第十二章全等三角形常見(jiàn)全等三角形模型復(fù)習(xí)講義人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

常見(jiàn)全等三角形模型（壓軸）三角形全等的判定方法：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）．兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）．

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）．

兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）．證明三角形全等的基本思路：全等三角形中常見(jiàn)的基本模型：1手拉手模型①△ABE和△ACF均為等邊三角形結(jié)論：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠BOE=60°；（3）OA平分∠EOF．拓展圖形：結(jié)論：（1）AD=BE；（2）∠ACB=∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP=BQ；（6）CO平分∠AOE；（7）OA=OB+OC；（8）OE=OC+OD．②△ABD和△ACE均為等腰直角三角形結(jié)論：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．③ABEF和ACHD均為正方形結(jié)論：（1）BD⊥CF；（2）BD=CF．2三垂直模型由△AEB≌△BDC導(dǎo)出由△ABE≌△BCD導(dǎo)出由△ABE≌△ECD導(dǎo)出AE=CD+DEAB=EC+CDBC=AB+CD3等腰直角三角形型定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，BF=AE（AF=CE），動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等：結(jié)論：（1）△BDF≌△ADE，△ADF≌△CDE；（2）DE⊥DF；（3）S四邊形AFDE=1/2S△ABC．例1．在直線(xiàn)ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE與DC的夾角為60°；（4）BH平分∠AHC；（5）△ABG≌△DBF；（6）等邊△GBF；（7）GF∥AC.1．以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作兩個(gè)等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD，CE．（1）說(shuō)明BD=CE；（2）延長(zhǎng)BD，交CE于點(diǎn)F，求∠BFC的度數(shù)；（3）若如圖2放置，上面（1），（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．2．已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE（頂點(diǎn)A、D、E按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校B接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CE+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（a，0）（a＞0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持△ACP是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，得到等邊△AOB（此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合）．點(diǎn)C在移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)?shù)冗吶切蜛CP的頂點(diǎn)P在第三象限時(shí)（如圖所示），求證：△AOC≌△ABP；（2）若點(diǎn)P在第三象限，BP交x軸于點(diǎn)E，且∠ACO＝20°，求∠PAE的度數(shù)和E點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)C在y軸移動(dòng)的過(guò)程中，若∠APB＝30°，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．例2．如圖1，OA＝1，OB＝3，以A為直角頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APQ，過(guò)Q作QE⊥x軸于E點(diǎn)，求PO﹣QE的值．1．如圖，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線(xiàn)所圍成的圖形的面積S是（）．A．50 B．62 C．65 D．682．直線(xiàn)CD經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)C，CA=CB．E、F分別是直線(xiàn)CD上兩點(diǎn)，且．（1）若直線(xiàn)CD經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且E、F在射線(xiàn)CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①如圖1，若，則（填“”，“”或“”號(hào)）；②如圖2，若，若使①中的結(jié)論仍然成立，則與應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系是；（2）如圖3，若直線(xiàn)CD經(jīng)過(guò)的外部，，請(qǐng)?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．AABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖33．（1）如圖1，OA＝3，OB＝6，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）如圖2，OA＝3，P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以P為直角頂點(diǎn)，PA為腰作等腰直角△APD，過(guò)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求OP﹣DE的值；（3）如圖3，點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣3，﹣3），點(diǎn)G（0，m）在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)H（n，0）在x軸的正半軸上，且FH⊥FG，求m+n的值．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)C在x軸上，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，連接BE交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，作CD⊥BE交BE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，且CD=BF，連接AD，CF.（1）求證：△ABF≌△ACD；（2）若∠ACF=2∠CBF，求證：∠ACO=∠FCO；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），求OC的長(zhǎng).5．已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC中點(diǎn)，AF⊥BD于E，交BC于F，連接DF．求證：∠ADB=∠CDF．例3．如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線(xiàn)AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)AQ、CP交點(diǎn)為M，則變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．1．如圖，點(diǎn)G、H分別是正六邊形ABCDEF的邊BC、CD上的點(diǎn)，且BG＝CH，AG交BH于點(diǎn)P．（1）求證：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度數(shù)．例4．如圖，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，如果點(diǎn)M、N分別在線(xiàn)段AB、AC上移動(dòng)，并在移動(dòng)過(guò)程中始終保持AN=BM．（1）求證：△ANO≌△BMO；（2）求證：OM⊥ON．（3）當(dāng)M、N分別在線(xiàn)段AB、AC上移動(dòng)時(shí)，四邊形AMON的面積如何變化？1．如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．（1）若D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D作DM⊥DN分別交AB．AC于M．N，求證：DM=DN；（2）若DM⊥DN分別和BA．