專題03 方程與方程組（真題5個考點模擬23個考點） （解析版）

專題03方程與方程組（真題5個考點模擬23個考點）一．一元一次方程的應用（共2小題）1．（2020?安徽）某超市有線上和線下兩種銷售方式．與2019年4月份相比，該超市2020年4月份銷售總額增長10%，其中線上銷售額增長43%，線下銷售額增長4%．（1）設2019年4月份的銷售總額為a元，線上銷售額為x元，請用含a，x的代數(shù)式表示2020年4月份的線下銷售額（直接在表格中填寫結果）；時間銷售總額（元）線上銷售額（元）線下銷售額（元）2019年4月份axa﹣x2020年4月份1.1a1.43x1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份線上銷售額與當月銷售總額的比值．【分析】（1）由線下銷售額的增長率，即可用含a，x的代數(shù)式表示出2020年4月份的線下銷售額；（2）根據(jù)2020年4月份的銷售總額＝線上銷售額+線下銷售額，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代數(shù)式表示），再將其代入中即可求出結論．【解答】解：（1）∵與2019年4月份相比，該超市2020年4月份線下銷售額增長4%，∴該超市2020年4月份線下銷售額為1.04（a﹣x）元．故答案為：1.04（a﹣x）．（2）依題意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），解得：x＝a，∴＝＝＝0.2．答：2020年4月份線上銷售額與當月銷售總額的比值為0.2．【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及列代數(shù)式，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．2．（2019?安徽）為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負責施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作多少天？【分析】設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x﹣2）米．根據(jù)“甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米”列出方程，然后求工作時間．【解答】解：設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x﹣2）米，由題意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程隊每天掘進5米，（天）答：甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作10天．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意得出兩隊的工效，進而得出等量關系是解題關鍵．二．二元一次方程組的應用（共2小題）3．（2023?安徽）根據(jù)經(jīng)營情況，公司對某商品在甲、乙兩地的銷售單價進行了如下調(diào)整：甲地上漲10%，乙地降價5元．已知銷售單價調(diào)整前甲地比乙地少10元，調(diào)整后甲地比乙地少1元，求調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價．【分析】設調(diào)整前甲地該商品的銷售單價為x元，乙地該商品的銷售單價為y元，根據(jù)銷售單價調(diào)整前甲地比乙地少10元，調(diào)整后甲地比乙地少1元，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設調(diào)整前甲地該商品的銷售單價為x元，乙地該商品的銷售單價為y元，由題意得：，解得：，答：調(diào)整前甲地該商品的銷售單價40元，乙地該商品的銷售單價為50元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．4．（2022?安徽）某地區(qū)2020年進出口總額為520億元，2021年進出口總額比2020年有所增加，其中進口額增加了25%，出口額增加了30%．注：進出口總額＝進口額+出口額．（1）設2020年進口額為x億元，出口額為y億元，請用含x，y的代數(shù)式填表：年份進口額/億元出口額/億元進出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y1.25x+1.3y（2）已知2021年進出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進口額和出口額分別是多少億元？【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以用含x、y的代數(shù)式表示出2021年進出口總額；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應的方程組，然后求解即可．【解答】解：（1）由表格可得，2021年進出口總額為：1.25x+1.3y，故答案為：1.25x+1.3y；（2）由題意可得，，解得，∴1.25x＝400，1.3y＝260，答：2021年進口額是400億元，出口額是260億元．【點評】本題考查二元一次方程組的應用、列代數(shù)式，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程組．三．解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）5．（2019?安徽）解方程：（x﹣1）2＝4．【分析】利用直接開平方法，方程兩邊直接開平方即可．【解答】解：兩邊直接開平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【點評】此題主要考查了直接開平方法，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．四．根的判別式（共2小題）6．（2020?安徽）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（）A．x2﹣2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+1＝2x D．x2﹣2x＝0【分析】分別計算四個方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的意義對各方程的根的情況進行判斷，從而得到正確選項．【解答】解：A．原方程化為x2﹣2x﹣3＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以A選項不符合題意；B．Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程沒有實數(shù)解，所以B選項不符合題意；C．原方程化為x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有兩個相等的實數(shù)解，所以C選項符合題意；D．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞，方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以D選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根是解決問題的關鍵．7．（2022?安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m＝2．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出結論．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，牢記“當Δ＝0時，方程有兩個相等實數(shù)根”是解題的關鍵．一．解一元一次方程（共2小題）1．（2023?懷遠縣二模）方程＝1去分母正確的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6 B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1 C．