專題21.9一元二次方程的應(yīng)用：面積與幾何問題（重難點(diǎn)培優(yōu)）-【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【人教版】

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題21.9一元二次方程的應(yīng)用：面積與幾何問題（重難點(diǎn)培優(yōu)）【名師點(diǎn)睛】一、列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．6．答：寫出答案．二、形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．運(yùn)動點(diǎn)問題：物體運(yùn)動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【典例剖析】【例1】（2022春?西湖區(qū)校級月考）某花圃需要綠化的面積為52000米2，施工隊(duì)在綠化了28000米2后，將每天的工作量增加為原來的1.5倍，結(jié)果提前4天完成了該項(xiàng)綠化工程．（1）該項(xiàng)綠化工程原計(jì)劃每天完成多少米2？（2）該項(xiàng)綠化工程中，如圖有長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個小門，此時(shí)花圃的面積剛好為45米2，求此時(shí)花圃的長和寬．【分析】（1）直接利用每天的工作量增加為原來的1.5倍，結(jié)果提前4天完成了該項(xiàng)綠化工程，進(jìn)而得出等式求出答案；（2）利用矩形綠地，它們的面積之和為45米2，進(jìn)而得出等式求出答案．【解析】（1）設(shè)該項(xiàng)綠化工程原計(jì)劃每天完成x米2，根據(jù)題意得：﹣＝4，解得：x＝2000，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2000是原方程的解，答：該綠化項(xiàng)目原計(jì)劃每天完成2000平方米；（2）設(shè)花圃的寬度為x米，則BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x，根據(jù)題意，得（24﹣3x）x＝45，解得：x1＝3，x2＝5．∵當(dāng)x＝3時(shí)，24﹣3x＝15＞14，∴不符合題意，舍去．∴寬為5米，長為9米．答：花圃的長為9米，寬為5米．【變式】．（2020春?平桂區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從A沿AC邊向C點(diǎn)以1cm/s的速度移動，在C點(diǎn)停止，點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CB邊向點(diǎn)B以1.5cm/s的速度移動，在B點(diǎn)停止，點(diǎn)P，Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)4秒鐘后PQ＝2cm．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）若點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后PQ＝BQ．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解；（2）PC＝（6﹣x）cm，CQ＝1.5xcm，BQ＝（8﹣1.5x）cm，利用勾股定理和PQ＝BQ列出方程，求出答案．【解析】（1）P、Q同時(shí)出發(fā)4秒鐘后：PC2＝（6﹣4×1）2＝4，QC2＝（1.5×4）2＝36，∴PC2+QC2＝4+36＝40，∵PQ＝2cm，∴PQ2＝40，∴PC2+QC2＝PQ2，∴∠PCQ＝90°，即∠ACB＝90°；（2）設(shè)經(jīng)過x秒鐘后PQ＝BQ，則：PC＝AC﹣AP＝（6﹣x）cm，CQ＝1.5xcm，BQ＝（8﹣1.5x）cm，∵PQ＝BQ，∴PQ2＝BQ2．∵PQ2＝PC2+QC2＝（6﹣x）2+（1.5x）2，∴（6﹣x）2+（1.5x）2＝（8﹣1.5x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣14（不合題意，舍去）．答：經(jīng)過2秒鐘后，PQ＝BQ．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?橋西區(qū)校級模擬）如圖，將邊長為40cm的正方形硬紙板的四個角各剪掉一個同樣大小的正方形，剩余部分折成一個無蓋的盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）若該無蓋盒子的底面積為900cm2，盒子的容積是（）A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm3【分析】設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm，則做成的無蓋盒子的底面為長（40﹣2x）cm的正方形，根據(jù)該無蓋盒子的底面積為900cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用盒子的容積＝該無蓋盒子的底面積×盒子的高，即可求出結(jié)論．