2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專題18 勾股定理與高、中線有關(guān)的計(jì)算（解析版）

專題18勾股定理與高、中線有關(guān)的計(jì)算1．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．42 B．37 C．42或32 D．37或32【答案】C【解析】【分析】存在2種情況，△ABC是銳角三角形和鈍角三角形時(shí)，高AD分別在△ABC的內(nèi)部和外部【詳解】情況一：如下圖，△ABC是銳角三角形∵AD是高，∴AD⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD中，DC=5∴△ABC的周長(zhǎng)為：15+12+9+5=42情況二：如下圖，△ABC是鈍角三角形在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC的周長(zhǎng)為：15+13+4=32故選擇：C【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是多解，注意當(dāng)幾何題型題干未提供圖形時(shí)，往往存在多解情況.2．已知△ABC中，AB=17cm，AC=10cm，邊上的高AD=8cm，則邊的長(zhǎng)為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】【分析】高線AD可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，分兩種情況進(jìn)行討論,分別依據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：分兩種情況：①如圖在Rt△ABD中，∠ADB=90°,由勾股定理得,AB2=AD2+BD2∴172=82+BD2,解得BD=15cm,在Rt△ACD中，∠ADC=90°,由勾股定理得,AC2=AD2+CD2∴102=82+CD2,解得CD=6cm,∴BC=BD+CD=15+6=21cm；②如圖由勾股定理求得BD=15cm,CD=6cm,∴BC=BD-CD=15-6=9cm.∴BC的長(zhǎng)為21cm或9cm.故選B【點(diǎn)睛】當(dāng)涉及到有關(guān)高的題目時(shí)，高的位置可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，所以分類討論計(jì)算是此類題目的特征．3．在中，邊上的中線，則的面積為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】本題考查三角形的中線定義，根據(jù)條件先確定ABC為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求得，最后根據(jù)求解即可.【詳解】解：如圖，在中，邊上的中線，∵CD=3，AB=6，∴CD=3，AB=6，∴CD=AD=DB，，，∵，∴，∴是直角三角形，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的應(yīng)用，熟練運(yùn)用三角形的中線定義以及綜合分析、解答問(wèn)題的能力，關(guān)鍵要懂得：在一個(gè)三角形中，如果獲知一條邊上的中線等于這一邊的一半，那么就可考慮它是一個(gè)直角三角形，通過(guò)等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)角和定理來(lái)證明一個(gè)三是直角三角形.4．在中，，，，這個(gè)三角形的面積是（

）A．84或24 B．84 C．24 D．16【答案】B【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程求得，再根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，與均為直角三角形，，即，解得，，中，AD=12，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的問(wèn)題，掌握勾股定理、三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．5．若中，，，高，則的長(zhǎng)為（