9x﹣3﹣4x+2＝6 D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時乘以6，去括號，選出正確的選項即可．【解答】解：﹣＝1，方程兩邊同時乘以6得：3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6，去括號得：9x﹣3﹣4x﹣2＝6，故選：D．【點評】本題考查了解一元一次方程，正確掌握等式的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2023?六安三模）關于x的一元一次方程的解為x＝﹣1．【分析】方程去分母，移項即可求出解．【解答】解：去分母得：x+1＝0，移項得：x＝﹣1．故答案為：x＝﹣1．【點評】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關鍵．二．由實際問題抽象出一元一次方程（共3小題）3．（2023?花山區(qū)一模）受疫情影響，某景區(qū)2020年上半年游客較少，隨著國內(nèi)疫情逐步得到控制，2020年下半年游客人數(shù)比2020年上半年增加了40%，預計2021年上半年游客人數(shù)將達到2020年上半年的2倍，設2021年上半年，與2020年下半年相比游客人數(shù)的增長率為x，則下列關系正確的是（）A．（1+40%）（1+x）＝2 B．（1+40%）（1+x）2＝2 C．1+40%+x＝2 D．1+40%（1+x）＝2【分析】利用2021年上半年游客人數(shù)＝2020年下半年游客人數(shù)×（1+增長率），即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：（1+40%）（1+x）＝2．故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．4．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）本人三年前存了一份3000元的教育儲蓄，今年到期時的本利和為3243元，請你幫我算一算這種儲蓄的年利率．若年利率為x%，則可列方程3000+3000×3×x%＝3243．（年存儲利息＝本金×年利率×年數(shù)，不計利息稅）【分析】本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×年數(shù)，把相關數(shù)值代入即可．【解答】解：∵本金為3000元，年利率為x%，存了3年．∴利息為3000×x%×3，∴可列方程為3000+3000×3×x%＝3243，故答案為：3000+3000×3×x%＝3243．【點評】本題考查了列一元一次方程解決實際問題，明確關系式：本利和＝本金+利息是解題的關鍵．5．（2023?蒙城縣三模）小剛從家出發(fā)去上學，若跑步去學校，每小時跑10km會遲到5分鐘：若同一時刻沿著同一路線，騎自行車去學校，每小時騎15km則可早到12分鐘，設他家到學校的路程是xkm，則根據(jù)題意列出方程是（）A． B． C． D．【分析】設他家到學校的路程是xkm，根據(jù)時間＝路程÷速度結合上課時間不變，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：設他家到學校的路程是xkm，依題意，得：﹣＝+．故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．三．一元一次方程的應用（共7小題）6．（2023?合肥三模）為保障蔬菜基地種植用水，需要修建若干米灌溉水渠，某施工隊計劃8天完成任務，在完成一半任務后，遭遇了持續(xù)的惡劣天氣，每天比原來少修建20米，最后完成任務共用了10天，問施工隊共需完成修建灌溉水渠多少米？【分析】設施工隊共需完成修建灌溉水渠x米，利用工作效率＝工作效率÷工作時間，結合“在完成一半任務后，遭遇了持續(xù)的惡劣天氣，每天比原來少修建20米”，即可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：設施工隊共需完成修建灌溉水渠x米，根據(jù)題意得：﹣＝20，解得：x＝480．答：施工隊共需完成修建灌溉水渠480米．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．7．（2023?淮南二模）中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載，“三百七十八里關：初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其大意是：有人要去某關口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到關口，求此人第一和第六這兩天共走的路程．【分析】設此人第六天走的路程為x里，則前五天走的路程分別為2x，4x，8x，16x，32x里，由此人六天一共走了378里，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：設此人第六天走的路程為x里，則前五天走的路程分別為2x，4x，8x，16x，32x里，依題意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378．解得：x＝6，32x＝192，答：此人第六天走的路程為6里，第一天走的路程為192里．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．8．（2023?瑤海區(qū)二模）列方程或方程組解應用題：2022年卡塔爾世界杯小組賽中，A組四個球隊之間進行單循環(huán)比賽，每個隊都要賽3場，本小組一共賽6場，各隊勝負場數(shù)及得分如表（不完整）：注：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．球隊名稱勝場平場負場數(shù)積分荷蘭07塞內(nèi)加爾1厄瓜多爾1114卡塔爾0030根據(jù)以上信息，求：（1）荷蘭隊勝場數(shù)、平場數(shù)各是多少？（2）塞內(nèi)加爾隊最后的積分是多少？【分析】（1）設荷蘭隊勝場數(shù)為x，平場數(shù)為3﹣x，根據(jù)題目可列出一元一次方程，解方程即可得到結論；（2）根據(jù)各隊的平場數(shù)可推出塞內(nèi)加爾也沒有平場，從而得到塞內(nèi)加爾隊勝2場、平0場，從而計算得塞內(nèi)加爾隊最后的積分是6．【解答】解：（1）設荷蘭隊勝場數(shù)為x，平場數(shù)為3﹣x，根據(jù)題意，3x+3﹣x＝7，解得，x＝2，3﹣x＝1，答：荷蘭隊勝場數(shù)為2，平場數(shù)為1．（2）∵每個隊都要賽3場，本小組一共賽6場，∴由荷蘭和厄瓜多爾各自平1場，卡塔爾沒有平場可知，塞內(nèi)加爾也沒有平場，而已知塞內(nèi)加爾輸了1場，每隊均賽3場，故塞內(nèi)加爾贏了2場，∴塞內(nèi)加爾隊最后的積分是3×2+1×0+0×1＝6（分）．答：塞內(nèi)加爾隊最后的積分是6分．【點評】本題主要考查了一元一次方程的應用，正確列出方程是解題的關鍵．9．（2023?蕭縣三模）《九章算術》是中國古代《算經(jīng)十書》最重要的一部，它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系，其中有一道闡述“盈不足數(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．其意思可以理解為現(xiàn)在有一些人共同買一個物品，如果每人出8錢，還多出3錢；如果每人出7錢，則還差4錢．（1）若共同買這一物品的人數(shù)為x人，則根據(jù)每人出8錢，還多出3錢，表示該物品的價格為（8x﹣3）錢（用含x的式子表示）；（2）計算購買3個該物品所需的錢數(shù)．【分析】（1）利用物品的錢數(shù)＝每人出的錢數(shù)×人數(shù)﹣3，即可用含x的代數(shù)式表示出物品的價格；（2）根據(jù)物品的價格不變，可得出關于x的一元一次方程，解之可求出x的值，將其代入（8x﹣3）中，可求出物品的價格，再×3，即可求出購買3個該物品所需的錢數(shù)．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：該物品的價格為（8x﹣3）錢．故答案為：（8x﹣3）；（2）根據(jù)題意得：8x﹣3＝7x+4，解得：x＝7，∴8x﹣3＝8×7﹣3＝56﹣3＝53，∴53×3＝159（錢）．