【解析】設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm，則做成的無蓋盒子的底面為長（40﹣2x）cm的正方形，依題意得：（40﹣2x）2＝900，解得：x1＝5，x2＝35（不合題意，舍去），∴盒子的容積為900×5＝4500（cm3）．故選：C．2．（2022?棗陽市模擬）如圖，在一塊長12m，寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積為77m2，設(shè)道路的寬為xm，則根據(jù)題意，可列方程為（）A．12×8﹣12x﹣8x+2x2＝77 B．12×8﹣12x﹣2×8x＝77 C．（12﹣x）（8﹣x）＝77 D．（8﹣x）（12﹣2x）＝77【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的部分是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程．【解析】∵道路的寬應(yīng)為x米，∴由題意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，故選：C．3．（2022?浦江縣模擬）取一張長與寬之比為5：2的長方形紙板，剪去四個邊長為5cm的小正方形（如圖）．并用它做一個無蓋的長方體形狀的包裝盒，要使包裝盒的容積為200cm3（紙板的厚度略去不計(jì)）．這張長方形紙板的長為多少厘米？（）A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm【分析】設(shè)這張長方形紙板的長為5x厘米，寬為2x厘米，根據(jù)包裝盒的容積為200cm3，得5（5x﹣10）?（2x﹣10）＝200，解方程即可．【解析】設(shè)這張長方形紙板的長為5x厘米，寬為2x厘米，根據(jù)題意，得5（5x﹣10）?（2x﹣10）＝200，解方程，得x1＝1（不合題意，舍去），x2＝6，∴這張長方形紙板的長為30厘米，故選：B．4．（2022?侯馬市模擬）如圖是某公園在一長35m，寬23m的矩形湖面上修建的等寬的人行觀景曲橋，它的面積恰好為原矩形湖面面積的，求人行觀景曲橋的寬．若設(shè)人行觀景曲橋的寬為xm，則x滿足的方程為（）A． B．（35﹣x）（23﹣x）+2x2＝23×35 C． D．（35﹣x）（23﹣x）＝23×35【分析】分別表示出長和寬，根據(jù)矩形的面積公式列方程即可．【解析】若設(shè)人行觀景曲橋的寬為xm，、根據(jù)題意得：，故選：C．5．（2022?嘉興一模）如圖，一塊長方形綠地長90米，寬60米．在綠地中開辟兩條道路，使得的a：b＝2：3，開辟道路后剩余綠地面積為5046平方米，則b的值為（）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米【分析】剩余部分可合成長為（90﹣a），寬為（60﹣b）的長方形，結(jié)合a：b＝2：3且剩余綠地面積為5046平方米，即可得出關(guān)于b的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解析】依題意得：（90﹣b）（60﹣a）＝5046，即（90﹣b）（60﹣b）＝5046，整理得：b2﹣180b+531＝0，解得：b1＝3，b2＝177（不合題意，舍去）．故選：C．6．（2022?海珠區(qū)一模）某小區(qū)原有一塊長為30米，寬為20米的矩形康樂健身區(qū)域，現(xiàn)計(jì)劃在這一場地四周（場內(nèi)）筑一條寬度相等的健走步道，其步道面積為214平方米，設(shè)這條步道的寬度為x米，可以列出方程是（）A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214 B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214 D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣214【分析】設(shè)出健走步道的寬度，然后根據(jù)面積間的關(guān)系列出方程求解即可．【解析】設(shè)健走步道的寬度為x米，根據(jù)題意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214，故選：C．7．（2022春?溫州期中）《代數(shù)學(xué)》中記載，形如x2+8x＝33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個面積為x2的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積為33+16＝49，則該方程的正數(shù)解為7﹣4＝3．”小聰按此方法解關(guān)于x的方程x2+6x+m＝0時(shí)，構(gòu)造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為19，則該方程的正數(shù)解為（）A．5 B． C． D．【分析】根據(jù)題意先求出空白的小正方形的邊長，再表示出大正方形的面積，根據(jù)大正方形的邊長減去2個空白小正方形的邊長即為方程的正數(shù)解．【解析】根據(jù)題意，可知以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造的一個矩形的面積為x，∴四個空白的小正方形的邊長為，∴大正方形的面積為19+4×＝19+9＝28，∴該方程的正數(shù)解為﹣3，故選：B．8．（2022?北碚區(qū)校級模擬）如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度．