三角函數(shù)與圓

第二部分第四課時：三角函數(shù)與圓思想方法提煉感悟、滲透、應用課時訓練思想方法提煉三角函數(shù)是與角密切相關的函數(shù)，而圓中常會出現(xiàn)與角有關的求解問題，尤其會出現(xiàn)一些非特殊角求其三角函數(shù)值的問題，或已知三角函數(shù)值求圓中的有關線段長等問題.三角函數(shù)與圓的綜合應用也是中考中的熱點問題之一.感悟、滲透、應用【例1】如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，C為AB延長線上的點，以OC為直徑的圓交⊙O于D，連結AD，BD，CD.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AB=BC=2，求tan∠A的值.【解析】(1)證∠CDO=90°即可，理由OC為圓的直徑.(2)利用△BCD∽△DCA得到BD8DA的比值

解：(1)連結OD，∵OC為直徑∴∠CDO=90°又∵OD為⊙O的半徑∴CD是⊙O的切線(2)由切割線定理有：CD2=CB·CA=8∴CD=22∵∠BDC=∠A，∠BCD=∠DCA∴△BCD∽△DCA∴=∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°∴tan∠A=【例2】(2004年·甘肅省)已知：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE切⊙O于C，AE⊥CE,交⊙O于D.(1)求證：DC=BC；(2)若DC:AB=3:5,求sin∠CAD的值.

證明：連接BD.∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°.又∠AEC=90°.

∴BD//EC.∴∠ECD=∠BDC.∴BC=CD又∠CAD=∠CAB∴sin∠CAD=sin∠CAB=BC/AB=DC/AB=3/5.【例3】(2003年·湖北省黃岡市)已知：如圖Z4-3，C為半圓上一點，AC=CE，過點C作直徑AB的垂線CP，P為垂足，弦AE分別交PC，CB于點D，F(xiàn)，(1)求證：AD=CD；(2)若DF=5/4，tan∠ECB=3/4，求PB的長.【分析】(1)證△ACD為等腰三角形即可得.(2)先證明CD=AD=FD，在Rt△ADP中再利用勾股定理及tan∠DAP=tan∠ECB=3/4，求出DP、PA、CP，最后利用△APC∽△CPB求PB的長.解：(1)連結AC∵AC=CE∴∠CEA=∠CAE∵∠CEA=∠CBA∴∠CBA=∠CAE∵AB是直徑∴∠ACB=90°∵CP⊥AB∴∠CBA=∠ACP∴∠CAE=∠ACP∴AD=CD(2)∵∠ACB=90°∠CAE=∠ACP∴∠DCF=∠CFD∴AD=CD=DF=5/4∵∠ECB=∠DAP，tan∠ECB=3/4∴tan∠DAP=DPPA=3/4∵DP2+PA2=DA2∴DP=3/4PA=1∴CP=2∵∠ACB=90°，CP⊥AB∴△APC∽△CPB∴∴PB=4【例4】(2003年·河南省)已知如圖所示，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，CM的延長線交⊙O于點E，且EM＞MC，連結DE，DE=.(1)求EM的長；(2)求sin∠EOB的值.【分析】(1)用勾股定理求EC長，再用相交弦定理求EM的長.(2)構造Rt△EOF，利用三角函數(shù)求正弦值.解：(1)∵DC為⊙O的直徑∴DE⊥EC∵DC=8，DE=∴EC==7設EM=x，由于M為OB的中點∴BM=2，AM=6∴AM·MB=x·(7-x)即6×2=x(7-x)，x2-7x+12=0∴x1=3，x2=4∵EM＞MC∴EM=4(2)∵OE=EM=4∴△OEM為等腰三角形過E作EF⊥OM，垂足為F，則OF=1∴EF=∴sin∠EOB=【例5】(2003年·河南省)已知：如圖所示，AB是⊙O的直徑，O為圓心，AB=20，DP與⊙O相切于點D，DP⊥PB，垂足為P，PB與⊙O交于點C，PD=8(1)求BC的長；(2)連結DC，求tan∠PCD的值；(3)以A為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，求直線BD的解析式.【解析】(1)過O作OE⊥BC，垂足為E，則BE=EC，連結OD，則OD⊥DP又∵DP⊥PB，∴四邊形OEPD為矩形∴OE=PD=8∵OB=1/2*AB=1/2×20=10在Rt△OEB中，EB2=OB2-OE2=102-82=36∴EB=6，∴BC=2EB=12(2)∵PB=PE+EB=DO+EB=16∴PC=PB-BC=16-12=4在Rt△PCD中，DP=8，PC=4∴tan∠PCD=PD/PC==21.如圖所示，C是⊙O外一點，由C作⊙O的兩條切線，切點為B、D，BO的延長線交⊙O于E，交CD的延長線于A，若AE=2，AB=23求：(1)BE的長；(2)sinA的值.

