有限元方法完

有限元方法1精選版課件ppt

有限元法是求解偏微分方程問(wèn)題的一種重要數(shù)值方法，它的基礎(chǔ)分兩個(gè)方面：一是變分原理，二是剖分插值．

從第一方面看，有限元法是Ritz-Galerkin方法的一種變形．它提供了一種選取“局部基函數(shù)”的新技巧，從而克服了Ritz-Galerkin方法選取基函數(shù)的固有困難．

從第二方面看，它是差分方法的一種變形．差分法是點(diǎn)近似，它只考慮在有限個(gè)離散點(diǎn)上函數(shù)值，而不考慮在點(diǎn)的鄰域函數(shù)值如何變化；有限元方法考慮的是分段（塊）的近似．因此有限元方法是這兩類方法相結(jié)合，取長(zhǎng)補(bǔ)短而進(jìn)一步發(fā)展了的結(jié)果．在幾何和物理?xiàng)l件比較復(fù)雜的問(wèn)題中，有限元方法比差分方法有更廣泛的適應(yīng)性．2精選版課件ppt§7.兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的有限元方法

本節(jié)以兩點(diǎn)邊值問(wèn)題為例，并從Ritz法和Galerkin法兩種觀點(diǎn)出發(fā)來(lái)敘述有限元法的基本思想及解題過(guò)程.7.1基于Ritz法的有限元方程

考慮兩點(diǎn)邊值問(wèn)題其中，3精選版課件ppt

1.寫出Ritz形式的變分問(wèn)題

與邊值問(wèn)題(7.1)、(7.2)等價(jià)的變分問(wèn)題是：求

，使其中，（7.3）式(7.3)是應(yīng)用有限元法求解邊值問(wèn)題(7.1)、(7.2)的出發(fā)點(diǎn).4精選版課件ppt2.區(qū)域剖分

剖分原則與差分法相同，即將求解區(qū)域剖分成若干個(gè)互相連接，且不重疊的子區(qū)域，這些子區(qū)域稱為單元．單元的幾何形狀可以人為選取，一般是規(guī)則的，但形狀與大小可以不同．對(duì)于一維情形最為簡(jiǎn)單.

將求解區(qū)間

分成若干個(gè)子區(qū)間，其節(jié)點(diǎn)為每個(gè)單元的長(zhǎng)度為.單元在區(qū)間中分布的疏密程度或單元尺寸的大小，可根據(jù)問(wèn)題的物理性質(zhì)來(lái)決定，一般來(lái)說(shuō)，在物理量變化劇烈的地方，單元尺寸要相對(duì)小一些，排列要密一些.5精選版課件ppt設(shè)為的有限維子空間，它的元素為.要構(gòu)造，只需構(gòu)造單元基函數(shù).構(gòu)造單元基函數(shù)所遵循的原則是：其中，是單元節(jié)點(diǎn)序號(hào)為的節(jié)點(diǎn).(1)每個(gè)單元中的基函數(shù)的個(gè)數(shù)和單元中的節(jié)點(diǎn)數(shù)相同，每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)基函數(shù)，本例中，單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此基函數(shù)有兩個(gè).(2)基函數(shù)應(yīng)具有性質(zhì)6精選版課件ppt

3.確定單元基函數(shù)

有限元法與Ritz-Galerkin方法的主要區(qū)別之一，就在于有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的．由于各個(gè)單元具有規(guī)則的幾何形狀，而且可以不必考慮邊界條件的影響，因此在單元中選取基函數(shù)可遵循一定的法則．7精選版課件ppt8精選版課件ppt9精選版課件ppt10精選版課件ppt(7.6)令4.形成有限元方程便得到確定的線性代數(shù)方程組

