立時(shí)，有0<aWe成立.

若0y

則f(x)=ex-a(lnx+1)20顯然成立;

1x

若xe,由f(x)20得a“l(fā)nx+l,

ex(lnx+1-2)

。(x)二上(X)=...........-

令lnx+1,則(lnx+1)2,

g(x)=lnx+l--(x>-)

令A(yù)xe,

g’(x)=l+2>°(-1+8)

由X，得g(x)在e上單調(diào)遞增，

(11)

又g(1)=0,所以4)z(x)在e*上為負(fù)，在(1,+8)上為正，

(11)

因此6(X)在巳'上遞減，在(1,+8)上遞增，即有(|)(X)(1)=e,

從而OVaWe.因而函數(shù)y=f(x)若有兩個(gè)零點(diǎn)，則a>e,即有f(1)=e-a<0,

由f(a)=ea-alna-a(a>e)得f'(a)=ea-Ina-2,

則f'(a)=ea-Ina-2在(e,+8)上單調(diào)遞增,

即有f'(a)>f(e)=ee-3>e2-3>0,

則有f(a)=ea-alna-a在(e,+°°)上單調(diào)遞增，

則f(a)>f(e)=ee-2e>e2-2e>0,貝！Jf(1)f(a)<0,則有l(wèi)〈X2〈a；

1111

i-1——一

f(-=-)=ain，-a二已安alna-a>eA-alne-a二小〉。

由a>e得aa,則

f(1)f(-)<0

a

所以《<X1<1滬<x<1<x<a

(-?ai2

，練上傳a

(3)證明：由(2)知當(dāng)a=e時(shí)，f(x)20恒成立，所以f(?x)=ex-elnx-e^O,

即f(x)=ex-elnx>e,

h(x)=工(x>0)hz(x)=—

設(shè)ex,則ex,

當(dāng)0<x<l時(shí)，h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，h'(x)<0,所以h(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

h(x)(x>0)h(1)=——~

所以eX的最大值為e,即e、e,因而e**,

f(x)=eX-elnx?—

所以eX"，即f(x)=e-2-blnx-x》。.

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，

以及不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題和易錯(cuò)題.

21.設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.

(I)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；

(II)當(dāng)xG［0,1］時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值.

參考答案：

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

分析：(I)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

(II)利用(I)的結(jié)論，討論兩根與1的大小關(guān)系，判斷函數(shù)在［0,1］時(shí)的單調(diào)性，得

出取最值時(shí)的x的取值.

解答：解：(I)f(x)的定義域?yàn)?-8,+oo),f'(x)=l+a-2x-3xz,

-1--4+3a-l+W+3a

由f'(x)=0,得x尸3,x2=3,xi<x2,

-1--4+3a-l+44+3a

.,.由f'(x)<0得x<3，x>3

1.4+3a-l+U4+3a

由f'（x）>0得3<x<3

-1-W+3a-1+W+3a

故f（X）在（-8,3）和（3,+8）單調(diào)遞減,

1」4+3a-1+W+3a

在（3,3）上單調(diào)遞增;

,

(II)Va>0,..xl<0,x2>0,

①當(dāng)a、4時(shí)，X22l,由(I)知，f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，...f(x)在x=0和x=l

處分別取得最小值和最大值.

②當(dāng)0<a<4時(shí)，x2<l,由(I)知，f(x)在［0,X2］單調(diào)遞增，在［xz,1］上單調(diào)遞

減，

-l+\/4+3a

因此f(x)在x=X2=3處取得最大值，又f(0)=1,f(1)=a,

.,.當(dāng)OVaVl時(shí)，f(x)