湘大概率論期末習題解答

湘潭大學數(shù)學與計算科學學院1概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題湘潭大學編教材湘潭大學數(shù)學與計算科學學院2第一章隨機事件及其概率湘潭大學數(shù)學與計算科學學院3P29習題1.9在區(qū)間(0,1)中隨機地抽取兩個數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5〞的概率。解：用x,y分別表示從(0,1)中取出的2個數(shù)，那么樣本空間Ω為正方形：如下圖，K為區(qū)域：K所以由幾何概率得:x+y=6/5湘潭大學數(shù)學與計算科學學院4P29習題1.12把長度為a的棍子任意折成三段，求它們可以構成一個三角形的概率。解：設棍子被分成的三段長分別為x,y,a-x-y.那么樣本空間Ω為：如下圖，A為區(qū)域：所以由幾何概率得:x+y=aA湘潭大學數(shù)學與計算科學學院5解：設A={甲譯出密碼},B={乙譯出密碼},P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4那么A,B,C相互獨立，且C={丙譯出密碼}.那么此密碼被譯出的概率為P30習題1.18

甲、乙、丙三人獨立地翻譯一個密碼，他們譯出的概率分別是1/5，1/3，1/4，試求此密碼被譯出的概率。湘潭大學數(shù)學與計算科學學院6例1玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0，1，2只殘次品的概率相應為0.8，0.1和0.1，一顧客欲購置一箱玻璃杯，在購置時時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機地查看4只，假設無殘次品，那么購置下該箱玻璃杯,否那么退回，求：(1)顧客買下該箱的概率；(2)在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率。湘潭大學數(shù)學與計算科學學院7解

(1)設Ai＝{一箱玻璃杯中含有i個殘次品},i=0,1,2;B={從一箱玻璃杯中任取4只無殘次品},由題設可知P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1.根據(jù)全概率公式得湘潭大學數(shù)學與計算科學學院8例2

設8支槍中有3支未經(jīng)試射校正，5支已經(jīng)試射校正，一射手用校正的槍射擊時，中靶概率為0.8，而用未校正過的槍射擊時，中靶概率為0.3，現(xiàn)假定從8支槍中任取一支進行射擊，結果中靶，求所用的槍是已校正過的概率。湘潭大學數(shù)學與計算科學學院9解

設A＝{經(jīng)過校正的槍},C={射擊中靶},由題設可知P(A)=5/8,P(B)=3/8,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.3.根據(jù)全概率公式得B＝{未經(jīng)校正的槍},湘潭大學數(shù)學與計算科學學院10例3對飛機進行3次獨立射擊,第1次射擊的命中率為0.4、第2次為0.5、第3次為0.7.飛機被擊中1次而墜落的概率為0.2,被擊中2次而墜落的概率為0.6,假設被擊中3次飛機必墜落,求射擊3次使飛機墜落的概率.設B={飛機墜落}，Ai={飛機被擊中i次},i=1,2,3由全概率公式

那么B=A1B+A2B+A3B,解:依題意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)湘潭大學數(shù)學與計算科學學院11可求得:

為求P(Ai),

將數(shù)據(jù)代入計算得:設

Hi={飛機被第i次射擊擊中},i=1,2,3P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院12于是=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機墜落的概率為0.458.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)湘潭大學數(shù)學與計算科學學院13第二章隨機變量及其分布湘潭大學數(shù)學與計算科學學院14例1

設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為求:(1)A;(2)P{0.3<X<0.7};(3)X的概率密度f(x)解:(1)F(x)在x=1點連續(xù),由右連續(xù)性得:即:所以,A=1(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4P{X=1}=F(1)－F(1－0)=1－A=0湘潭大學數(shù)學與計算科學學院150，x<02x，

0≤x<10，1≤x即:湘潭大學數(shù)學與計算科學學院16例2設X~B(2,0.3),求以下隨機變量的分布律1、Y1=X22、Y2=X2-2X3、Y3=3X-X2解：X的概率分布為P{X=k}=0.3k0.72-k

k=0,1,2

列表如下：X012X2014X2-2X0-103X-X2022概率0.490.420.09湘潭大學數(shù)學與計算科學學院17Y1014P0.490.420.09Y2

-10P0.420.58Y302P0.490.51那么有Y1，Y2，Y3的分布律分別為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院18例3