稱式（7.5）為有限元方程.11精選版課件ppt(7.8)(7.7)值得注意的是，在實(shí)際計(jì)算中，并不是按照上述步驟形成有限元方程的，而是先進(jìn)行單元分析，即在單元上建立有限元特征式，然后再進(jìn)行總體合成，即將各單元的有限元特征式進(jìn)行累加，合成為有限元方程．具體過(guò)程如下：第一步：?jiǎn)卧治?注意到作變換12精選版課件ppt(7.10)并引入記號(hào)其中，.于是或?qū)懗?7.9)其中，.從而有13精選版課件ppt(7.11)這里(7.12)稱為單元?jiǎng)偠染仃?，其?7.13)14精選版課件ppt(7.16)(7.14)式中(7.15)將式（7.11）、（7.14）代入式（7.7），便有對(duì)式（7.7）右端第二項(xiàng)積分，有這樣，我們就得到了單元有限元特征式的一般表示形式：15精選版課件ppt于是有第二步：總體合成.總體合成就是將單元上的有限元特征式進(jìn)行累加，合成為總體有限元方程.這一過(guò)程實(shí)際上是將單元有限元特征式中的系數(shù)矩陣（稱為單元?jiǎng)偠染仃嚕┲饌€(gè)累加，合成為總體系數(shù)矩陣（稱為總剛度矩陣）；同時(shí)將右端單元荷載向量逐個(gè)累加，合成為總荷載向量，從而得到關(guān)于的線性代數(shù)方程組．為此，記從而式(7.16)右端第一個(gè)和式為16精選版課件ppt

(7.17)其中（未標(biāo)明的元素均為0）這就是總剛度矩陣．對(duì)式(7.16)右端第二個(gè)和式，有其中這就是總荷載向量.17精選版課件ppt從總剛度矩陣和總荷載向量的形成過(guò)程可以看出，的計(jì)算，實(shí)際上是把中四個(gè)元素在適當(dāng)?shù)奈恢蒙稀皩?duì)號(hào)入座”地疊加，的計(jì)算也是如此．我們引入，只是為了敘述方便，實(shí)際上，在編制程序時(shí)并不需要．顯然，方程組(7.18)的系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定的三對(duì)角矩陣，因此可采用追趕法求出在節(jié)點(diǎn)上的近似值.

(7.18)其這樣，就可將式(7.16)寫成因此，有限元方程為18精選版課件ppt§7.兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的有限元方法

本節(jié)以兩點(diǎn)邊值問(wèn)題為例，并從Ritz法和Galerkin法兩種觀點(diǎn)出發(fā)來(lái)敘述有限元法的基本思想及解題過(guò)程.7.1基于Ritz法的有限元方程7.2基于Galerkin法的有限元方程

從Galerkin法出發(fā)形成有限元方程的過(guò)程與前面完全一樣，針對(duì)邊值問(wèn)題(7.1)、(7.2)所得到的結(jié)果也是一致的．但是從Galerkin法出發(fā)形成的有限元方程更具一般性，它不僅適用于對(duì)稱正定的算子方程，而且也適用于非對(duì)稱正定的算子方程，所以我們今后主要是依據(jù)這一觀點(diǎn)建立有限元方程．19精選版課件ppt與邊值問(wèn)題(7.1)、(7.2)等價(jià)的Galerkin變分問(wèn)題是：求，使得(7.19)其中仍用分段線性函數(shù)構(gòu)成的試探函數(shù)空間替代，將代入(7.19)，則得到所滿足的線性代數(shù)方程組(7.20)這和方程組(7.6)是完全一樣的.20精選版課件ppt與容易看出，方程組(7.20)的系數(shù)矩陣就是總剛度矩陣．在總剛度矩陣形成的過(guò)程中，注意到(7.21)而從而有即故有這就是有限元方程(7.18).21精選版課件ppt由上述看出，按Galerkin法推導(dǎo)有限元方程更加直接方便．尤其重要的是．按這一觀點(diǎn)推導(dǎo)的有限元方程，不僅適用于定常的微分方程定解問(wèn)題，而且也適用于不定常的微分方程定解問(wèn)題，因此具有廣泛的適應(yīng)性．例7.1用有限元方法解邊值問(wèn)題將區(qū)間[0,1]等分成4個(gè)單元.解利用上述分析結(jié)果，我們只需構(gòu)造出單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧奢d向量，然后合成為總剛度矩陣和總荷載向量．22精選版課件ppt注意到(7.13)和(7.15)，并將形成單元上的中點(diǎn)值則不難得到其中，，單元的中點(diǎn)為于是有23精選版課件ppt如果把單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧奢d向量“擴(kuò)大”，便得到和為類似地，可寫出和.24精選版課件ppt然后進(jìn)行疊加，便得到總剛度矩陣和總荷載向量：25精選版課件ppt依邊界條件即在中劃去首末兩行和首末兩列，在中劃去首末兩行，便得到如下線性代數(shù)方程組：解之，得26精選版課件ppt§8.二維橢圓邊值問(wèn)題的有限元方法

