高考數(shù)學(xué) 專題階段評(píng)估模擬卷3 數(shù)列、推理與證明、算法初步 文科

專題階段評(píng)估(三)數(shù)列、推理與證明、算法初步———————————————————————————————————【說明】本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分，請(qǐng)將第Ⅰ卷選擇題的答案填入答題格內(nèi)，第Ⅱ卷可在各題后直接作答，共150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)題號(hào)123456789101112答案一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2013·江西卷)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于()A．－24 B．0C．12 D．242．(2013·深圳調(diào)研)等差數(shù)列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為()A．S7 B．S6C．S5 D．S43．在數(shù)列{an}中，a1＝2i(i為虛數(shù)單位)，(1＋i)an＋1＝(1－i)an(n∈N*)，則a2012的值為()A．－2 B．0C．2 D．2i4．在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝120，公差d＝－4，若Sn≤an(n≥2)，則n的最小值為()A．60 B．62C．70 D．725．(2013·吉林長春調(diào)研測(cè)試)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的k＝5，則輸入的整數(shù)p的最大值為()A．7 B．15C．31 D．636．(2013·全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝()A．3 B．4C．5 D．67．已知函數(shù)y＝anx2(an≠0，n∈N*)的圖象在x＝1處的切線斜率為2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且當(dāng)n＝1時(shí)其圖象過點(diǎn)(2,8)，則a7的值為()A.eq\f(1,2) B．7C．5 D．68．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是()A．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推斷：Sn＝n2B．由f(x)＝xcosx滿足f(－x)＝－f(x)對(duì)?x∈R都成立，推斷：f(x)＝xcosx為奇函數(shù)C．由圓x2＋y2＝r2的面積S＝πr2，推斷：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的面積S＝πabD．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推斷：對(duì)一切n∈N*，(n＋1)2＞2n9．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＝3，且對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)列{Pn(n，an)}恒滿足PnPn＋1＝(1,2)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和SnA．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(4,3))) B．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,4)))C．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(2,3))) D．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))10．(2013·全國卷Ⅰ)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t∈[－1，3]，則輸出的s屬于()A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]11．(2013·山東萊蕪模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝3，an＋1－an＝eq\f(bn＋1,bn)＝3，n∈N*，若數(shù)列{cn}滿足cn＝ban，則c2013＝()A．92012 B．272012C．92013 D．27201312．(2013·河北教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)100＝－1，S100＝5 B．a(chǎn)100＝－3，S100＝5C．a(chǎn)100＝－3，S100＝2 D．a(chǎn)100＝－1，S100＝2第Ⅱ卷(非選擇題共90分)題號(hào)第Ⅰ卷第Ⅱ卷總分二171819202122得分二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中的橫線上)13．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a714．(2013·廣東惠州調(diào)研)閱讀如圖所示的程序框圖．若輸入n＝5，則輸出k的值為________．15．二維空間中圓的一維測(cè)度(周長)l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.則由四維空間中“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，猜想其四維測(cè)度W＝________.16．(2013·安徽卷)如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等，設(shè)OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)(2013·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2n－1a2n＋1)))的前n項(xiàng)和．18．(本小題滿分12分)已知在遞增等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a1，a3，a7成等比數(shù)列，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n＋1－2.(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝abn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.19．(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式Sn＞kan－2對(duì)一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．20．(本小題滿分12分)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a(1)求d，an；(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.21．(本小題滿分13分)(2013·陜西質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列{2n－1·an}的前n項(xiàng)和Sn＝1－eq\f(n,2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(|an|,n)，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n項(xiàng)和．22．(本小題滿分13分)已知點(diǎn)集L＝{(x，y)|y＝m·n}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，點(diǎn)列Pn(an，bn)在點(diǎn)集L中，P1為L的軌跡與y軸的交點(diǎn)，已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為1，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求eq\o(OPn,\s\up6(→))·OPn＋1的最小值；(3)設(shè)cn＝eq\f(\r(5),n·an|pnpn＋1|)(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．詳解答案一、選擇題1．A由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項(xiàng)是－3，－6，－12，則第四項(xiàng)為－24.2．C∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝a5＋a6＜0,a5＞0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＞0,a6＜0))，∴Sn的最大值為S5.3．A∵(1＋i)an＋1＝(1－i)an，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝－i，故{an}是以2i為首項(xiàng)，－i為公比的等比數(shù)列，∴a2012＝2i×(－i)2012－1＝2i×(－i)4×502＋3＝2i×i＝－2.4．B若Sn≤an(n≥2)，則Sn－1≤0(n≥2)，即Sn－1＝(n－1)×120－eq\f(n－1n－2,2)×4＝－2n2＋126n－124≤0，即n2－63n＋62≥0，即(n－1)(n－62)≥0，解得n≥62.5．