設隨機變量X的概率密度函數(shù)為求隨機變量Y=X2的概率密度函數(shù)。解：先求Y的分布函數(shù)FY(y)=P{Y

y}=P{X2

y}當y<0時，{Y

y}為不可能事件，此時FY(y)=0.當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{X2

y}=湘潭大學數(shù)學與計算科學學院19所以Y的概率密度函數(shù)為當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{X2

y}=湘潭大學數(shù)學與計算科學學院20解由湘潭大學數(shù)學與計算科學學院21由于密度函數(shù)為分布函數(shù)湘潭大學數(shù)學與計算科學學院22第三章多維隨機變量及其分布湘潭大學數(shù)學與計算科學學院23P82習題3.3

將一枚均勻的硬幣拋擲4次(注教材是3次)X表示正面向上的次數(shù),Y表示反面朝上次數(shù),

求(X,Y)的概率分布.解:X的所有可能取值為0,1,2,3,4,Y的所有可能取值為0,1,2,3,4,

因為X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的數(shù)值對為:湘潭大學數(shù)學與計算科學學院24XY0413223140P{X=0,Y=4}=P{X=2,Y=2}==1/4=6/16P{X=3,Y=1}==1/4P{X=4,Y=0}=0.54=1/16P{X=1,Y=3}=0.54=1/16湘潭大學數(shù)學與計算科學學院25X01234Y01234聯(lián)合概率分布表為:00001/16

0001/40006/1600

01/40001/160000湘潭大學數(shù)學與計算科學學院26P83習題3.9設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為(1)求隨機變量X的密度函數(shù)；(2)求概率P{X+Y≤1}.解:(1)當x≤0時,fX(x)=0;所以,y=x當x>0時,湘潭大學數(shù)學與計算科學學院27P83習題3.9

設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為(1)

求隨機變量X的密度函數(shù)；(2)求概率P{X+Y≤1}.解:(2)y=xx+y=11/2湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強28P85習題3.22設X,Y相互獨立，其概率密度分別為求Z=X+Y的概率密度.解由得當z<0時，當0≤z≤1時，湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強29當z>1時，∴Z=X+Y的概率密度為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院30P84習題3.13

設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)求：

1、系數(shù)A,B,C;2、(X,Y)的聯(lián)合概率密度；3、邊緣概率密度；4、判斷X與Y是否相互獨立；5、湘潭大學數(shù)學與計算科學學院31解

1、由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)，有湘潭大學數(shù)學與計算科學學院32所以(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為2、聯(lián)合概率密度為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院333、邊緣概率密度為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院344、由于因此X與Y相互獨立；5、湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強35例1設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從上的均勻分布，求方程有實根的概率.解方程有實根的充要條件是由于隨機變量X與Y相互獨立，所以隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強36(1)當時，如圖湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強37(2)當時，如圖湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強38綜上可得：方程有實根的概率注：此例與P85習題3.20類似.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院39例2隨機變量X1和X2的概率分布X1-101P

1/41/21/4X2

01P

1/21/2而且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的聯(lián)合分布；(2)問X1和X2是否獨立？為什么？湘潭大學數(shù)學與計算科學學院40Pi.

1/41/21/4P.j

1/21/2解

(1)因為P{X1X2=0}=1，所以P{X1X2≠0}=0，即P{X1=-1，X2=1}=0，P{X1=1，X2=1}=0，0X1-101X2

010聯(lián)合概率分布表如右圖P{X1=0，X2=1}=1/2，P{X1=0，X2=0}=0，1/2P{X1=-1，X2=0}=1/4，0P{X1=1，X2=0}=1/4，1/41/41湘潭大學數(shù)學與計算科學學院41(2)X1和X2不獨立。因為所以P{X1=0}=1/2，P{X1=0，X2=1}=1/2P{X2=1}=1/2，P{X1=0，X2=1}≠P{X1=0}P{X2=1}=1/4Pi.