用有限元方法求解二維橢圓邊值問(wèn)題的過(guò)程與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的有限元方法大體相同，只是在具體處理時(shí)比一維情形更復(fù)雜些．考慮如下橢圓型方程的第一邊值問(wèn)題：(8.1)(8.2)其中，是平面的一個(gè)有界域，其邊值是分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線.以下我們從Galerkin法出發(fā)，敘述有限元求解問(wèn)題(8.1)、(8.2)的全過(guò)程．27精選版課件ppt與邊值問(wèn)題(8.1)、(8.2)等價(jià)的Galerkin變分問(wèn)題是：求，使得(8.3)其中8.1區(qū)域剖分正如前章所言，對(duì)高維區(qū)域的剖分與對(duì)一維區(qū)域的剖分有很大不同.對(duì)一維區(qū)域無(wú)論作哪一種剖分，其單元仍然是一個(gè)區(qū)間，對(duì)不同的剖分只是區(qū)間長(zhǎng)度不同而已.對(duì)高維區(qū)域而言，不同的剖分其單元的形狀各異，如對(duì)二維區(qū)域，剖分后的子區(qū)域可以是三角形、矩形或四邊形.限于篇幅，本書只討論剖分后所得的子區(qū)域是三角形的情況，這種剖分稱為三角形剖分.28精選版課件ppt將區(qū)域劃分成有限個(gè)三角形單元，剖分方法見前章，那里曾假定剖分的單元應(yīng)是銳角三角形．現(xiàn)在我們?nèi)サ暨@一限制，只假定不同的單元是無(wú)重疊的內(nèi)部，且單元的頂點(diǎn)不是其它單元邊的內(nèi)點(diǎn)．當(dāng)然還要盡量避免出現(xiàn)大鈍角的三角形．在物理量變化劇烈的地方，單元要?jiǎng)澐值眉?xì)密一些，變化緩和的地方，劃分得稀一些．劃分好單元之后，要對(duì)單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)．設(shè)是區(qū)域中的單元總數(shù)，將全區(qū)域中的單元統(tǒng)一編號(hào)，單元號(hào)記為．全區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)也要按一定的順序統(tǒng)一編號(hào)，記全區(qū)域中共有個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)號(hào)記為節(jié)點(diǎn)編號(hào)的一般原則是盡可能使同一單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)號(hào)比較接近．以后可以看到，單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)序號(hào)的差值決定了總體系數(shù)矩陣的帶寬．29精選版課件ppt8.2確定單元基函數(shù)與一維情形一樣，為了構(gòu)造試探函數(shù)空間我們只需在每個(gè)單元上構(gòu)造插值基函數(shù)．這里，我們僅考慮三角形單元上的線性插值函數(shù)．為了便于后面積分的計(jì)算，我們先將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為面積坐標(biāo).1.面積坐標(biāo)及有關(guān)公式(1)面積坐標(biāo)的定義設(shè)

是以

為頂點(diǎn)的任意三角形單元，面積為

，我們規(guī)定

的次序按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校谥?圖8.1)任意一點(diǎn)的位置，可用它在直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo)值來(lái)確定.圖(8.1)30精選版課件ppt如果我們過(guò)點(diǎn)

