2.1認(rèn)識無理數(shù)教學(xué)設(shè)計北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊

教學(xué)設(shè)計學(xué)科初中數(shù)學(xué)課題認(rèn)識無理數(shù)章節(jié)八年級上冊第二章第一節(jié)1.（分析本課時教學(xué)內(nèi)容在單元中的位置，學(xué)習(xí)內(nèi)容對發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的功能價值，蘊含的正確價值觀念等）從有理數(shù)到實數(shù)是初中階段數(shù)系擴(kuò)充的最后一個階段，初中階段的多數(shù)問題都是在實數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的。本課時通過了解數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，認(rèn)識無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景，感受無理數(shù)的廣泛性，明確無理數(shù)的定義，會用數(shù)學(xué)眼光表達(dá)。在思想方法上，感受合情推理和演繹推理的異同，體會無限逼近的思想。本課時將有理數(shù)域擴(kuò)充到了實數(shù)域后，為實數(shù)的運算和應(yīng)用做好鋪墊。2.（分析學(xué)生與本課時學(xué)習(xí)相關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、知識儲備、學(xué)科能力水平、學(xué)生興趣與發(fā)展需求、發(fā)展路徑等）學(xué)生經(jīng)歷過正數(shù)到負(fù)數(shù)的擴(kuò)充過程，掌握有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，也可以分為正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)，會用計算器進(jìn)行平方運算；在活動經(jīng)驗上經(jīng)歷過用面積法驗證完全平方公式、平方差公式，利用圖形無縫拼接探索面積相關(guān)問題的活動經(jīng)驗，初步了解勾股定理，能夠用勾股定理計算簡單直角三角形類邊長問題。3.思政育人融入分析（分析本課時教學(xué)內(nèi)容與思政育人融合的知識點、內(nèi)在邏輯和具體路徑）1.科學(xué)態(tài)度：敢于質(zhì)疑、敢于追求真理。通過學(xué)生講解希帕索斯為真理而獻(xiàn)出生命的故事，讓學(xué)生樹立樹立敢于質(zhì)疑、敢于追求真理的理念。2.理性精神：培養(yǎng)規(guī)則意識、提升推理能力。通過發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，到定義無理數(shù)的過程，培養(yǎng)學(xué)生建議和遵守規(guī)則的意識；通過驗證無理數(shù)既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)的過程，提升學(xué)生合情推理和演繹推理的能力。3.數(shù)學(xué)文化：了解數(shù)學(xué)史、提升數(shù)學(xué)審美和數(shù)學(xué)底蘊。通過了解數(shù)學(xué)史上三次數(shù)學(xué)危機(jī)，知道危機(jī)并不會阻礙數(shù)學(xué)的發(fā)展，相反會給數(shù)學(xué)帶來了新的生機(jī)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)審美和數(shù)學(xué)底蘊。（根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生實際，指向?qū)W科素養(yǎng)和思政育人，描述學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程后應(yīng)達(dá)成的目標(biāo)）1.了解數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)，體會數(shù)學(xué)家對探索數(shù)學(xué)真相的無畏精神，樹立敢于質(zhì)疑、敢于追求真理的信念。2.通過拼圖活動，直觀理解無理數(shù)的存在性，借助計算機(jī)探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)的過程，從中體會無限逼近的思想，感受合情推理和演繹推理的魅力。3.理解無理數(shù)的定義，體會數(shù)系擴(kuò)充的必要性，會判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)。學(xué)習(xí)重點難點教學(xué)重點：認(rèn)識無理數(shù)，體會熟系擴(kuò)充的必要性。教學(xué)難點：用有理數(shù)無限逼近無理數(shù)的方法。