高三數(shù)列知識點(diǎn)與題型總結(jié)文科

高三數(shù)列知識點(diǎn)與題型總結(jié)文科高三數(shù)列知識點(diǎn)與題型總結(jié)文科/高三數(shù)列知識點(diǎn)與題型總結(jié)文科數(shù)列考點(diǎn)總結(jié)第一部分求數(shù)列的通項(xiàng)公式一、數(shù)列的相關(guān)概念與表示方法（見輔導(dǎo)書）二、求數(shù)列的通項(xiàng)公式四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列與其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法。求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列。求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是：累加法和累乘法。一、累加法1．適用于：這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個(gè)方法之一。若，則兩邊分別相加得已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)1.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：練習(xí)2.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：裂項(xiàng)求和評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).=1\*3①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;=2\*3②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;=3\*3③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;=4\*3④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。例3.已知數(shù)列中,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.練習(xí)3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累乘法1、適用于：累乘法是最基本的二個(gè)方法之二。若，則兩邊分別相乘得，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例5.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2，3，…），則它的通項(xiàng)公式是.三、待定系數(shù)法適用于基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。1．形如,其中)型（1）若1時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列;（2）若0時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列;（3）若時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，所以即：.規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項(xiàng)公式逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把n換成1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.,再利用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例6、已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2．形如：(其中q是常數(shù)，且n0,1)=1\*3①若1時(shí)，即：，累加即可.=2\*3②若時(shí)，即：，求通項(xiàng)方法有以下三種方向：=1\*i.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即：,令，則,然后類型1，累加求通項(xiàng).=2\*.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。即：,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，=3\*.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求，否則待定系數(shù)法會(huì)失效。例7、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)3.（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足，.令，證明：是等比數(shù)列；(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式。答案：（1）是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）?？偨Y(jié)：四種基本數(shù)列1．形如型等差數(shù)列的廣義形式，見累加法。2.形如型等比數(shù)列的廣義形式，見累乘法。3.形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).4.形如型（1）若(p為常數(shù))，則數(shù)列{}為“等積數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例8.數(shù)列{}滿足,,求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.例9.已知數(shù)列,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.第二部分?jǐn)?shù)列求和一、公式法1．如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q＝1或q≠1.2．一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝\f(nn＋1,2)；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法1．倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{}，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的．2．分組轉(zhuǎn)化求和法若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減．3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的．4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．[小題能否全取]1．(2012·沈陽六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{(－1)n}的前n項(xiàng)和為，則對任意正整數(shù)n，＝()\f(n[－1n－1],2) \f(－1n－1＋1,2)\f(－1n＋1,2) \f(－1n－1,2)2．等差數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為＝2n＋1，其前n項(xiàng)的和為，則數(shù)列\(zhòng)b\\{\\}(\a\4\\1(\f()))的前10項(xiàng)的和為()A．120 B．70C．75 D．1003．?dāng)?shù)列a1＋2，…，＋2k，…，a10＋20共有十項(xiàng)，且其和為240，則a1＋…＋＋…＋a10的值為()A．31 B．120C．130 D．1854．若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為＝2n＋2n－1，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為．5．?dāng)?shù)列\(zhòng)f(1,2×4)，\f(1,4×6)，\f(1,6×8)，…，\f(1,2n2n＋2)，…的前n項(xiàng)和為．分組轉(zhuǎn)化法求和[例1]等比數(shù)列{}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{}滿足：＝＋(－1)，求數(shù)列{}的前2n項(xiàng)和S2n...錯(cuò)位相減法求和[例2]已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和＝－k(其中c，k為常數(shù))，且a2＝4，a6＝8a3(1)求；(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.2．已知等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足＝3n＋k.(1)求k的值與數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{}滿足\f(＋1,2)＝(4＋k)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.＝\f(9,4)\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)－\f(1,2·3n)－\f(n,3n＋1))).裂項(xiàng)相消法求和[例3]已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，a1＝1，＝－n(n－1)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)＝\f(2＋1)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.3．在等比數(shù)列{}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中項(xiàng)為16.(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)＝4，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)k，使得\f(11)＋\f(12)＋\f(13)＋…＋\f(1)<k對任意n∈N*恒成立．若存在，求出正整數(shù)k的最小值；不存在，請說明理由．【課后練習(xí)題】1．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和＝n2－6n，則{}的前n項(xiàng)和＝()A．6n－n2 B．n2－6n＋18\b\\{\\(\a\4\\1(6n－n21≤n≤32－6n＋18n>3)) \b\\{\\(\a\4\\1(6n－n21≤n≤32－6nn>3))2．若數(shù)列{}滿足a1＝2且＋－1＝2n＋2n－1，為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，則2(S2012＋2)＝.3．已知遞增的等比數(shù)列{}滿足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)若＝\f(1,2)，＝b1＋b2＋…＋，求.4．已知{}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列{2}的前n項(xiàng)和.＝2n＋1－2.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3，在等差數(shù)列{}中，a3＝7，a1＋a2＋a3＝12，記＝f(\r(3＋1))