解：(1)BE=AB-AE=2(3-1)(2)連OD，則OD=3-1∵CD為⊙O的切線∴OD⊥CD∴sinA=課時訓練3.△ABC中，AB=10，外接圓O的面積為25π，sinA，sinB是方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的個兩根，其中m≠-5.(1)求m的值；(2)求△ABC的內切圓的半徑.解(1)設⊙O的內切圓的半徑為r，⊙O的半徑為R∵πR2=25π∴R=5因⊙O的內接△ABC的邊AB=10=2R∴AB是⊙O的直徑，且∠ACB＝90°，則△ABC是直角三角形，從而∠A+∠B=90°，故sinB=cosA因sinA、sinB是一元二次方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的兩個根，故①2-②×2得(sinA+cosA)2-2sinA·cosA消去sinA和cosA，得m2-18m-40=0解之得m=20或m=-2(2)當m=20時，方程化為：25x2-35x+12=0解之得x=3/5，x=4/5則sinA=3/5，sinB=45或sinA=4/5，sinB=3/5即：AC=AB·sinB=10×4/5=8BC=AB·sinA=10×3/5=6或AC=6，BC=8于是內切圓半徑r=1/2(a+b-c)=1/2(8+6-10)=2當m=-2時，方程化為x2+3x+4=0∵此方程無實根∴m=-2應舍去∴m=20，r=24.如圖所示，拋物線y=ax2-3x+c交x軸正方向于A、B兩點，交y軸正方向于C點，過A、B、C三點作⊙D，若⊙D與y軸相切.(1)求a、c滿足的關系式；(2)設∠ACB=α，求tanα；(3)設拋物線頂點為P，判斷直線PA與⊙D的位置關系，并證明.解：(1)A、B的橫坐標是方程ax2-3x+c=0的兩根，設為x1，x2(x2＞x1)，C的縱坐標為c又∵y軸與⊙D相切，∴OA·OB=OC2∴x1·x2=c2，又由方程ax2-3x+c=0和已知x1·x2=∴c2=即ac=1.

(2)連結PD，交x軸于E，直線PD必為拋物線的對稱軸，連結AD、BD，∴AE=AB，∠ACB=∠ADB=∠ADE=α∵a＞0，x2＞x1∴AB=x2-x1=∴AE=又ED=OC=c，∴tanα=(3)設∠PAB=β，∵P點坐標為()又∵a＞0∴在Rt△PAE中，PE=∴tanβ=∴tanβ=tanα∴β=α∴∠PAE=∠ADE∵∠ADE+∠DAE=90°∴∠PAE+∠DAE=90°即∠PAD=90°∴PA和⊙D相切.5.(2003年·深圳市)如圖所示，已知A(5，-4)，⊙A與x軸分別相交于點B、C，⊙A與y軸相切于點D，(1)求過D、B、C三點的拋物線的解析式；(2)連結BD，求tan∠BDC的值；(3)點P是拋物線頂點，線段DE是直徑，直線PC與直線DE相交于點F，∠PFD的平分線FG交DC于G，求sin∠CGF的值.

解：(1)D(0，-4)，B(2，0)，C(8，0)∴解析式為：y=-1/4x2+5/2x-4∴y=-(x-5)2+9/4(3)求直線PC的解析式：y=-3/4x+6設I為直線PC與y軸的交點，則I的坐標為(0，6)∴ID=I