作與三個(gè)頂點(diǎn)的連線，形成三個(gè)小三角形那么一旦的值確定后，這三個(gè)三角形的面積也就有了確定的值；反之，這三個(gè)小三角形的面積確定之后，點(diǎn)也就有了確定的位置，由此可見，三角形單元中任意一點(diǎn)的位置，除了可用直角坐標(biāo)來(lái)確定外，還可以用連接點(diǎn)與與三個(gè)節(jié)點(diǎn)所形成的小三角形的面積來(lái)確定．用分別表示這三個(gè)小三角形的面積，顯然31精選版課件ppt令(8.4)則稱這三個(gè)比值為點(diǎn)的面積坐標(biāo).由定義可知，所以，并不是互相獨(dú)立的，其中任意一個(gè)面積坐標(biāo)都可以用另外兩個(gè)面積坐標(biāo)來(lái)表示，而且它們與直角坐標(biāo)系的選取方法是無(wú)關(guān)的，這也是采用面積坐標(biāo)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)．顯然，三個(gè)節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)是節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)32精選版課件ppt(2)面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系我們知道于是，有其中33精選版課件ppt由此可得到面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：(8.6)(8.7)從上述關(guān)系中可以看出，面積坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間是線性變換的關(guān)系，它實(shí)際上是將平面上的任意形狀的三角形變換到平面上的直角三角形單元．經(jīng)過(guò)這種變換，使得在任意三角形區(qū)域上的積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直角邊為1的直角三角形區(qū)域上的積分問(wèn)題，所以在計(jì)算上會(huì)帶來(lái)很大的方便．34精選版課件ppt(3)面積坐標(biāo)函數(shù)對(duì)直角坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)設(shè)面積坐標(biāo)函數(shù)為是的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有注意到式(8.6)，可得35精選版課件ppt所以面積坐標(biāo)函數(shù)對(duì)直角坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)為(8.8)(4)面積坐標(biāo)的積分單元分析中的積分，由于基函數(shù)幾乎無(wú)例外地均采用多項(xiàng)式函數(shù)，被積函數(shù)一般都是以冪函數(shù)形式出現(xiàn)的，因此在單元分析中經(jīng)常考慮的是如下典型形式的積分其中是任意非負(fù)整數(shù)．36精選版課件ppt以面積坐標(biāo)替換直角坐標(biāo)，并利用重積分變量替換公式，不難算出(8.9)為證明此式，只需注意到變換的Jacobi行列式以及積分關(guān)系式(8.10)37精選版課件ppt容易看出，在一維有限元分析中，由式(7.8)給出的變換正與上面討論的面積坐標(biāo)相當(dāng)．如果說(shuō)變換(8.6)將平面上的任意形狀的三角形單元變換到平面上直角邊為1的直角三角形單元，那么變換(7.8)則把軸上的線段單元變換到軸上的參考單元[0,1]．由此可見，在一維的情況下，與公式(8.9)相應(yīng)的積分公式為(8.11)其中,為線段單元的長(zhǎng)度．38精選版課件ppt

2.構(gòu)造單元基函數(shù)

任一個(gè)三角形單元上，可唯一確定一個(gè)線性插值函數(shù)其中，為三角形單元頂點(diǎn)處給定的函數(shù)值，為處相應(yīng)的單元節(jié)點(diǎn)基函數(shù)，它們都是線性函數(shù)，且滿足條件根據(jù)前面的討論容易驗(yàn)證：即面積坐標(biāo)正好是三角形單元上線性插值函數(shù)的基函數(shù)，于是在任一三角形單元上39精選版課件ppt(8.12)稱式(8.12)為單元形狀函數(shù)．將每一個(gè)單元上構(gòu)造的函數(shù)合并恰來(lái)就得到在整個(gè)區(qū)域上的分塊近似函數(shù).由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)基函數(shù)，所以整個(gè)區(qū)域上共有個(gè)基函數(shù).容易證明，由所生成的試探函數(shù)空間是的維子空間，中的任一函數(shù)均可表為其中，是在節(jié)點(diǎn)處的值.40精選版課件ppt8.3單元分析

令(8.13)下面利用式(8.6)、(8.8)對(duì)式(8.13)右端的積分逐項(xiàng)進(jìn)行分析.設(shè)單元

為

在三個(gè)頂點(diǎn)上，

的值分別為和記為的面積，41精選版課件ppt則在單元上于是式(8.13)右端的第一個(gè)積分可化為42精選版課件ppt其中(8.14)稱為單元?jiǎng)偠染仃?同理，可將式(8.13)右端的第二個(gè)積分化為：43精選版課件ppt其中(8.15)稱為單元載荷向量.綜合以上分析，我們得到8.4總體合成

