內(nèi)蒙古赤峰市紅山區(qū)赤峰第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

赤峰四中橋北新校20232024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ（非選擇題）兩部分，考生作答時(shí)，請(qǐng)將第一卷選擇題的答案用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后重新填涂；將第Ⅱ卷非選擇題的答案用黑色中性筆答在答題卡指定答題區(qū)域內(nèi)，在本試卷上答題無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保留.2.本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.命題人：馬秀芝審題人：張曉麗第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線的斜率，由傾斜角的正切值等于斜率結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】由可得：，所以斜率為，設(shè)傾斜角為，則，因，所以，故選：A2如圖，平行六面體中，與交于點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的加法、減法法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】.故選：D.3.若直線與圓相切，則b的值是（）A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或12【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到圓心和半徑，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可得到b的值.【詳解】由得圓的圓心坐標(biāo)為半徑為1，因?yàn)橹本€與圓相切，所以或.故選：D.4.若方程表示圓，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把給定方程配方化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式即可計(jì)算作答.【詳解】方程化為：，因方程表示圓，于是得，解得，所以的取值范圍是：.故選：A5.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用可求得的值，利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為，直線的方程可化為，此時(shí)兩直線重合，不合乎題意.當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為，直線的方程可化為，此時(shí)，，合乎題意.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.6.如圖，在正方體中，分別為棱，，的中點(diǎn)，則與MN所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出正方體邊長(zhǎng)為2，從而利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，則，故，則與MN所成角的余弦值為.故選：A7.已知直線，，則與間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行線間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，與間的距離為.故選：A.8.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求出兩圓的圓心距，再結(jié)合圓與圓位置關(guān)系的判斷方法，即可求解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，圓的圓心為，所以兩圓的圓心距為．因?yàn)閳A的半徑為，圓的半徑為，所以圓心距等于兩圓的半徑和，故兩圓外切．故選：D.二、多選題（共4題，每題5分，全對(duì)5分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)0分，選對(duì)1個(gè)或部分選項(xiàng)2分）9.經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)截距的定義，分類討論截距均為0和截距均不為0的情況，計(jì)算可得答案.【詳解】若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0，則直線的方程為，A正確；若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0，可設(shè)直線的方程為，將代入方程得，則直線的方程為，C正確.故選：AC10.已知圓：，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在圓M內(nèi) B.圓M關(guān)于對(duì)稱C.半徑為 D.直線與圓M相切【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)，代入點(diǎn)坐標(biāo)，大于0，表示點(diǎn)在圓外；B選項(xiàng)，圓心在直線上，故關(guān)于直線對(duì)稱；C選項(xiàng)，配方后得到圓的半徑；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線距離進(jìn)行求解.【詳解】整理得：，∵，時(shí)，∴點(diǎn)在圓M外，A錯(cuò)；∵圓心M在直線上，∴圓M關(guān)于對(duì)稱，B對(duì)；∵圓M半徑為1，故C錯(cuò)；∵圓心到直線的距離為，與半徑相等，∴直線與圓M相切，D對(duì).故選：BD.11.(多選)直線x＋y－1＝0上與點(diǎn)P(－2，3)距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.(－4，5) B.(－3，4)C.(－1，2) D.(0，1)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得或，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：BC12.很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（）A.該半正多面體的表面積為B.平面C.若為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合正方體的幾何性質(zhì)，可得AB的正誤，建立空間直角坐標(biāo)值，利用線線角與點(diǎn)面距的公式，可得CD的正誤.【詳解】由題意，可作圖如下：對(duì)于A，由圖可知，該阿基米德體的定點(diǎn)分為為正方體各棱的中點(diǎn)，則其是由六個(gè)正方形和八個(gè)正三角形組成的，所以該立體圖形的表面積，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖可知，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面，故B正確；建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：對(duì)于C，由阿基米德體的棱長(zhǎng)為，可知圖中正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，取，，設(shè)異面直線的夾角為，則，故C正確；對(duì)于D，有圖可知，，，，在平面內(nèi)取，，設(shè)平面的法向量，由，可得，化簡(jiǎn)可得，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，取設(shè)點(diǎn)到平面的距離，故D錯(cuò)誤.