因式分解方法精講及練習

八年級：因式分解提高講義知識要點:分解因式的定義：把一個多項式化成幾個整式積的形式，它的對象為一個多項式，分解因式的結果是整式的積的形式，即結果為單項式乘以多項式或多項式乘以多項式的形式。

說明：(1)分解的對象是多項式，結果要以乘積的形式出現(xiàn)；(2)每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)必須低于原來多項式的次數(shù)；(3)分解因式要徹底，直到不能再分解為止。分解因式與整式的乘法關系:互逆運算。因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法，分組分解法?！咎峁蚴椒ā看_定公因式的數(shù)字因數(shù)，當各項系數(shù)是整數(shù)時，各項系數(shù)的最大公約數(shù)就是公因式的系數(shù)；〔第一項系數(shù)為負，一般提出負號〕；確定公因式的字母及其指數(shù)，公因式的字母應是各項都含有的字母〔有時為多項式〕，其指數(shù)取最低的。例1、分解以下因式：〔1〕ma+mb;(2)m(a-b)+n(b-a);(3)。例2、分解以下各式：；〔2〕?！揪毩暋俊?〕〔2〕〔3)〔4〕〔5〕(6)a2(x-2a)2-a(2a-x)3(7)57.6××-×〔8〕．【公式法】平方差公式：a2－b2＝.完全平方公式：a2±2ab＋b2＝.立方和〔差〕公式例3、把以下各式分解因式：〔1〕；〔2〕；〔3〕。【練習】〔1〕；〔2〕；〔3〕；(4)a2(x-y)+b2(y-x)〔5〕〔6〕(7)-3ma3+6ma2-3ma〔8〕(9)(x2-6x)2+18(x2-6x)+81〔10〕〔11〕；〔12〕(x2+y2)2-4x2y2〔13〕(4x-2y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2+xy2的值〔14〕如果是一個完全平方式，那么k的值是多少〔13〕：，求的值【分組分解法】〔原那么是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運用公式〕例4、分解因式：例5、分解因式：練習：分解因式1、2、綜合練習：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕【十字相乘法】〔一〕二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式——進行分解。特點：〔1〕二次項系數(shù)是1；〔2〕常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積〔3〕一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。十字相乘根本規(guī)律：但凡能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c，都要求而且是一個完全平方數(shù)。例6、分解因式：分解因式：分解因式分解因式〔二〕二次項系數(shù)為1的齊次多項式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項式看成關于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b練習、分解因式(1)(2)(3)〔三〕二次項系數(shù)不為1的二次三項式———條件：〔1〕〔2〕〔3〕分解結果：=〔四〕二次項系數(shù)不為1的齊次多項式〔略〕【練習】分解因式：(1)(2)(3)(3)；(4)(5)(6)(7)．(8)(9)(10)(11)(12)(13)【換元法】換元法就是引入新的字母變量，將原式中的字母變量換掉化簡式子。整體換元：〔1〕〔2〕(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120雙換元：〔1〕〔2〕均值換元：〔1〕分解因式綜合練習一、選擇題1.以下各式中從左到右的變形，是因式分解的是〔〕(A)(a+3)(a-3)=a2-9(B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1(C)a2b+ab2=ab(a+b)(D)x2+1=x(x+)2.以下各式的因式分解中正確的選項是〔〕(A)-a2+ab-ac=-a(a+b-c)(B)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)(C)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b)(D)xy2+x2y=xy(x+y)3.把多項式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于〔〕(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)4.以下多項式能分解因式的是〔〕(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+45.以下多項式中，不能用完全平方公式分解因式的是〔〕(A)(B)(C)(D)6.多項式4x2+1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式不可以是〔〕(A)4x(B)-4x(C)4x4(D)-4x47.以下分解因式錯誤的選項是〔〕(A)15a2+5a=5a(3a+1)(B)-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)(C)k(x+y)+x+y=(k+1)(x+y)(D)a3-2a2+a=a(a-1)28.以下多項式中不能用平方差公式分解的是〔〕(A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p29.以下多項式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，結果含有相同因式的是〔〕(A)①②(B)②④(C)③④(D)②③10.兩個連續(xù)的奇數(shù)的平方差總可以被k整除，那么k等于〔〕(A)4(B)8(C)4或-4(D)8的倍數(shù)二、填空題11.分解因式：m3-4m=.12.x+y=6，xy=4，那么x2y+xy2的值為.13.將xn-yn分解因式的結果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，那么n的值為.14.假設ax2+24x+b=(mx-3)2，那么a=，b=，m=.(第15題圖)15.觀察圖形，根據(jù)圖形面積的關系，不需要連其他的線，便可以得到一個用來分解因式的公式，這個公式是.三、(每題6分，共24分)16.分解因式：(1)-4x3+16x2-26x(2)a2(x-2a)2-a(2a-x)3〔3〕56x3yz+14x2y2z－21xy2z2(4)mn(m－n)－m(n－m)17.分解因式：(1)4xy–(x2-4y2)(2)-(2a-b)2+4(a-b)218.分解因式：(1)-3ma3+6ma2-12ma(2)a2(x-y)+b2(y-x)19、分解因式〔1〕；〔2〕；〔3〕；20.分解因式：(1)ax2y2+2axy+2a(2)(x2-6x)2+18(x2-6x)+81(3)–2x2n-4xn21．將以下各式分解因式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；22．分解因式〔1〕；〔2〕；23.用簡便方法計算：××-×80(2)39×37-13×34〔3〕．24．試說明：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是這兩個連續(xù)奇數(shù)和的2倍。ab25．如圖，在一塊邊長為a厘米的正方形紙板四角，各剪去一個邊長為b(b<)厘米的正方形，利用因式分解計算當，時，剩余局部的面積。ab26．將以下各式分解因式〔1〕〔2〕；(3) (4)(5)〔6〕(x2+y2)2-4x2y227.(4x-2y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2+xy2的值.28．：a=10000，b=9999，求a2+b2－2ab－6a+6b+9的值。29．證明58-1解被20∽30之間的兩個整數(shù)整除30..觀察以下各式：12+(1×2)2+22=9=3222+(2×3)2+32=49=7232+(3×4)2+42=169=132……你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用含有n(n為正整數(shù))的等式表示出來，并說明其中的道理.31閱讀以下因式分解的過程，再答復所提出的問題：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是，共應用了次.(2)假設分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004，那么需應用上述方法次，結果是.(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n為正整數(shù)).32．假設a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0。探索△ABC的形狀，并說明理由。33．閱讀