答：購買3個該物晶需159錢．【點評】本題考查了一元一次方程的應用、數(shù)學常識以及列代數(shù)式，解題的關鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，用含x的代數(shù)式表示出物品的價格；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程．10．（2023?蚌山區(qū)三模）在舉辦“智慧大閱讀”的某一項比賽現(xiàn)場，組委會為每個比賽場地準備了四條腿的桌子和三條腿的凳子共12個，若桌子腿數(shù)與凳子腿數(shù)的和為40條，則每個比賽場地有幾張桌子和幾條凳子？【分析】首先根據(jù)題意，設有x張桌子，則有（12﹣x）條凳子，然后根據(jù)：桌子腿數(shù)+凳子腿數(shù)＝40，列出方程，求出桌子的數(shù)量，進而求出凳子的數(shù)量即可．【解答】解：設有x張桌子，則有（12﹣x）條凳子，依題意得：4x+3（12﹣x）＝40，解得：x＝4，∴12﹣x＝12﹣4＝8，答：每個比賽場地有4張桌子和8條凳子．【點評】本題考查一元一次方程的應用，弄清題意，找出合適的等量關系，進而列出方程是解題的關鍵．11．（2023?廬江縣三模）受連日暴雨影響，某地甲乙兩個村莊穴發(fā)泥石流災害，急需從市中心東．西兩個儲備倉庫調(diào)運救災物資．已知這兩個儲備倉庫均有救災物資15噸，其中A村需要18噸，B村需要12噸．從東倉庫運往A、B兩村的運費分別為60元/噸和20元/噸，從西倉庫運往A、B兩村的運費分別為40元/噸和30元/噸．（1）設從東倉調(diào)運x噸救災物資去A村，完成下列表格：運往A村的物資/噸運往B村的物資/噸東倉庫x15﹣x西倉庫18﹣xx﹣3（2）調(diào)運結束之后，結算運費時發(fā)現(xiàn)，支付給東西兩個倉庫的運費相差220元，求x的值．【分析】（1）根據(jù)已知填表即可；（2）求出東西兩個倉庫的運費，分兩種情況列方程可解得答案．【解答】解：（1）填表如下：運往A村的物資/噸運往B村的物資/噸東倉庫x15﹣x西倉庫18﹣xx﹣3故答案為：15﹣x，18﹣x，x﹣3；（2）由題意知：支付給東倉庫的運費為：60x+20（15﹣x）＝40x+300，支付給西倉庫的運費為：40（18﹣x）+30（x﹣3）＝630﹣10x，若40x+300﹣（630﹣10x）＝220，解得x＝11，若630﹣10x﹣（40x+300）＝220，解得：x＝2.2＜3，不符合題意，舍去．答：x的值為11．【點評】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出相關的代數(shù)式和方程解決問題．12．（2023?碭山縣一模）A，B兩個超市同時促銷某款筆記本，已知兩個超市的標價都是每本10元，A超市的優(yōu)惠條件是：不超過10本按標價銷售，從第11本開始每本按標價的70%銷售；B超市的優(yōu)惠條件是：每本均按標價的80%銷售．（1）小明要購買x本（x＞10）筆記本時，到A超市需要付款（7x+30）元，到B超市需要付款8x元；（2）購買多少本時，兩個超市付款一樣多？【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別寫出到兩家超市的付款情況；（2）根據(jù)到兩個超市付款一樣多和（1）中的結果，可以列出相應的方程，然后求解即可．【解答】解：（1）由題意可得，小明要購買x本（x＞10）練習本時，到甲超市需要付款10×10+（x﹣10）×10×70%＝（7x+30）元，到乙超市需要付款10×80%x＝8x（元），故答案為：（7x+30），8x；（2）由題意可得，7x+30＝8x，解得x＝30，答：購買30本時，兩個超市付款一樣多．【點評】本題考查了一元一次方程的應用、列代數(shù)式，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程和代數(shù)式．四．二元一次方程的定義（共1小題）13．（2023?禹會區(qū)二模）若方程7x|m|+（m+1）y＝6是關于x，y的二元一次方程，則m的值為1．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義即可得到答案．【解答】解：根據(jù)二元一次方程的定義，方程中只含有2個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)為1，得，解得m＝1，故答案為：1．【點評】此題考查的是二元一次方程的定義及絕對值，二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．五．解二元一次方程組（共1小題）14．（2023?廬陽區(qū)校級模擬）方程組的解為．【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：4x＝8，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，則方程組的解為．故答案為：．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．六．由實際問題抽象出二元一次方程組（共2小題）15．（2023?包河區(qū)三模）2022年某地區(qū)參加養(yǎng)老保險的婦女人數(shù)共165萬人，比2010年增加120萬人，其中參加城鎮(zhèn)職工養(yǎng)老保險和城鄉(xiāng)居民養(yǎng)老保險的人數(shù)分別是2010年的1.5倍和8倍，設2022年參加城鎮(zhèn)職工養(yǎng)老保險和城鄉(xiāng)居民養(yǎng)老保險的人數(shù)分別為x萬人和y萬人，則（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)2022年某地區(qū)參加養(yǎng)老保險的婦女人數(shù)及2010年該地區(qū)參加養(yǎng)老保險的婦女人數(shù)間的關系，即可列出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵2022年某地區(qū)參加養(yǎng)老保險的婦女人數(shù)共165萬人，∴x+y＝165；∵2022年某地區(qū)參加養(yǎng)老保險的婦女人數(shù)比2010年增加120萬人，且2022年參加城鎮(zhèn)職工養(yǎng)老保險和城鄉(xiāng)居民養(yǎng)老保險的人數(shù)分別是2010年的1.5倍和8倍，∴+＝162﹣120．∴根據(jù)題意可列方程組．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．16．（2023?雨山區(qū)校級模擬）《算法統(tǒng)宗》中有一道題為“隔溝計算”，其原文是：甲乙隔溝放牧，二人暗里參詳，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙說得甲九只羊，二家之數(shù)相當，兩人閑坐惱心腸，畫地算了半晌．這個題目的意思是：甲、乙兩個牧人隔著山溝放羊，兩人都在暗思對方有多少只羊，甲對乙說：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙對甲說：“我若得你9只羊，我們兩家的羊數(shù)就一樣多．”設甲有x只羊，乙有y只羊，根據(jù)題意列出二元一次方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“甲+9＝2（乙﹣9）”、“乙+9＝甲﹣9”可以列出相應的方程組，本題得以解決．【解答】解：設甲有x只羊，乙有y只羊，根號題意得，．故選：B．【點評】此題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答此題的關鍵是弄清題意，設出未知數(shù)，再根據(jù)數(shù)量關系列出方程組解決問題．七．二元一次方程組的應用（共4小題）17．（2023?廬陽區(qū)校級三模）在某學校食堂為學生提供的400克早餐套餐中，蛋白質(zhì)總含量為10%，包括一個谷物面包，一盒牛奶和一個去殼雞蛋（一個去殼雞蛋的質(zhì)量約為50克，其中蛋白質(zhì)含量為11克：谷物面包和牛奶的部分主要營養(yǎng)成分如圖所示）．項目面包（含量）牛奶（含量）蛋白質(zhì)10%7%脂肪30%3.4%碳水化合物45%5.8%設該份早餐中谷物面包為x克，牛奶為y克．