令(8.16)我們知道，單元?jiǎng)偠染仃嚮騿卧d荷向量中的元素下標(biāo)值對(duì)應(yīng)于單元節(jié)點(diǎn)序號(hào)．所謂總體合成，就是將這些序號(hào)轉(zhuǎn)44精選版課件ppt換為總體節(jié)點(diǎn)序號(hào)，然后把這個(gè)元素加到總體系數(shù)矩陣某個(gè)位置上去．這個(gè)位置的行列序號(hào)，正是相應(yīng)的總體節(jié)點(diǎn)序號(hào)．必須指出，對(duì)于每個(gè)單元中的節(jié)點(diǎn)號(hào)統(tǒng)一按逆（或順）時(shí)針?lè)较蚺帕?，但是它們?cè)诳偟墓?jié)點(diǎn)編號(hào)中就不一點(diǎn)按原來(lái)的次序排列了．設(shè)已經(jīng)給出了單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)與總的節(jié)點(diǎn)編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，令對(duì)單元有其中，是一個(gè)的矩陣.若單元的節(jié)點(diǎn)在總節(jié)點(diǎn)編號(hào)中的序號(hào)為，則的第一行第個(gè)元素為1，其余元素均為0；的第二行、第三行分別也只有一個(gè)非零元素，其值為1，其位置由單元的節(jié)點(diǎn)在總編號(hào)中的序號(hào)來(lái)決定．45精選版課件ppt同理，可以寫出于是式(8.16)右端的第一項(xiàng)成為其中(8.17)就是總剛度矩陣，表示對(duì)個(gè)單元求和.顯然，只是單元?jiǎng)偠染氐木艂€(gè)元素在總節(jié)點(diǎn)編號(hào)下重新排列和“擴(kuò)展”的結(jié)果，而總剛度矩陣則是將各個(gè)單元的“貢獻(xiàn)”疊加起來(lái).它是一個(gè)的對(duì)稱、正定矩陣.46精選版課件ppt對(duì)于式(8.16)右端的第二項(xiàng)，同樣得其中(8.18)就是總載荷向量，它是每個(gè)單元上單元載荷向量貢獻(xiàn)的疊加．這樣由式(8.3)可知，對(duì),有47精選版課件ppt故得到所滿足的線性代數(shù)方程組(8.19)方程組(8.19)的系數(shù)矩陣對(duì)稱、正定，故方程組(8.19)有唯一解求得它們后，就有8.5邊界條件的處理1.第一邊值條件

若第一邊值條件為非齊次的(8.20)則應(yīng)像內(nèi)點(diǎn)一樣，在界點(diǎn)也引進(jìn)基函數(shù)．引進(jìn)的方法及計(jì)算公式同內(nèi)點(diǎn)完全一樣．48精選版課件ppt假定內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為，則與上面的推導(dǎo)完全一樣，可得到所滿足的線性代數(shù)方程組或?qū)懗?8.21)要得到問(wèn)題(8.1)、(8.20)的解在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上的近似值，則可按如下方法對(duì)方程組(8.21)進(jìn)行處理．假設(shè)有個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)，個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)．為敘述方便，假定在總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，把邊界上的節(jié)點(diǎn)排在最前面，于是為了得到內(nèi)點(diǎn)所滿足的有限元方程，可先從方程組(8.21)中去掉前個(gè)方程，即：49精選版課件ppt

(8.22)然后用邊值代入左端相應(yīng)項(xiàng)，并移至右端，便得到有限元方程，它是一個(gè)具個(gè)未知數(shù)、個(gè)方程的線性代數(shù)方程組

若記其中，是的方陣，是的方陣；都是的，都是的．則方程(8.23)可寫成如下形式50精選版課件ppt(8.24)其中是從中劃去頭行列元素而得到的.顯然，若邊界條件是齊次的，則此方程組就是式(8.19)．

若邊界上的節(jié)點(diǎn)不是排在前個(gè)，則在中劃去相應(yīng)的行列，在中劃去相應(yīng)的行，然后用邊值代入左端相應(yīng)項(xiàng)，并移至右端，同樣得到內(nèi)點(diǎn)所滿足的線性代數(shù)方程組．以上的約束處理方法，將改為時(shí)，要重新存儲(chǔ)矩陣的元素，從而給編制程序帶來(lái)麻煩．因此在實(shí)際計(jì)算時(shí)，應(yīng)把方程組（8.24）改寫為(8.25)51精選版課件ppt其中,是階單位矩陣，是由邊界上節(jié)點(diǎn)的值所組成．當(dāng)邊界條件為齊次時(shí)，．這一方程組的系數(shù)矩陣保留了的階數(shù)．它與方程組(8.24)等價(jià)．2.第二和第三邊值條件

假定問(wèn)題中給定的是下列邊值條件之一：

(8.26)