6.學(xué)習(xí)活動設(shè)計教師活動學(xué)生活動布置前置性學(xué)習(xí)單：1.請大家查找資料，了解數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)；2.準(zhǔn)備兩張相同的正方形紙片，通過剪一剪、拼一拼的方式，設(shè)法得到一個大的正方形（不能剩余材料），明天上課進(jìn)行展示。學(xué)生在課前獨立完成。設(shè)計意圖充分利用書本或者網(wǎng)絡(luò)的途徑，搜集關(guān)于數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)的資料，了解數(shù)學(xué)發(fā)展史和數(shù)學(xué)與社會等各種文化之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)分別發(fā)生在公元前5世紀(jì)、17世紀(jì)、19世紀(jì)末，都是發(fā)生在西方文化大發(fā)展時期。因此，數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，都有其一定的文化背景。這三次數(shù)學(xué)危機(jī)分別是：第一次，古希臘時代，由于不可公度的線段――無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)與一些直覺的經(jīng)驗想抵觸而引發(fā)的；第二次，是在牛頓和萊布尼茨建立了微積分理論后，對無窮小量的理解未及深透引起的；第三次，是當(dāng)羅素發(fā)現(xiàn)了集合論中的悖論，危及整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)而引起的。三次數(shù)學(xué)危機(jī)盡管當(dāng)時對數(shù)學(xué)和哲學(xué)都造成了巨大的影響，給當(dāng)時某個時期造成了某種困境，然而由于一直未妨礙數(shù)學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用，反而在困境過后去，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了新的生機(jī)，危機(jī)的產(chǎn)生自然引起了人們的抵觸和打擊抹殺。但是真理是不可能被消除的，任何事物是無法阻礙其發(fā)展的。通過自主預(yù)習(xí)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索的激情為課堂教學(xué)做好充分的鋪墊。環(huán)節(jié)一：情境引入教師活動教師展示PPT，用有趣的語言講述第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生背景：大約在公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為萬物皆數(shù)，世間萬物都可以用整數(shù)或整數(shù)之比來表示。畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希帕索斯發(fā)現(xiàn)了一種數(shù)無法用整數(shù)或者整數(shù)之比來表示。他的新發(fā)現(xiàn)與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部形成了對立，引起了學(xué)派內(nèi)部的恐慌,因為他違背了畢達(dá)哥拉斯派的信條，而且沖擊著當(dāng)時希臘人持有的“一切量都可以用有理數(shù)表示”的信仰，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。為了減少希帕索斯的影響，畢達(dá)哥拉斯命人把希帕索斯扔進(jìn)了愛琴海。問題：希帕索斯發(fā)現(xiàn)了一種什么樣的數(shù)？他是怎么發(fā)現(xiàn)的？學(xué)生活動學(xué)生認(rèn)真聆聽，積極參與，認(rèn)真思考，并在教師提出問題之后，立刻行動起來。設(shè)計意圖了解無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史背景，把學(xué)生代入公元前5世紀(jì)的那段歷史，激發(fā)學(xué)生探索精神，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。環(huán)節(jié)二：初步探索教師活動希帕索斯用畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的“畢達(dá)哥拉斯定理”，也就是勾股定理得到了一個數(shù)的平方等于2，現(xiàn)在我們另外一種方式來直觀地解釋這個數(shù)的存在。動手操作：請你把準(zhǔn)備的兩個相同的正方形通過剪一剪、拼一拼，設(shè)法得到一個大正方形，并說說你是怎么拼起來的？問題1：設(shè)大正方形的邊長為a，a滿足什么條件？問題2：a可能是整數(shù)嗎？說說你的理由。