（1）請補全表格（用含有x，y的代數(shù)式表示）；谷物面包牛奶去殼雞蛋總量質(zhì)量/克xy50400蛋白質(zhì)含量/克10%x7%y11400×10%（2）求出x，y的值．【分析】（1）根據(jù)谷物面包、牛奶的質(zhì)量及兩種食物中蛋白質(zhì)的含量，即可用含x（y）的代數(shù)式表示出該食物中蛋白質(zhì)的含量；（2）根據(jù)“早餐套裝的總質(zhì)量為400克，且蛋白質(zhì)總含量為10%”，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：谷物面包中蛋白質(zhì)的含量為10%x克，牛奶中蛋白質(zhì)的含量為7%y克．故答案為：10%x；7%y；（2）根據(jù)題意得：，解得：．答：x的值為150，y的值為200．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及列代數(shù)式，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．18．（2023?合肥模擬）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋，已知購買5支毛筆和12副圍棋共花費315元，購買8支毛筆和6副圍棋共花費240元，求每支毛筆和每副圍棋的單價各多少元．【分析】設每副圍棋的單價是y元，每支毛筆的單價是x元，由題意：購買5支毛筆和12副圍棋共花費315元，購買8支毛筆和6副圍棋共花費240元，即可列出關于x、y的二元一次方程組，解二元一次方程組即可得出結論．【解答】解：設每副圍棋的單價是y元，每支毛筆的單價是x元，依題意得：，解得：，答：每支毛筆的單價是15元，每副圍棋的單價是20元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．19．（2023?宿州模擬）為了豐富同學們的課余生活、拓展同學們的視野，學校書店準備購進甲、乙兩類中學生書刊，已知甲類書刊比乙類書刊每本貴2元，若購買500本甲類書刊和400本乙類書刊共需要8200元，其中甲、乙兩類書刊的進價和售價如表：甲乙進價/（元/本）xy售價/（元/本）2013（1）求x，y的值；（2）第二次學校書店購進了1000本甲書刊和500本乙書刊，為了擴大銷量，小賣部準備對甲書刊進行打折出售，乙書刊價格不變，全部售完后總利潤為8500元，求甲書刊打了幾折？【分析】（1）由題意：甲類書刊比乙類書刊每本貴2元，若購買500本甲類書刊和400本乙類書刊共需要8200元，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設甲書刊打了m折，由題意：全部售完后總利潤為8500元，列出一元一次方程，解方程即可．【解答】（1）由題意得：，解得：，答：x＝10，y＝8；（2）由題意得：兩類書刊進價共為（1000×10+500×8）＝14000（元），設甲書刊打了m折，則兩類書刊售價為：1000×20×0.1m+500×13＝2000m+6500（元），由題意得：2000m+6500﹣14000＝8500，解得：m＝8，答：甲書刊打了8折．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程．20．（2023?安徽模擬）某工廠安排100名工人生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，每人每天可以生產(chǎn)1件A產(chǎn)品或2件B產(chǎn)品或1件C產(chǎn)品，生產(chǎn)1件A產(chǎn)品可獲利50元，生產(chǎn)1件B產(chǎn)品可獲利30元，要求每天生產(chǎn)的B產(chǎn)品數(shù)和C產(chǎn)品數(shù)相等，且生產(chǎn)A產(chǎn)品的獲利比生產(chǎn)B產(chǎn)品的獲利多800元，則應安排多少人生產(chǎn)B產(chǎn)品？【分析】設應安排x人生產(chǎn)A產(chǎn)品，y人生產(chǎn)B產(chǎn)品，則應安排（100﹣x﹣y）人生產(chǎn)C產(chǎn)品，由題意：每天生產(chǎn)的B產(chǎn)品數(shù)和C產(chǎn)品數(shù)相等，且生產(chǎn)A產(chǎn)品的獲利比生產(chǎn)B產(chǎn)品的獲利多800元，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設應安排x人生產(chǎn)A產(chǎn)品，y人生產(chǎn)B產(chǎn)品，則應安排（100﹣x﹣y）人生產(chǎn)C產(chǎn)品，由題意得：，解得：，答：應安排20人生產(chǎn)B產(chǎn)品．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．八．一元二次方程的定義（共2小題）21．（2023?廬江縣模擬）下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+y＝1 B．x＝3x3﹣2 C．x2﹣2＝0 D．3x＝1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，逐項判斷即可求解．【解答】解：A、2x+y＝1，是二元一次方程，故本選項不符合題意；B、x＝3x3﹣2，是一元三次方程，故本選項不符合題意；C、x2﹣2＝0，是一元二次方程，故本選項符合題意；D、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2次的整式方程，叫一元二次方程．22．（2023?碭山縣一模）方程+（5+m）x+3＝0是關于x的一元二次方程，則m＝﹣2．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義知，m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，據(jù)此可以求得m的值．【解答】解：∵方程+（5+m）x+3＝0是關于x的一元二次方程，∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2；故答案是：﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程的定義．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．九．一元二次方程的解（共3小題）23．（2023?定遠縣校級模擬）已知x2﹣3x+1＝0，求x2+的值．【分析】把方程x2﹣3x+1＝0兩邊除以x可得到x+＝3，則利用完全平方公式得到x2+＝（x+）2﹣2，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣3+＝0，∴x+＝3，∴x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．解決本題的關鍵是把方程x2﹣3x+1＝0變形得到x+＝3．24．（2023?阜陽三模）若關于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一個根為0，則m的值為（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3【分析】利用一元二次方程根的定義，確定出m的值即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一個根為0，∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故選：C．【點評】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)且a≠0）．25．（2023?蕭縣三模）若x＝2是關于x的一元二次方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0的解，則k＝2．【分析】直接把x＝2代入一元二次方程得到4﹣4k+3k﹣2＝0，然后解關于k的方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0得4﹣4k+3k﹣2＝0，解得k＝2，即k的值為2．故答案為：2．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．一十．