故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（共4個(gè)題，每個(gè)5分）13.圓的圓心到直線的距離__________.【答案】1【解析】【分析】由題意首先確定圓心坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式可得圓心到直線的距離.【詳解】圓的方程即：，則圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離.故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查由圓的方程確定圓心的方法，點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14.平行六面體中，，且，，，則等于______.【答案】5【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為向量則有,利用向量的平方以及數(shù)量積化簡(jiǎn)求解,由此能求出線段的長(zhǎng)度．【詳解】平行六面體中,,即向量?jī)蓛傻膴A角均為,則因此.故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積和模在求解距離中的應(yīng)用,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的能力,難度一般.15.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______【答案】【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量為,，計(jì)算即可求出答案．【詳解】向量，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為,,0,,0,，故答案為：．16.在平面直角坐標(biāo)下中，有四個(gè)定點(diǎn)及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______________．【答案】【解析】【分析】這兩道題給出的都是平面上四個(gè)定點(diǎn)，求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到這四個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小值及成立的條件即此動(dòng)點(diǎn)的位置，這兩題中給出的四個(gè)定點(diǎn)雖然坐標(biāo)不同但是將這四點(diǎn)連接后都構(gòu)成了平面內(nèi)的一個(gè)凸四邊形，∴此題拋去平面坐標(biāo)系后的命題立意即為在平面內(nèi)找一點(diǎn)使得其到一個(gè)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離最小及最小值是多少．（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于線段上時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于線段上時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于線段與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），即當(dāng)?shù)剿狞c(diǎn)距離最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)即為直線與直線的交點(diǎn)，，即的最小值為．四、解答題（17題10分，1822題每個(gè)12分）17.求出滿足下列條件的直線方程.（1）經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直；（2）經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由垂直關(guān)系求得斜率，從而寫出方程；（2）由平行關(guān)系求得斜率，從而寫出方程；【詳解】解：（1）因?yàn)樗蟮闹本€與直線垂直，所以所求的直線的斜率為3.又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以該直線方程為，即.（2）因?yàn)樗蟮闹本€與直線平行，所以所求的直線的斜率為2.又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以該直線方程為，即.18.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．求：（1）邊所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）邊上的中線所在直線的方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直線方程的點(diǎn)斜式，即可求解；（2）利用兩直線垂直得到，即可得到高所在直線斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式，即可求解.（3）求出邊上的中點(diǎn)D坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線方程；【小問1詳解】因?yàn)?、，故，邊AC所在直線的方程為：，即為：，【小問2詳解】由（1）知，故所以AC邊上的高所在直線的斜率為，又，故為：，即；【小問3詳解】設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為D，則，即，故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，．點(diǎn)E在上，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出，，的坐標(biāo)，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系因?yàn)椋?，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面【小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．20.已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，直線l的方程為.（1）求圓C的方程；（2）證明：直線l與圓C恒相交．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)圓C的方程為，利用待定系數(shù)法可得答案；（2）由直線方程特點(diǎn)可得直線l過定點(diǎn)，且在圓內(nèi)可判斷直線和圓的位置關(guān)系.【小問1詳解】設(shè)圓C的方程為，由條件得，解得，所以圓C的方程為；【小問2詳解】由，得，令得，即直線l過定點(diǎn)，由，知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線l與圓C恒相交．21.在直三棱柱中，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）先求出相關(guān)直線的方向向量，再計(jì)算數(shù)量積來證明垂直；（2）求出平面一個(gè)法向量，再利用向量夾角公式即可求出夾角；（3）利用點(diǎn)到面的距離公式即可求解.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，，，，，∵，∴∴∴；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，由令，則，∴平面的一個(gè)法向量為由設(shè)直線與平面所成角為∴直線與平面所成角為；【小問3詳解】點(diǎn)到平面的距離.22.已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，