設(shè)竹子折斷處離地面x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，利用勾股定理列出方程即可．【解析】設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．故選D．9．（2020?衡陽）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【分析】若設(shè)小道的寬為x米，則陰影部分可合成長為（35﹣2x）米，寬為（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】依題意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故選：C．10．（2020?平頂山模擬）如圖所示，把四個長和寬分別為x+2和x的矩形拼接成大正方形．若四個矩形和中間小正方形的面積和為4×35+22，則根據(jù)題意能列出的方程是（）A．x2+2x﹣35＝0 B．x2+2x+35＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝0【分析】根據(jù)正方形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，變形后即可得出結(jié)論．【解析】依題意，得：（x+x+2）2＝4×35+22，即x2+2x﹣35＝0．故選：A．二．填空題（共6小題）11．（2022春?西湖區(qū)校級期中）如圖，在寬為25m，長為40m的長方形耕地上修建同樣寬的三條道路（橫向與縱向垂直），把耕地分成若干塊，作為小麥試驗(yàn)田，假設(shè)試驗(yàn)田面積為912m2，求道路的寬為多少？設(shè)道路的寬為xm，可列出的方程是x2﹣45x+44＝0．（化為一般形式）【分析】設(shè)道路的寬為xm，則種植小麥的部分可合成長為（40﹣2x）m，寬為（25﹣x）m的矩形，根據(jù)試驗(yàn)田面積為912m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，化簡后即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)道路的寬為xm，則種植小麥的部分可合成長為（40﹣2x）m，寬為（25﹣x）m的矩形，依題意得：（40﹣2x）（25﹣x）＝912，化簡得：x2﹣45x+44＝0．故答案為：x2﹣45x+44＝0．12．（2022春?鄞州區(qū)期中）一張長方形照片長21cm，寬10cm，配一個鏡框，鏡框的四條邊寬度都相等，且鏡框的面積是照片本身面積的四分之一，求鏡框的寬度．設(shè)鏡框的寬度為xcm，依題意可列方程為8x2+124x﹣105＝0（化為一般式）【分析】根據(jù)鏡框所占面積是照片本身面積的四分之一，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】設(shè)鏡框的寬度為xcm，依題意，得：21×10＝4[（21+2x）（10+2x）﹣21×10]，整理，得：8x2+124x﹣105＝0．故答案為：8x2+124x﹣105＝0．13．（2022?山西模擬）如圖是一張長6cm，寬5cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形（陰影部分），剩余部分可制成底面積是6cm2的有蓋的長方體鐵盒．若設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm，則根據(jù)題意可列方程（3﹣x）（5﹣2x）＝6．【分析】根據(jù)底面矩形的面積公式可得答案．【解析】設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm．則列出的方程是（3﹣x）（5﹣2x）＝6，故答案為：（3﹣x）（5﹣2x）＝6．14．（2021秋?朝陽縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，則2或3秒時(shí)，△BPQ的面積是6cm2．【分析】設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，則PB＝（10﹣2t）cm，BQ＝tcm，利用三角形的面積計(jì)算公式，結(jié)合△BPQ的面積是6cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，則PB＝（10﹣2t）cm，BQ＝tcm，依題意得：（10﹣2t）t＝6，整理得：t2﹣5t+6＝0，解得：t1＝2，t2＝3．∴2或3秒時(shí)，△BPQ的面積是6cm2．故答案為：2或3．15．（2022春?慶元縣校級月考）某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場（矩形ABCD），兩面靠現(xiàn)有墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩面用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．若飼養(yǎng)場的面積為180平方米，則飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊AB的長為10米．【分析】設(shè)飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊AB長為x米，則飼養(yǎng)場另一邊BC＝（總長+3個1米的門的寬度）﹣3x米＝（48﹣3x）（米），根據(jù)矩形的面積公式列出方程，解得即可．