問題3：a可能是分?jǐn)?shù)嗎？說說你的理由，并與同伴交流。問題4：a究竟是個什么數(shù)呢？它是多大呢？讓我們借助計算器來估算一下。讓我們借助計算器來估算一下。估算1：因為，，所以1<a<2估算2:因為，所以1<a<1.5估算3：因為，所以1.25<a<1.5估算4：因為，所以1.375<a<1.5估算5：因為，所以1.375<a<1.4375估算6：因為，所以1.40625<a<1.4375......問題5：還可以繼續(xù)算下去嗎？會不會算到某一次，這個數(shù)的平方恰好等于2？問題6：所以，你現(xiàn)在覺得a是一個什么數(shù)？學(xué)生活動學(xué)生積極動手操作，將手上的正方形紙片通過拼剪的方式得到一個大正方形，并充分展示自己的方法。問題1：同學(xué)一起回答；問題2：兩到三個同學(xué)回答，說理即可；問題3：與同伴進(jìn)行討論并分享問題4：在教師引導(dǎo)，了解“二分法”的操作過程，并在小組內(nèi)借助計算器完成至少6次的估算；問題5和問題6：自由回答，說出自己的看法；設(shè)計意圖設(shè)計剪拼活動的目的是讓學(xué)生重溫希帕索斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的過程，直觀地感知平方等于2的數(shù)是存在的，增加學(xué)生的體驗感。問題2和問題3一般都不是這個年齡段的學(xué)生自發(fā)產(chǎn)生的問題，這樣的問題對于八年級學(xué)生而言相對較為抽象、理性，課堂可能偏枯燥，設(shè)計剪拼活動的可以較好地調(diào)節(jié)課堂氣氛，讓學(xué)生對于“a不是有理數(shù)”的感受更加充分。環(huán)節(jié)三：深入探索教師活動剛才我們估算的過程，是一個合情推理的過程，這或許就是希帕索斯發(fā)現(xiàn)“這種數(shù)“的過程，我們重溫了那段歷史，接下來我們再來看看后續(xù)發(fā)生了什么吧。在公元前370年左右，柏拉圖的學(xué)生攸多克薩斯通過演繹推理的方式，證明了“這種數(shù)”的存在，解決了希帕索斯提出的問題。現(xiàn)在老師帶著大家一起來證明一下a既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，只能是一個無限不循環(huán)小數(shù)。證明：假設(shè)面積為2的正方形的邊長可寫成兩個整數(shù)p和q的比，即：（p和q互質(zhì)），于是有，。因此,是偶數(shù),p是偶數(shù)。于是可設(shè)p=2m,那么，則這就是說,是偶數(shù),q也是偶數(shù).這與"p和q是互質(zhì)的兩個整數(shù)"的假設(shè)矛盾。因此，結(jié)合剛才的估算，a只能是一個無限不循環(huán)小數(shù)。學(xué)生活動認(rèn)真思考，積極參與演繹推理環(huán)節(jié)，接受并理解說理的過程。設(shè)計意圖在經(jīng)過合情推理之后，學(xué)生已經(jīng)接受了a既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)的事實，這個時候隨著歷史的發(fā)展，重溫攸多克薩斯的演繹推理的過程，讓學(xué)生感受演繹推理的魅力，從而對于a的認(rèn)識深信不疑。環(huán)節(jié)四：概念歸納教師活動問題7：類似a的數(shù)還有很多，你還能舉出哪些例子嗎？既然存在著既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)的數(shù)，也就是說有理數(shù)不夠用了，說明我們要在有理數(shù)系的基礎(chǔ)上，對數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充。規(guī)定：無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)構(gòu)成了實數(shù)。除了像剛才我們舉出的例子，像我們非常熟悉的圓周率π=3.1415926...也是一個無限不循環(huán)小數(shù)，因此它也是個無理數(shù)。再如：0.585885888588885...（相鄰兩個5之間8的個數(shù)逐次加1），也是無理數(shù)。學(xué)生活動充分結(jié)合勾股定理，在舉出一些類似a的無理數(shù)，加深對無理數(shù)的理解。設(shè)計意圖問題7是進(jìn)一步豐富無理數(shù)的實際背景，使學(xué)生體會到無理數(shù)在現(xiàn)實生活中大量存在。目前學(xué)生只能以幾何圖形為背景，借助勾股定理進(jìn)行舉例，因此在下完定義后的舉例說明中，給出了兩個不同類型的無理數(shù)，再一次豐富學(xué)生的認(rèn)知。在給出定義的環(huán)節(jié)，結(jié)合學(xué)生之前的學(xué)習(xí)有理數(shù)的經(jīng)驗，對數(shù)系繼續(xù)進(jìn)行擴(kuò)充，自然而然地得到了實數(shù)的定義。環(huán)節(jié)五：應(yīng)用拓展教師活動例1下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？