1/41/21/4P.j

1/21/20X1-101X2

0101/201/41/41湘潭大學數(shù)學與計算科學學院42例2

設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求：

(1)P(X<Y);(2)邊緣概率密度；湘潭大學數(shù)學與計算科學學院43解(1)湘潭大學數(shù)學與計算科學學院44解(2)同理可得湘潭大學數(shù)學與計算科學學院45解(3)因為所以湘潭大學數(shù)學與計算科學學院46注：例2可以推廣到如下一般形式設X、Y為相互獨立同分布的連續(xù)型隨機變量,證明:證:設X的分布函數(shù)為F(x),概率密度為f(x).由題設,可設Y的分布函數(shù)為F(y),概率密度為f(y),那么那么(X,Y)的聯(lián)合概率密度為:f(x,y)=f(x)f(y).故湘潭大學數(shù)學與計算科學學院47湘潭大學數(shù)學與計算科學學院48例3設X關于Y的條件概率密度為求而Y的概率密度為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院49解因為所以所以X的概率密度為那么湘潭大學數(shù)學與計算科學學院50(1)求關于X和Y的邊緣概率密度(2)判斷X與Y是否相互獨立；例4已知的聯(lián)合概率密度為：(3)求湘潭大學數(shù)學與計算科學學院51解：(1)對于所以對于所以湘潭大學數(shù)學與計算科學學院52(2)顯然所以X與Y不獨立。(3)湘潭大學數(shù)學與計算科學學院53例5設某商品一周的需求量是一個隨機變量X，其密度函數(shù)為又知各周的需求量相互獨立，求兩周、三周需求量的密度函數(shù)。解設Xi為該商品在第i周第需求量(i=1,2,3)，那么Y2=X1+X2為兩周的需求量。X3=Y2+X3為三周的需求量。Y3=X1+X2+湘潭大學數(shù)學與計算科學學院54由于X1,X2相互獨立，故于是Y2的分布函數(shù)為求導得Y2的密度函數(shù)為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院55即兩周需求量的密度函數(shù)為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院56因X1,X2,X3相互獨立知：Y2與X3也相互獨立。故同理可得Y3的密度函數(shù)為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院57例6假設一電路裝有三個同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時間都服從參數(shù)為λ>0的指數(shù)分布，當三個元件都無故障時，電路正常工作，否那么整個電路不能正常工作。試求電路正常工作的時間T的概率分布。解：三個元件都無故障工作時間分別為X,Y,Z,那么T=min(X,Y,Z),且X,Y,Z的概率密度都為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院58那么故T服從參數(shù)為3λ>0的指數(shù)分布,即概率密度為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院59第四章隨機變量的數(shù)字特征湘潭大學數(shù)學與計算科學學院60求解例1X的密度函數(shù)為那么湘潭大學數(shù)學與計算科學學院61例2

設X與Y相互獨立，且解：求湘潭大學數(shù)學與計算科學學院62例3隨機變量(X,Y)~f(x,y)=求EX,EY,E(X2),E(XY),ρXY解

因為=7/6=5/3湘潭大學數(shù)學與計算科學學院63同理由對稱性:=7/6E(Y2)=5/3=4/3湘潭大學數(shù)學與計算科學學院64例(08)設隨機變量且考查：相關系數(shù)的性質(zhì)：存在a,b,使以及正態(tài)分布數(shù)字特征的性質(zhì).那么湘潭大學數(shù)學與計算科學學院65解選D.

從而EY=aEX+b,得b=1.而例(08)設隨機變量且那么存在a,b,使由正態(tài)分布有

EX=0,DX=1,EY=1,DY=4,湘潭大學數(shù)學與計算科學學院66填空題(08)設隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布,那么P{X=EX2}______.考查：泊松分布的數(shù)字特征及其概率分布.參數(shù)為1的泊松分布的EX=DX=1,從而EX2=DX+(EX)2=2,P{X=EX2}=P{X=2}=1/2e.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院67第五章大數(shù)定律與中心極限定理湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解設方差例1使用切比雪夫不等式估計正態(tài)隨機變量X與數(shù)學期望

的偏差|X-|大于2倍均方差及小于5倍均方差的概率.根據(jù)切比雪夫不等式有：68湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例2設各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立且服從相同的分布，其數(shù)學期望為0.5kg，均方差為0.1kg，問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少？解

令表示各個零件重量，由題知：69湘潭大學數(shù)學與計算科學學院Xi滿足獨立同分布的中心極限定理的條件，所以有70湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例3一本書共有100萬個印刷符號，在排版時每個符號被排錯的概率為0.0001，校對時每個排版錯誤被校正的概率為0.9，求校對后錯誤不多于15個的概率？解