解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）26．（2023?廬江縣模擬）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【分析】根據(jù)直接開方法即可求出答案．【解答】解：∵2（x﹣1）2﹣18＝0，∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x＝4或x＝﹣2；【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．一十一．解一元二次方程-配方法（共2小題）27．（2023?蕪湖模擬）若一元二次方程x2+bx+5＝0配方后為（x﹣3）2＝k，則b，k的值分別為（）A．0，4 B．0，5 C．﹣6，5 D．﹣6，4【分析】先把（x﹣3）2＝k化成x2﹣6x+9﹣k＝0，再根據(jù)一元二次方程x2+bx+5＝0得出b＝﹣6，9﹣k＝5，然后求解即可．【解答】解：∵（x﹣3）2＝k，∴x2﹣6x+9﹣k＝0，∵一元二次方程x2+bx+5＝0配方后為（x﹣3）2＝k，∴b＝﹣6，9﹣k＝5，∴k＝4，∴b，k的值分別為﹣6、4；故選：D．【點評】此題考查了一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．28．（2023?廬陽區(qū)校級三模）解方程：x（x﹣6）＝6．【分析】根據(jù)單項式乘多項式的運算法則把原方程變形，利用配方法解出方程．【解答】解：原方程變形為：x2﹣6x＝6，則x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，∴x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．一十二．解一元二次方程-因式分解法（共2小題）29．（2023?蕪湖模擬）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．【分析】觀察原方程，可運用二次三項式的因式分解法進行求解．【解答】解：原方程可化為：（x﹣7）（x+1）＝0，x﹣7＝0或x+1＝0；解得：x1＝7，x2＝﹣1．【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，當把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．當化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程．30．（2023?廬江縣一模）等腰三角形的兩邊長為方程x2﹣4x+3＝0的兩根，則這個等腰三角形的周長為7．【分析】先利用因式分解法求出方程的兩個根，從而可得等腰三角形的兩邊長，再根據(jù)等腰三角形的定義、三角形的三邊關系定理可得這個等腰三角形的三邊長，然后利用三角形的周長公式即可得．【解答】解：x2﹣4x+3＝0，因式分解，得（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3，∵等腰三角形的邊長是方程x2﹣4x+3＝0的兩個根，∴這個等腰三角形的兩邊長為1，3，（1）當邊長為1的邊為腰時，這個等腰三角形的三邊長為1，1，3，此時1+1＜3，不滿足三角形的三邊關系定理，舍去；（2）當邊長為3的邊為腰時，這個等腰三角形的三邊長為1，3，3，此時1+3＞3，滿足三角形的三邊關系定理，則這個等腰三角形的周長為1+3+3＝7；綜上，這個等腰三角形的周長為7，故答案為：7．【點評】本題考查了解一元二次方程、等腰三角形的定義、三角形的三邊關系定理等知識點，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關鍵．一十三．根的判別式（共5小題）31．（2023?霍邱縣一模）關于x的一元二次方程x2﹣2023x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能確定【分析】先計算出Δ＝（﹣2023）2﹣4×1×（﹣1）＝＞0，然后根據(jù)判別式Δ＝b2﹣4ac的意義即可判斷方程根的情況．【解答】解：∵Δ＝（﹣2023）2﹣4×1×（﹣1）＝20232+4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．32．（2023?蜀山區(qū)三模）若關于x的一元二次方程mx2+4x＝x2+2有實數(shù)根，則m的值有可能是（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】利用一元二次方程根的判別式求出m的取值范圍即可得到答案．【解答】解：∵關于x的一元二次方程mx2+4x＝x2+2有實數(shù)根，整理得（m﹣1）x2+4x﹣2＝0，∴Δ＝42﹣4（m﹣1）×（﹣2）≥0且m﹣1≠0，∴m≥﹣1且m≠1，∴四個選項中，只有D選項符合題意，故選：D．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，則方程沒有實數(shù)根．33．（2023?懷遠縣校級模擬）若關于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．且k≠﹣1 B．且k≠﹣1 C． D．【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，即可得出關于k的不等式組，解之即可得出k的取值范圍．【解答】解：∵關x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：且k≠﹣1．故選：A．【點評】本題考查一元二次方程的定義以及根的判別式，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，找出關于k的不等式組是解題的關鍵．34．（2023?廬陽區(qū)校級三模）已知關于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有兩個相等的實數(shù)根，+c的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【分析】若一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立關于a與c的等式，即可求出答案．【解答】解：∵關于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝4﹣4a（2﹣c）＝0，∴1﹣2a+ac＝0，∵a≠0，∴+c＝2．故選：C．【點評】考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．35．（2023?金安區(qū)一模）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)解的是（）A．（x+2）2＝1 B．x2＝x C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣3x﹣3＝0【分析】根據(jù)解方程可對A、B進行判斷；根據(jù)根的判別式的意義可對C、D進行判斷．【解答】解：A、（x+2）2＝1，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，所以A選項不合題意；B、x2＝x，即x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1，所以B選項不合題意；C、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，則方程沒有實數(shù)解，所以C選項符合題意；D、Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，所以D選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式（Δ＝b2﹣4ac）：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．一十四．根與系數(shù)的關系（共3小題）36．（2023?廬江縣一模）王剛同學在解關于x的方程x2﹣3x+c＝0時，誤將﹣3x看作+3x，結果解得x1＝1，x2＝﹣4，則原方程的解為（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣4 B．