九年級數(shù)學配套課件：垂直于弦的直徑

第二十四章圓24.1圓的有關性質

學習目標-新課導入-新知探究-課堂小結-課堂訓練24.1.2垂直于弦的直徑

學習目標1.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.2.理解垂徑定理的性質和推論，并能應用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.（重點）3.靈活運用垂徑定理解決有關圓的問題.（難點）思考：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？

新課導入

探究：剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．

新知探究你能證明你的結論嗎？證明：如圖,設CD是⊙O的任意一條直徑,A為⊙O上點C，D以外的任意一點.過點A作AB⊥CD，交⊙O于點B,垂足為E.連接OA,OB.在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.又AB⊥CD∴AE=BE.·OABDEC

新知探究即CD是AB的垂直平分線.因此，⊙O關于直線CD對稱.如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．因為圓是軸對稱圖形，以直徑CD為對稱軸把⊙O折疊，你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？·OABCDE相等線段：AE=BE⌒⌒⌒⌒?。篈C=BC,AD=BD

新知探究即直徑CD平分弦AB，并且平分AC，ACB.⌒⌒·OABCDE∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.幾何語言：

新知探究

歸納總結垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。遣皇鞘遣皇荗EDCAB思考：分析下列圖形是否具備垂徑定理的條件？

新知探究深入思考：如圖，當直徑ＣＤ平分弦ＡＢ時，ＣＤ與ＡＢ垂直嗎？

AC=BC,AD=BD嗎？如果弦ＡＢ也是直徑，上述結論是否成立？⌒⌒⌒⌒ABDE

OC推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.

新知探究根據(jù)垂徑定理與其推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論.

新知探究你會任選一種情況證明嗎？如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒解：（1）連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.⌒⌒

新知探究想一想：根據(jù)剛剛所學，你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?

新知探究∴AB=37，CD=7.23.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.

新知探究解：如圖，用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R.⌒⌒經過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，與AB交于點C，連接OA.根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高.⌒⌒

新知探究在Rt△OAD中，由勾股定理，得即=18.52+(R-7.23)2

解得

R≈27.3（m）.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.例1如圖,⊙

O的弦AB＝8cm

，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵

CE⊥AB于D，∴設OC=xcm，則OD=(x-2)cm,根據(jù)勾股定理，得解得x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，

新知探究例2已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的?。?/p>

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

新知探究歸納總結:解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件.

新知探究垂徑定理內容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構造Rt△利用勾股定理計算或建立方程.

課堂小結1.判斷下列說法的正誤.

①平分弧的直徑必平分弧所對的弦;

②平分弦的直線必垂直弦;

③垂直于弦的直徑平分這條弦;

④平分弦的直徑垂直于這條弦

;⑤弦的垂直平分線是圓的直徑;⑥平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦;

⑦在圓中，如果一條直線經過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧.

課堂訓練3.如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE16

課堂訓練4.一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿____＿.2cm或12cm2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm

課堂訓練中考鏈接1．（2020?廣州）往直徑為52cm的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cmC

課堂訓練2．（2020?寧夏）我國古代數(shù)學經典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。娩徣ヤ忂@木材，鋸口深ED＝1寸，鋸道長AB＝1尺（1尺＝10寸）．問這根圓形木材的直徑是

寸．26

課堂訓練3．（2020?南通）已知⊙O的半徑為1