令由題知：71湘潭大學數(shù)學與計算科學學院校正后排版錯誤的概率為：因為Xi滿足棣莫弗-拉普拉斯定理，那么有72湘潭大學數(shù)學與計算科學學院73湘潭大學數(shù)學與計算科學學院74第六章數(shù)理統(tǒng)計的根本概念與抽樣分布湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強75例1在總體N(52,6.32)中隨機抽一容量為36的樣本,求樣本均值X落在50.8到53.8之間的概率.解由于X~N(52,6.32),樣本容量n=36,那么=(1.71)-(-1.14)=0.9564-1+0.8729X~N(52,6.32/36)=N(52,1.052)=(1.71)-1+(1.14)=0.8293湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強76例2

求總體N(20,3)的容量分別為10,15的兩獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率.解由于總體X~N(20,3),X~N(20,3/10),Y~N(20,3/15),樣本容量分別為nx=10,ny=15,設其兩個獨立樣本均值為X,Y,湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強77=2[1-0.6628]故X-Y~N(0,0.5)=0.6744湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強78例3設X1,X2,…,X10為N(0,0.32)的一個樣本,求解

Xi~N(0,0.32),i=1,2,…,10,且相互獨立.標準化隨機變量且相互獨立.那么其平方和i=1,2,…,10,湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強79查

2分布表,15.987=

20.1(10),P{Y>15.987=

20.1(10)}=0.1.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強80例4設總體X~

2(n),X1,X2,…,X10是來自X的樣本,求

E(X),D(X),E(S2).由于Xi~

2(n),故E(Xi)=n,D(Xi)=2n,i=1,2,…,10.解

方法1湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強81E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=2n+n2,E(X

2)=D(X)+[E(X)]2=(n/5)+n2.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強82E(X)=n,D(X)=2n/10=n/5,E(S

2)=2n.方法2不管總體X服從什么分布,樣本容量為10,有E(X)=E(X),D(X)=D(X)/10,E(S2)=D(X).由于X~

2(n),故E(X)=n,D(X)=2n,因此湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強83例5設在總體N(

,

2)中抽取一容量為16的樣本.這里

,

2均為未知.(1)求P{S2/

22.041},其中S2為樣本方差;(2)求D(S2).解因為此處n=16,故P{S2/

22.041}=P{15S2/

230.615}(1)查

2分布表,

20.01(15)=30.578,=1-P{15S2/

2>30.615}1-P{15S2/

2>30.578=

20.01(15)}=1-0.01=0.99.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強84(2)由于故湘潭大學數(shù)學與計算科學學院85第七章參數(shù)估計湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強86例1設總體證因為,X1,X2,…,Xn,Xn+1為其樣本,記所以標準化得湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強87又因為根據(jù)t分布的定義有湘潭大學數(shù)學與計算科學學院88例2設X1,X2,…,Xn為總體的一個樣本,x1,x2,…,xn為一相應的樣本值;總體的密度函數(shù)為解

(1)

矩估計因為只有一個未知參數(shù)

,其中c>0為,>1,為未知參數(shù).求未知參數(shù)的矩估計值和極大似然估計值.故只計算總體一階矩

1即可.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院89解出將總體一階矩

1換成樣本一階矩得到參數(shù)

的矩估計量矩估計值湘潭大學數(shù)學與計算科學學院90(2)似然函數(shù)

xi>c(i=1,2,…,n)時,取對數(shù)得湘潭大學數(shù)學與計算科學學院91令得到

的極大似然估計值

的極大似然估計量湘潭大學數(shù)學與計算科學學院92例3設X1,X2,…,Xn為總體的一個樣本,x1,x2,…,xn為一相應的樣本值;總體的密度函數(shù)為解

(1)

矩估計因為只有一個未知參數(shù)

,其中

>0,

為未知參數(shù).求未知參數(shù)

的矩估計值和極大似然估計值.故只計算總體一階矩

1即可.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院93解出將總體一階矩

1換成樣本一階矩得到參數(shù)

的矩估計量矩估計值湘潭大學數(shù)學與計算科學學院94(2)似然函數(shù)