x1＝1，x2＝4 C．x1＝﹣1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝3【分析】利用根與系數(shù)的關系求得c的值；然后利用因式分解法解原方程即可．【解答】解：依題意得關于x的方程x2+3x+c＝0的兩根是：x1＝1，x2＝﹣4．則c＝1×（﹣4）＝﹣4，則原方程為x2﹣3x﹣4＝0，整理，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4．故選：C．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系．此題解得c的值是解題的關鍵．37．（2023?花山區(qū)二模）關于x的方程x2﹣x﹣3＝0的兩根分別為x1，x2，則x1+x2﹣x1?x2的值為（）A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關系求解．【解答】解：∵關于x的方程x2﹣x﹣3＝0的兩根分別為x1，x2，∴x1?x2＝1，x1+x2＝﹣3，∴x1+x2﹣x1?x2＝﹣3﹣1＝﹣4，故選：D．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．38．（2023?蜀山區(qū)校級模擬）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的兩根，則﹣的值是（）A．2 B． C． D．﹣2【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得a+b＝2，ab＝﹣2，再化簡分式可得，最后將a+b＝2整體代入即可解答．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的兩根，∴a+b＝2，∴＝＝＝＝＝．故選：B．【點評】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系、分式的加減運算，正確對分式進行化簡是解答本題的關鍵．一十五．由實際問題抽象出一元二次方程（共2小題）39．（2023?鳳臺縣校級二模）某超市1月份的營業(yè)額為200萬元，2月份、3月份的營業(yè)額共800萬元，如果平均每月的增長率為x，則根據(jù)題意列出的方程正確的為（）A．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800 C．200+200×2x＝1000 D．200（1+x）2＝800【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出方程200+200（1+x）+200（1+x）2＝200+800，然后變形，即可解答本題．【解答】解：由題意可得，200+200（1+x）+200（1+x）2＝200+800，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000，故選：A．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是明確題意，列出相應的方程．40．（2023?廬陽區(qū)校級三模）某工廠計劃用兩年時間使產(chǎn)值增加到目前的4倍，并且使第二年增長率是第一年增長率的2倍，設第一年增長率為x，則可列方程得（）A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4 C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝4【分析】由增長率間的關系，可得出第二年增長率為2x，設該工廠原產(chǎn)值為a，則兩年后產(chǎn)值為4a，利用兩年后產(chǎn)值＝原產(chǎn)值×（1+第一年增長率）×（1+第二年增長率），即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵第二年增長率是第一年增長率的2倍，且第一年增長率為x，∴第二年增長率為2x．設該工廠原產(chǎn)值為a，則兩年后產(chǎn)值為4a，根據(jù)題意得：a（1+x）（1+2x）＝4a，即（1+x）（1+2x）＝4．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．一十六．一元二次方程的應用（共7小題）41．（2023?六安三模）春季是傳染病多發(fā)季節(jié).2023年3月，我國某地甲型流感病毒傳播速度非?？?，開始有4人被感染，經(jīng)過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感．若每輪傳染的速度相同，求每輪每人傳染的人數(shù)．【分析】設每輪每人傳染的人數(shù)為x人，則第一輪中有4x人被感染，第二輪中有x（4+4x）人被感染，根據(jù)“開始有4人被感染，經(jīng)過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感”，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【解答】解：設每輪每人傳染的人數(shù)為x人，則第一輪中有4x人被感染，第二輪中有x（4+4x）人被感染，根據(jù)題意得：4+4x+x（4+4x）＝256，即4（1+x）2＝256，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合題意，舍去）．答：每輪每人傳染的人數(shù)為7人．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．42．（2023?廬江縣一模）已知：如圖，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？（2）是否存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的？如果存在，求出相應的t值；如果不存在，說明理由．【分析】（1）①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的表達式和∠B的度數(shù)進行求解即可；（2）先用△ABC的面積﹣△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，然后根據(jù)題意四邊形APQC的面積等于三角形ABC面積的，可得出一個關于t的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．【解答】解：（1）設經(jīng)過t秒△PBQ是直角三角形，則AP＝tcm，BQ＝tcm，在△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝（3﹣t）cm，在△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，當∠BQP＝90°時，，即秒），當∠BPQ＝90°時，，秒），答：當t＝1秒或t＝2秒時，△PBQ是直角三角形．（2）過P作PM⊥BC于M，在△BPM中，，∴，∴，∴＝，假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的，則，∴，∴t2﹣3t+3＝0，∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，∴方程無解，∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的．【點評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、解一元二次方程，解直角三角形與三角形面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．43．（2023?蕪湖模擬）建設美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？【分析】（1）設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，利用2021年投入資金金額＝2019年投入資金金額×（1+年平均增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）設該市在2022年可以改造y個老舊小區(qū)，根據(jù)2022年改造老舊小區(qū)所需資金不多于2022年投入資金金額，即可得出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結論．