【解析】設(shè)飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊AB長為x米，則飼養(yǎng)場另一邊BC＝（總長+3個1米的門的寬度）﹣3x米＝（45+3）﹣3x＝（48﹣3x）（米），根據(jù)題意得：x（48﹣3x）＝180，解得x1＝6，x2＝10，0≤48﹣3x≤27，0≤x≤15，∴7≤x≤15，∴x＝10，答：飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊AB的長為10米，故答案為：10．16．（2020?山西）如圖是一張長12cm，寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒．則剪去的正方形的邊長為2cm．【分析】根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解即可．【解析】設(shè)底面長為acm，寬為bcm，正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的邊長為2cm．故答案為：2．三．解答題（共4小題）17．（2022春?長興縣期中）某牧場準(zhǔn)備利用現(xiàn)成的一堵“7”字形的墻面（粗線A﹣B﹣C表示墻面）建飼養(yǎng)場，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，現(xiàn)計(jì)劃用總長為38米的籬笆圍建一個“日”字形的飼養(yǎng)場BDEF，并在每個區(qū)域開一個寬2米的門，如圖（細(xì)線表示籬笆，飼養(yǎng)場中間用籬笆GH隔開），點(diǎn)F可能在線段BC上，也可能在線段BC的延長線上．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，①設(shè)EF的長為x米，則DE＝（45﹣3x）米；（用含x的代數(shù)式表示）②若圍成的飼養(yǎng)場BDEF的面積為132平方米，求飼養(yǎng)場的寬EF的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC延長線上，所圍成的飼養(yǎng)場BDEF的面積能否為156平方米？如果能達(dá)到，求出EF的長；如果不能，請說明理由．【分析】（1）①根據(jù)各邊之間的關(guān)系，即可用含x的代數(shù)式表示出DE的長；②利用矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合DE不超過15米，即可得出飼養(yǎng)場的寬EF的長為11米；（2）不能達(dá)到，設(shè)EF的長為y米，則DE＝米，利用矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣16＜0，可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根，即不能達(dá)到．【解析】（1）①設(shè)EF的長為x米，則DE＝38+2+2﹣（3x﹣3）＝（45﹣3x）（米）．故答案為：（45﹣3x）．②依題意得：x（45﹣3x）＝132，整理得：x2﹣15x+44＝0，解得：x1＝4，x2＝11．當(dāng)x＝4時(shí)，45﹣3x＝45﹣3×4＝33＞15，不合題意，舍去；當(dāng)x＝11時(shí)，45﹣3x＝45﹣3×11＝12＜15，符合題意．答：飼養(yǎng)場的寬EF的長為11米．（2）不能達(dá)到，理由如下：設(shè)EF的長為y米，則DE＝＝米，依題意得：y?＝156，整理得：y2﹣20y+104＝0，∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×104＝﹣16＜0，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，即當(dāng)點(diǎn)F在線段BC延長線上，所圍成的飼養(yǎng)場BDEF的面積不能達(dá)到156平方米．18．（2022?大同二模）如圖，某中學(xué)有一塊長30m，寬20m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地面積的一半?yún)^(qū)域種花，其余部分硬化．小亮同學(xué)設(shè)計(jì)了一個寬度相同的“U”形區(qū)域，求花帶的寬度．【分析】設(shè)花帶的寬度為xm，則硬化的部分長為（30﹣2x）m，寬為（20﹣x）m，根據(jù)硬化部分的面積為空地面積的一半，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合（30﹣2x）為正值，即可得出花帶的寬度為5m．【解析】設(shè)花帶的寬度為xm，則硬化的部分長為（30﹣2x）m，寬為（20﹣x）m，依題意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝30×20×，整理得：x2﹣35x+150＝0，解得：x1＝5，x2＝30．當(dāng)x＝5時(shí)，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞0，符合題意；當(dāng)x＝30時(shí)，30﹣2x＝30﹣2×30＝﹣30＜0，不符合題意，舍去．答：花帶的寬度為5m．19．（2020秋?同心縣期末）“疫情”期間，某小區(qū)準(zhǔn)備搭建一個面積為12平方米的矩形臨時(shí)隔離點(diǎn)ABCD，如圖所示，矩形一邊利用一段已有的圍墻（可利用的圍墻長度僅有5米