B由程序框圖可知：①S＝0，k＝1；②S＝1，k＝2；③S＝3，k＝3；④S＝7，k＝4；⑤S＝15，k＝5.第⑤步后k輸出，此時(shí)S＝15≥p，則p的最大值為15，故選B.6．C∵{an}是等差數(shù)列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2.∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1.又Sm＝eq\f(ma1＋am,2)＝eq\f(ma1＋2,2)＝0，∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.7．C由題知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝eq\f(1,2)，又n＝1時(shí)其圖象過點(diǎn)(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首項(xiàng)為2，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，an＝eq\f(n,2)＋eq\f(3,2)，得a7＝5.故選C.8．A注意到，選項(xiàng)A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論，且注意到數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n1＋2n－1,2)＝n2，選項(xiàng)D中的推理屬于歸納推理，但結(jié)論不正確．9．A設(shè)Pn＋1(n＋1，an＋1)，則PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，即an＋1－an＝2，所以數(shù)列{an}是以2為公差的等差數(shù)列．又因?yàn)閍1＋2a2＝3，所以a1＝－eq\f(1,3)，所以Sn＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(4,3))).10．A因?yàn)閠∈[－1,3]，當(dāng)t∈[－1,1)時(shí)，s＝3t∈[－3,3)；當(dāng)t∈[1,3]時(shí)，s＝4t－t2＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，所以s∈[－3，4]．11．D由已知條件知{an}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，∴an＝3n，bn＝3n，又cn＝ban＝33n，∴c2013＝33×2013＝272013，故選D.12．A依題意an＋2＝an＋1－an＝－an－1，即an＋3＝－an，an＋6＝－an＋3＝an，故數(shù)列{an}是以6為周期的數(shù)列，，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a4)＋(a2＋a5)＋(a3＋a6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a100＝a4＝－a1＝－1，S100＝16(a1＋a2＋…＋a6)＋(a1＋a2＋a3＋a4)＝a2＋a3＝a2＋(a2－a1)＝2×3－1＝5，故選A.二、填空題13．解析：方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a方法二：a3＋a8＝2a3＋5d＝10,3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a答案：2014．解析：執(zhí)行程序框圖可得n＝5，k＝0；n＝16，k＝1；n＝49，k＝2；n＝148，k＝3；n＝148×3＋1＞150，循環(huán)結(jié)束，故輸出的k值為3.答案：315．解析：依題意猜想其四維測(cè)度的導(dǎo)數(shù)W′＝V＝8πr3，故可得W＝2πr4.答案：2πr416．解析：設(shè)OAn＝x(n≥3)，OB1＝y(tǒng)，∠O＝θ，記S△OA1B1＝eq\f(1,2)×1×ysinθ＝S，那么S△OA2B2＝eq\f(1,2)×2×2ysinθ＝4S，S△OA3B3＝4S＋(4S－S)＝7S，…，S△OAnBn＝eq\f(1,2)x·xysinθ＝(3n－2)S，∴eq\f(S△OAnBn,S△OA2B2)＝eq\f(\f(1,2)×x×xysinθ,\f(1,2)×2×2ysinθ)＝eq\f(3n－2S,4S)，∴eq\f(x2,4)＝eq\f(3n－2,4)，∴x＝eq\r(3n－2).即an＝eq\r(3n－2)(n≥3)．經(jīng)驗(yàn)證知an＝eq\r(3n－2)(n∈N*)．答案：an＝eq\r(3n－2)三、解答題17．解析：(1)設(shè){an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝0，,5a1＋10d＝－5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－1.))故{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－n.(2)由(1)知eq\f(1,a2n－1a2n＋1)＝eq\f(1,3－2n1－2n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)－\f(1,2n－1)))，從而數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2n－1a2n＋1)))的前n項(xiàng)和為eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－1)－\f(1,1)＋\f(1,1)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2n－3)－\f(1,2n－1)))＝eq\f(n,1－2n).18．解析：(1)∵a1，a3，a7成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,3)＝a1·a7，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則(2＋2d)2＝2(2＋6d)，d＞0，∴d＝1，an＝n＋1.又Sn＝2n＋1－2，b1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，經(jīng)檢驗(yàn)，n＝1適合此式，∴bn＝2n.(2)∵cn＝abn＝2n＋1，∴Tn＝(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n＋1)＝(2＋22＋…＋2n)＋n＝2n＋1－2＋n.19．解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，∴q＝eq\f(a3＋a2,a2＋a1)＝eq\f(18,9)＝2，∴2a1＋a1＝9，∴a1∴an＝3·2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(31－2n,1－2)＝3(2n－1)，∴3(2n－1)＞k·3·2n－1－2，∴k＜2－eq\f(1,3·2n－1).令f(n)＝2－eq\f(1,3·2n－1)，則f(n)隨n的增大而增大，∴f(n)min＝f(1)＝2－eq\f(1,3)＝eq\f(5,3).∴k＜eq\f(5,3).∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,3))).20．解析：(1)由題意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}為公差為d的等差數(shù)列得，d2－3解得d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*)．(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，所以當(dāng)n≤11時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－eq\f(1,2)n2＋eq\f(21,2)n；當(dāng)n≥12時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝eq\f(1,2)n2－eq\f(21,2)n＋110.綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)n2＋\f(21,2)n，n≤11，,\f(1,2)n2－\f(21,2)n＋110，n≥12.))21．解析：(1)由題意可知：Sn－1＝1－eq\f(n－1,2)(n≥2)，又2n－1·an＝Sn－Sn－1，∴2n－1·an＝－eq\f(1,2).∴an＝－eq\f(1,2n)＝－2－n(n≥2)．∴a1＝－eq\f(1,2).又S1＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，∴a1≠S1，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1,－2－n.n≥2))(2)由題意知bn＝eq\f(|an|,n)＝eq\f(2－n,n)＝eq\f(1,2n·n)(n≥2)，∴eq\f(1,bn)＝n·2n(n≥2)．∵eq\f(1,b1)＝eq\f(1,|a1|)＝2，∴eq\f(1,bn)＝n·2n(n≥1)．設(shè)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n項(xiàng)和為Seq\o\al(′,n)，則Seq\o\al(′,n)＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，2Seq\o\al(′,n)＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，∴Seq\o\al(′