【解答】解：（1）設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，依題意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%．（2）設該市在2022年可以改造y個老舊小區(qū)，依題意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y為整數(shù)，∴y的最大值為18．答：該市在2022年最多可以改造18個老舊小區(qū)．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．44．（2023?金安區(qū)校級二模）如圖，有一塊寬為16m的矩形荒地，某公園計劃將其分為A、B、C三部分，分別種植不同的植物．若已知A、B地塊為正方形，C地塊的面積比B地塊的面積少40m2，則該矩形荒地的長為26m．【分析】設B地塊的邊長為xm，根據(jù)“C地塊的面積比B地塊的面積少40m2”列出方程求解即可．【解答】解：設B地塊的邊長為xm，根據(jù)題意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符題意，舍去），∴10+16＝26m，故答案為：26m．【點評】考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找到題目中的等量關系，難度不大．45．（2023?安徽模擬）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，1月銷售400個，2，3月這種臺燈銷售量持續(xù)增加，在售價不變的基礎上，3月的銷售量達到576個，設2，3兩個月的銷售量月平均增長率不變．（1）求2，3兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月起，在3月銷售量的基礎上，商場決定降價促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價在35元至40元范圍內(nèi)，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個．這種臺燈售價定為多少時，商場4月銷售這種臺燈獲利4800元？【分析】（1）設2，3兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為x，利用三月份的銷售量＝一月份的銷售量×（1+月均增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）解法一：設每臺降價y元，則每臺的銷售利潤為（40﹣y﹣30）元，四月份可售出（576+12y）臺，利用總利潤＝每臺的銷售利潤×四月份的銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；解法二：設每臺售價定為y元，則每臺的銷售利潤為（y﹣30）元，四月份可售出[576+12（40﹣y）]臺，利用總利潤＝每臺的銷售利潤×四月份的銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：（1）設2，3兩個月的銷售量月平均增長率為x，依題意，得：400（1+x）2＝576，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：2，3兩個月的銷售量月平均增長率為20%．（2）解法一：設這種臺燈每個降價y元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元，依題意，得：（40﹣y﹣30）（576+12y）＝4800，整理，得：y2+38y﹣80＝0，解得y1＝2，y2＝﹣40（不符合題意，舍去），當y＝2時，40﹣y＝38．答：該種臺燈售價定為38元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元．解法二：設這種臺燈售價定為y元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元，依題意，得：（y﹣30）[576+12（40﹣y）]＝4800，整理，得y2﹣118y+3040＝0，解得y1＝38，y2＝80（不符合題意，舍去）．答：該種臺燈售價定為38元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元．【點評】本題考查一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．本題運用了一題多解的思路．46．（2023?蕭縣一模）某超市以每千克40元的價格購進菠蘿蜜，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠．現(xiàn)決定降價銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式．（2）當每千克菠蘿蜜降價4元時，超市獲利多少元？（3）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實惠，這種菠蘿蜜每千克應降價多少元？【分析】（1）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)圖象上點的坐標，利用待定系數(shù)法，即可求出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）利用總利潤＝每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可求出結論；（3）利用總利潤＝每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再結合要讓顧客獲得更大實惠，即可得出這種干果每千克應降價7元．【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝kx+b（k≠0），將（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案為：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）（60﹣4﹣40）×（20×4+60）＝16×140＝2240（元）．答：當每千克干果降價4元時，超市獲利2240元．（3）根據(jù)題意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要讓顧客獲得更大實惠，∴x＝12．答：這種干果每千克應降價12元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用、一次函數(shù)的應用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是：（1）根據(jù)圖中點的坐標，利用待定系數(shù)法求出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，列式計算；（3）找準等量關系，正確列出一元二次方程．47．（2023?定遠縣校級一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進價為每頂40元，售價為每頂68元，平均每周可售出100頂．商店計劃將頭盔降價銷售，每頂售價不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價2元，平均每周可多售出40頂．（1）若該商店希望平均每周獲利4000元，則每頂頭盔應降價多少？（2）商店降價銷售后，決定每銷售1頂頭盔就向某慈善機構捐贈m元（m為整數(shù)，且1≤m≤5），幫助做“交通安全”宣傳．捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商店每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大，求m的值．