0

xi

1(i=1,2,…,n)時,取對數(shù)得湘潭大學數(shù)學與計算科學學院95令得到

的極大似然估計值

的極大似然估計量湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強96例4設總體X的概率分布表示如下：解因為為未知參數(shù)，利用總體如下樣本值其中的矩法估計值和極大似然估計值.求湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強97解因為因此矩法估計值為似然函數(shù)為兩邊取對數(shù)得湘潭大學數(shù)學與計算科學學院王文強98求導并令其為0解得θ的極大似然估計值為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院99例5設X1,X2,…,Xn是來自參數(shù)為

的泊松分布總體的一個樣本,試求

的極大似然估計量及矩估計量.解泊松分布的分布律為總體一階矩

1=E(X)=

,將總體一階矩

1換成樣本一階矩得到參數(shù)

的矩估計量設x1,x2,…,xn為相應的樣本值,湘潭大學數(shù)學與計算科學學院100似然函數(shù)取對數(shù)得令得到

的極大似然估計值

的極大似然估計量湘潭大學數(shù)學與計算科學學院101例6(1)驗證抽樣分布定理中的統(tǒng)計量是兩總體公共方差

2的無偏估計量(Sw2稱為

2的合并估計).證兩正態(tài)總體N(

1,

12),N(

2,

22)中,而不管總體X服從什么分布,都有E(S2)=D(X),

因此E(S12)=E(S22)=

2,

12=

22=

2湘潭大學數(shù)學與計算科學學院102湘潭大學數(shù)學與計算科學學院103(2)設總體X的數(shù)學期望為

.

X1,X2,…,Xn是來自X的樣本.a1,a2,…,an

是任意常數(shù),驗證是

的無偏估計量.證E(X1)=E(X2)=…=E(Xn)=E(X)=

湘潭大學數(shù)學與計算科學學院104例7設X1,X2,X3,X4是來自均值為

的指數(shù)分布總體的樣本,其中

未知.設有估計量(1)指出T1,T2,T3中哪幾個是

的無偏估計量;(2)在上述

的無偏估計量中指出哪一個較為有效.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院105解

Xi(i=1,2,3,4)服從均值為

的指數(shù)分布,故(1)E(Xi)=

,D(Xi)=

2,湘潭大學數(shù)學與計算科學學院106(2)X1,X2,X3,X4相互獨立由于D(T1)>D(T3),所以T3比T1較為有效.因此T1,T3是

的無偏估計量.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院107解因為例8設從均值為

,方差為

2>0的總體中,分別抽取容量為n1,n2的兩獨立樣本.X1和X2分別是兩樣本的均值.試證,對于任意常數(shù),a,b(a+b=1),Y=aX1+bX2都是

的無偏估計,并確定常數(shù)a,b使D(Y)達到最小.故所以對于任意常數(shù),

都是

的無偏估計.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院108由于兩樣本獨立,故兩樣本均值X1和X2獨立,所以由極值必要條件解得而由于故D(Y)必有唯一極小值即最小值.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院109例9設某種清漆的9個樣品,其枯燥時間(以小時計)分別為6.05.75.86.57.06.35.66.15.0設枯燥時間總體服從正態(tài)分布N(,2),求的置信水平為0.95的置信區(qū)間.(1)假設由以往經(jīng)驗知=0.6,(2)假設為未知.解(1)2,的置信水平為1-的置信區(qū)間為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院110

的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為(5.608,6.392).湘潭大學數(shù)學與計算科學學院111(2)

2未知,

的置信水平為1-

的置信區(qū)間為

的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為(5.558,6.442).湘潭大學數(shù)學與計算科學學院112例10隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗,得炮口速度的樣本標準差s=11(m/s).設炮口速度服從正態(tài)分布.求這種炮彈的炮口速度的標準差

的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解

未知,

的置信水平為1-

的置信區(qū)間為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院113

的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為(7.4,21.1).湘潭大學數(shù)學與計算科學學院114例11

隨機地從A批導線中抽取4根,又從B批導線中抽取5根,測得電阻(歐)為B批導線:0.1400.1420.1360.1380.140設測定數(shù)據(jù)分別來自分布N(