3.14，，，，0.101000100001...例2下列說法是否正確：所有無限小數(shù)都是無理數(shù)所有無理數(shù)都是無限小數(shù)有理數(shù)都是有限小數(shù)不是有限小數(shù)的不是有理數(shù)拓展1：在右1的正方形網(wǎng)格中，畫出3條不相等且長度都是無理數(shù)的線段拓展2：請你在方格紙上按照如下要求設(shè)計直角三角形：使它的三邊中有一邊邊長不是有理數(shù)；使它的三邊中有兩邊邊長不是有理數(shù)；使它的三邊都不是有理數(shù)。學(xué)生活動根據(jù)所學(xué)知識，快速完成練習(xí)題。設(shè)計意圖前兩個例題鞏固無理數(shù)的概念，加深對概念的理解；拓展問題旨在提升學(xué)生解決問題的能力。環(huán)節(jié)六：反思評價教師活動無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)——敢于質(zhì)疑、敢于追求真理無理數(shù)的猜想和證明——合情推理和演繹推理的魅力數(shù)系的擴(kuò)充——有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)無理數(shù)的拓展應(yīng)用——會在具體的情景中辨別有理數(shù)和無理數(shù)學(xué)生活動回顧本節(jié)課的知識形成過程，建立知識體系；除了知識之外，說說數(shù)學(xué)的發(fā)展史給自己帶來的體會和思考，從而樹立更遠(yuǎn)大的目標(biāo)。設(shè)計意圖回顧本節(jié)課的知識形成過程，建立知識體系，讓學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)展史給自己帶來的體會和思考，從而樹立更遠(yuǎn)大的目標(biāo)，形成正確的人生觀和價值觀。7.板書設(shè)計估算1：因為，,，所以1<a<2估算2:因為，所以1<a<1.5估算3：因為，所以1.25<a<1.5估算4：因為，所以1.375<a<1.5估算5：因為，所以1.375<a<1.4375估算6：因為，所以1.40625<a<1.4375......實數(shù)有理數(shù)實數(shù)無理數(shù)的定義：a可能是整數(shù)嗎？無限不循環(huán)小數(shù)a可能是分?jǐn)?shù)嗎？證明：假設(shè)面積為2的正方形的邊長可寫成兩個整數(shù)p和q的比，即：（p和q互質(zhì)），于是有，。因此,是偶數(shù),p是偶數(shù)。于是可設(shè)p=2m,那么，則這就是說,是偶數(shù),q也是偶數(shù).這與"p和q是互質(zhì)的兩個整數(shù)"的假設(shè)矛盾。8.作業(yè)與拓展學(xué)習(xí)設(shè)計（關(guān)注作業(yè)的針對性、預(yù)計完成時間，發(fā)揮作業(yè)對復(fù)習(xí)鞏固、引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)的作用）一．必做題1．下列數(shù)中是無理數(shù)的是（）A．2π B．3.1415926 C． D．﹣3.62．已知2＜m＜3，且m是無理數(shù)，請寫出一個符合要求的m的值．3．下列各數(shù)中：12，，，|﹣1|，0.1010010001…（每兩個1之間的0依次加1），其中，無理數(shù)有個．4．你能舉出3個有關(guān)無理數(shù)的實例嗎？5．如圖（1）是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME﹣7）的會徽，會徽的主體圖案是由如圖（2）的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．如果把圖（2）中的直角三角形繼續(xù)作下去，那么OA1、OA2、OA3…、OA25，這些線段中有多少條線段的長度為無理數(shù)？二．選做題6．定義：可以表示為兩個互質(zhì)整數(shù)的商的形式的數(shù)稱為有理數(shù)，整數(shù)可以看作分母為1的有理數(shù)；反之為無理數(shù)．如數(shù)x滿足，它不能表示為兩個互質(zhì)的整數(shù)的商，所以，x是無理數(shù)．可以這樣證明：設(shè)，p與q是互質(zhì)的兩個整數(shù)，且q≠0．于是有，．因此,是偶數(shù),p是偶數(shù)．于是可設(shè)p=2m,那么，則，因此,是偶數(shù),q也是偶數(shù).這與"p和q是互質(zhì)的兩個整數(shù)"的假設(shè)矛盾。因此，x是無理數(shù)．仔細(xì)閱讀上文，已知y滿足：，請證明：y是無理數(shù)9.特色學(xué)習(xí)資源分析、技術(shù)手段應(yīng)用說明（結(jié)合教學(xué)特色和實際撰寫）10.學(xué)習(xí)評價設(shè)計（從知識獲得、能力提升、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法、價值觀念培育等方面設(shè)計過程性評價的內(nèi)容