【分析】（1）設每頂頭盔應降價x元，則每頂頭盔的銷售利潤為（68﹣x﹣40）元，平均每周的銷售量為（100+20x）頂，根據(jù)每周銷售頭盔獲得的利潤＝每頂頭盔的銷售利潤×平均每周的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，結合每頂售價不高于58元，即可確定x的值；（2）設每周扣除捐贈后可獲得利潤為w元，每頂頭盔售價為a元，利用每周銷售頭盔獲得的利潤＝每頂頭盔的銷售利潤×平均每周的銷售量，即可得出w關于a的函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再結合1≤m＜5且m為整數(shù)，即可得出m的值．【解答】解：（1）設每頂頭盔應降價x元，則每頂頭盔的銷售利潤為（68﹣x﹣40）元，平均每周的銷售量為（100+20x）頂，依題意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，整理得：x2﹣23x+60＝0，解得：x1＝3，x2＝20，∵68﹣x≤58，∴x≥10，∴x＝20．答：每頂頭盔應降價20元；（2）設每周扣除捐贈后可獲得利潤為w元，每頂頭盔售價為a元，依題意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．∵拋物線的對稱軸為a＝，開口向下，當a≤58時，利潤仍隨售價的增大而增大，∴≥58，解得：m≥3，又∵1≤m≤5，且m為整數(shù)，∴m＝3或m＝4或m＝5．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，找出w關于a的函數(shù)關系式．一十七．配方法的應用（共2小題）48．（2023?廬陽區(qū)校級一模）關于x的一元二次方程新定義：若關于x的一元二次方程：a1（x﹣m）2+n＝0與a2（x﹣m）2+n＝0，稱為“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0與3（x﹣3）2+4＝0就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0與（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．那么代數(shù)式﹣ax2+bx+2015取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】利用“同族二次方程”定義列出關系式，再利用多項式相等的條件列出關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進而利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【解答】解：∵2（x﹣1）2+1＝0與（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，∴，解得，∴﹣ax2+bx+2015＝﹣5x2﹣10x+2015＝﹣5（x+1）2+2020，則代數(shù)式﹣ax2+bx+2015能取的最大值是2020．故選：A．【點評】此題考查了配方法的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．49．（2023?定遠縣校級三模）閱讀下面的材料：我們可以用配方法求一個二次三項式的最大值或最小值，例如：求代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）①仿照上述方法求代數(shù)式m2﹣4m﹣3的最小值為﹣7．②代數(shù)式﹣x2﹣4x+7的最大值為11．（2）延伸與應用：如圖示，小紅父親想用長60m的柵欄．再借助房屋的外墻圍成一個矩形的羊圈，已知房屋外墻長40m，設矩形ABCD的邊面積為Sm2．當AB，BC分別為多少米時，羊圈的面積最大？最大值是多少？【分析】（1）①仿照閱讀材料、利用配方法把原式化為完全平方式與一個數(shù)的和的形式，根據(jù)偶次方的非負性解答；②利用配方法把原式進行變形，根據(jù)偶次方的非負性解答即可；（2）設AB＝xm，則BC＝（60﹣2x）m，根據(jù)矩形的面積公式得到S＝x（60﹣2x），再利用配方法把原式進行變形，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）①∵m2﹣4m﹣3＝m2﹣4m+4﹣7＝（m﹣2）2﹣7，由（m﹣2）2≥0，得（m﹣2）2﹣7≥﹣7；∴代數(shù)式m2﹣4m﹣3的最小值是﹣7．故答案為：﹣7；②﹣x2﹣4x+7＝﹣x2﹣4x﹣4+11＝﹣（x+2）2+11，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2+11≤11，∴代數(shù)式﹣x2﹣4x+7有最大值，最大值為11．故答案為：11；（2）設AB＝xm，則BC＝（60﹣2x）m，根據(jù)題意得，S＝x（60﹣2x）＝60x﹣2x2＝﹣2（x2﹣30x）＝﹣2（x2﹣30x+225）+450＝﹣2（x﹣15）2+450，∵﹣2＜0，∴當x＝15時，S有最大值450，即當AB，BC分別為15m，30m時，羊圈的面積最大，最大值是450m2．【點評】本題考查的是配方法的應用，偶次方的非負性，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握配方法的一般步驟、偶次方的非負性是解題的關鍵．一十八．高次方程（共2小題）50．（2023?蚌埠一模）已知是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，該數(shù)滿足：x2＝x+1，x3＝2x+1，x4＝3x+2，x5＝5x+3，x6＝8x+5，…（1）依次規(guī)律，寫出x7關于x的一次表達式；（2）若xn＝αx+β，請用關于x的一次表達式表示xn+1（含α，β），并證明你的結論．【分析】（1）根據(jù)等式左邊系數(shù)及常數(shù)的變化規(guī)律求解即可；（2）結合（1）的規(guī)律可得xn+1＝（α+β）x+α，利用xn+1＝x?xn＝x（αx+β）＝αx2+βx，再代入x2＝x+1變形即可證得結論．【解答】解：（1）觀察x2＝x+1，x3＝2x+1，x4＝3x+2，x5＝5x+3，x6＝8x+5每項的系數(shù)變化可得：一次項系數(shù)為上一個式子的一次項系數(shù)與常數(shù)項之和，常數(shù)項為上一個式子的一次項系數(shù)；即：x7＝13x+8；（2）由規(guī)律可得：xn+1＝（α+β）x+α；證明：∵xn＝αx+β，∴xn+1＝x?xn＝x（αx+β）＝αx2+βx，又∵x2＝x+1，∴xn+1＝x?xn＝x（αx+β）＝αx2+βx＝α（x+1）+β＝αx+α+βx＝（α+β）x+α，即：xn+1＝（α+β）x+α．【點評】此題是探求規(guī)律題，讀懂題意，尋找規(guī)律是關鍵．還考查了整式的乘法．51．（2023?蚌山區(qū)模擬）代數(shù)基本定理告訴我們對于形如（其中a1，a2，…，an為整數(shù)）這樣的方程，如果有整數(shù)根的話，那么整數(shù)根必定是an的約數(shù)．例如方程x3+8x2﹣11x+2＝0的整數(shù)根只可能為±1，±2，代入檢驗得x＝1時等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可轉化為：（x﹣1）（x2+9x﹣2）＝0，進而可求得方程的所有解．請你仿照上述解法，解方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0得到的解為x＝3或x＝﹣2+或x＝﹣2﹣．【分析】本題通過題干分析，按照題干的方法可得方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0的整數(shù)根只能是±1，±3，代入檢驗得x＝3時等式成立，得到x＝3，然后根據(jù)方法轉化原方程，得到對應的解．【解答】解：x3+x2﹣11x﹣3＝0的整數(shù)根只可能為±1，±3，代入檢驗得x＝3時等式成立，故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣3，x3+8x2﹣11x+2＝0，（x﹣3）（x2+4x+1）＝0，∴x﹣3＝0，或x2+4x+1＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2+，x3＝﹣2﹣，故答案為：x＝3或x＝﹣2+或x＝﹣2﹣．【點評】本題考查高階次冪的一元方程的解法，通過判斷整數(shù)解來進行因式分解，從而求出對應的解．一十九．分式方程的解