1,

2),N(

2,

2),且兩樣本相互獨立.又

1,

2,

2均為未知.試求

1-

2的置信水平為0.95的置信區(qū)間.A批導線:0.1430.1420.1430.137湘潭大學數(shù)學與計算科學學院115解兩正態(tài)總體相互獨立,方差相等,但方差未知,其均值差

1-

2的一個置信水平為1-

的置信區(qū)間為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院116

1-

2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(-0.002,0.006).湘潭大學數(shù)學與計算科學學院117例12設兩位化驗員A,B獨立地對某種聚合物含氯量用相同的方法各作10次測定,其測定值的樣本方差依次為sA2=0.5419,sB2=0.6065,設

A2,

B2分別為A,B所測定的測定值總體的方差,設總體均為正態(tài)的,設兩樣本獨立,求方差比

A2/

B2的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解兩正態(tài)總體均值未知,方差比

A2/

B2的一個置信水平為1-

的置信區(qū)間為湘潭大學數(shù)學與計算科學學院118

A2/

B2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(0.222,3.601).湘潭大學數(shù)學與計算科學學院119例13

隨機地從A批導線中抽取4根,又從B批導線中抽取5根,測得電阻(歐)為B批導線:0.1400.1420.1360.1380.140設測定數(shù)據(jù)分別來自分布N(

1,

2),N(

2,

2),且兩樣本相互獨立.又

1,

2,

2均為未知.試求

1-

2的置信水平為0.95的單側置信下限.A批導線:0.1430.1420.1430.137注：此例與例11的區(qū)別.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院120解按照t分布的上

分位點的定義即湘潭大學數(shù)學與計算科學學院121因此

1-

2的置信水平為0.95的單側置信下限為由例11知：湘潭大學數(shù)學與計算科學學院122例14設兩位化驗員A,B獨立地對某種聚合物含氯量用相同的方法各作10次測定,其測定值的樣本方差依次為sA2=0.5419,sB2=0.6065,設

A2,

B2分別為A,B所測定的測定值總體的方差,設總體均為正態(tài)的,設兩樣本獨立,求方差比

A2/

B2的置信水平為0.95的單側置信上限.注：此例與例12的區(qū)別.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院123解因為按照F分布的下

分位點的定義即湘潭大學數(shù)學與計算科學學院124

A2/

B2的置信水平為0.95的單側置信上限為由例12知：湘潭大學數(shù)學與計算科學學院125第八章假設檢驗湘潭大學數(shù)學與計算科學學院126例1根據(jù)長期經(jīng)驗和資料的分析,某磚瓦廠生產(chǎn)磚的"抗斷強度"x服從正態(tài)分布,方差s2=1.21.從該廠產(chǎn)品中隨機抽取6塊,測得抗斷強度如下(單位:kg/cm2):32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03檢驗這批磚的平均抗斷強度為32.50kg/cm2是否成立(a=0.05)?解設H0:m=32.50.那么樣本(X1,...,X6)來自正態(tài)總體N(32.50,1.12),令如果H0正確,127最后可以下結論否認H0,即不能認為這批產(chǎn)品的平均抗斷強度是32.50kg/cm2.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院128例2假定某廠生產(chǎn)一種鋼索,它的斷裂強度X(kg/m2)服從正態(tài)分布N(m,402).從中選取一個容量為9的樣本,得=780kg/m2.能否據(jù)此樣本認為這批鋼索的斷裂強度為800kg/cm2(a=0.05)可以接受H0,認為斷裂強度為800kg/cm2.湘潭大學數(shù)學與計算科學學院129例3從1975年的新生兒(女)中隨機地抽取20個,測得其平均體重為3160克,樣本標準差為300克.而根據(jù)過去統(tǒng)計資料,新生兒(女)平均本重為3140克.問現(xiàn)在與過去的新生兒(女)體重有無顯著差異(假設新生兒體重服從正態(tài)分布)?(a=0.01)假設把所有1975年新生兒(女)體重表達為一個正態(tài)總體N(m,s2),問題就是判斷m=E(X)=3140是否成立?解待檢假設H0:m=3140.由于s2未知,自然想到用S2代表s2.那么如果H0成立,那么湘潭大學數(shù)學與計算科學學院130湘潭大學數(shù)學與計算科學學院131例4某煉鐵廠的鐵水含碳量x在正常情況下服從正態(tài)分布.現(xiàn)對操作工藝進行了某些改進,從中抽