）A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不對(duì)【答案】A【解析】【分析】本題應(yīng)分兩種情況，①如果角C是鈍角，此時(shí)高AD在三角形的外部，在RT△ABD中利用勾股定理求出BD，在RT△ACD中利用勾股定理求出CD，然后可得出BC=BD-CD，繼而可得出△ABC的周長(zhǎng)；②如果角C是銳角，利用勾股定理求出BD、BC，根據(jù)BC=BD+CD求出BC，進(jìn)而可求出周長(zhǎng)．【詳解】解：①如果角C是鈍角，在RT△ABD中，BD==18，在RT△ACD中，CD=10，∴BC=18-10=8；②如果角C是銳角，此時(shí)高AD在三角形的內(nèi)部，在RT△ABD中，BD==18，在RT△ACD中，CD=10，∴BC=18+10=28；綜上可得BC的長(zhǎng)為28或8．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及三角形的知識(shí)，分類討論是解答本題的關(guān)鍵，如果不細(xì)心很容易將∠C為鈍角的情況忽略，有一定的難度．6．在中，，，上的高，則的面積是______．【答案】84或24【解析】【分析】根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行分析：當(dāng)是銳角三角形時(shí)，高AD在三角形的內(nèi)部；當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，高AD在三角形的外部；分別求出面積即可．【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，如圖：在直角△ABD中，由勾股定理，得BD=5；在直角△ACD中，由勾股定理，得CD=9，∴，∴的面積是：；當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，如圖：在直角△ABD中，由勾股定理，得BD=5；在直角△ACD中，由勾股定理，得CD=9，∴，∴的面積是：；故答案為：84或24．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，求出所需線段的長(zhǎng)度，注意運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．7．在中，，，邊上的高，則的周長(zhǎng)為______．【答案】60或42【解析】【分析】分兩種情況：①∠B為銳角；②∠ABC為鈍角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的長(zhǎng)．【詳解】提示：①如果是銳角，此時(shí)高在三角形的內(nèi)部，在中，，在中，CD=16，∴，此時(shí)的周長(zhǎng)．②如果是鈍角，在中，，在中，CD=16，∴，此時(shí)的周長(zhǎng)．綜上可得，的周長(zhǎng)為60或42．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理，畫出圖形，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．8．若Rt△ABC兩直角邊上的中線分別是AE和BD，則AE2+BD2與AB2的比值是_____．【答案】5：4【解析】【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，再將等式變形為：AE2+BD2=AB2+CD2+CE2，結(jié)合三角形中線的性質(zhì)可得CD2+CE2=AB2，進(jìn)而可求解．【詳解】解：如圖，∠C=90°，由勾股定理可得：AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，①+②得AE2+BD2=AC2+CE2+BC2+CD2=AB2+CD2+CE2，∵AE，BD是△ABC的中線，∴CD=AC，CE=BC，∴CD2+CE2=（AC）2+（BC）2=AB2，∴AE2+BD2=AB2+AB2=AB2，即AE2+BD2與AB2的比值是5：4．故答案為：5：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，三角形的中線，靈活運(yùn)用勾股定理解題是求解的關(guān)鍵．9．在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的長(zhǎng)是________．【答案】3【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD延長(zhǎng)線于E，先證△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，CE=3即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD延長(zhǎng)線于E，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，CE=3，∴AB=CE=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查中線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握中線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)造三角形全等．10．在中，AB=AC=13，BC=10，則邊BC上的中線等于_________________．【答案】12【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再由中線定義求得，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得，最后利用勾股定理即可求得．【詳解】解：根據(jù)題意可畫出圖形，如圖：∵，是邊上的中線∴∵∴∴在中，AD=12．故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、中線的定義、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握并靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共0分)11．如圖，在中，，，是邊上的高，，求的長(zhǎng).【答案】【解析】【分析】利用勾股定理先求出BD，進(jìn)而求得DC，再用勾股定理求得AC即可．【詳解】解：∵是上的高，∴，在中，BD=5，∴，∴在中，AC=15．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，會(huì)利用勾股定理解直角三角形是解答的關(guān)鍵．12．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，求△ABC的周長(zhǎng).【答案】32或42【解析】【分析】根據(jù)題意可知，在不知三角形具體形狀的前提下，對(duì)三角形進(jìn)行分類討論，當(dāng)高在三角形內(nèi)部，當(dāng)高在三角形外部，分別利用勾股定理計(jì)算得到答案即可.【詳解】解：∵AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12如圖1，CD在△ABC內(nèi)部時(shí)，∴AD=9，BD=5，∴AB=AD+BD=9+5=14，此時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)=14+13+15=42，如圖2，CD在△ABC外部時(shí)，AB=AD-BD=9-5=4，此時(shí)，△ABC周長(zhǎng)=4+13+15=32綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為32或42.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有三角形的角平分線、中線和高以及勾股定理的應(yīng)用，需要注意的是此題需要分兩種情況分別計(jì)算.13．在△ABC中，AB=17,BC=16,BC邊上的中線AD=15，求△ADC的面積.【答案】60【解析】【分析】先根據(jù)BC=16，AD是BC的中線求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABD的形狀，及△ADC的形狀，用三角形面積公式求面積.【詳解】解：∵在△ABC中，AB=17，BC=16，BC邊上的中線AD=15，∴BD=CD=BC=8，∵152+82=172，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理及三角形面積的求法，掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形是本題的解題關(guān)鍵.14．如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)的面積為________；(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(3)求邊上的高．【答案】(1)5；(2)△ABC是直角三角形，理由見解析；(3)2.【解析】【分析】（1）根據(jù)割補(bǔ)法即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可判斷是直角三角形；（3）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)等積法即可求得CF值.(1)解：如圖：∵AE=1，BD=4，ED=4，EC=DC=2，∴S△ABC=S梯形ABDE-S△BCD-S△ACE====10-4-1=5，故答案為：5；(2)解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=12+22=5，∴BC2+AC2=20+5=25，即AB2=BC2+AC2，故△ABC是直角三角形.(3)解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，由（1）（2）知：S△ABC=5，AB=5，∴S△ABC=，即，解得CF=2,故邊上的高為2.【點(diǎn)睛】此題考查三角形面積，勾股定理及其逆定理，掌握基本知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.15．如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)分別為A(﹣4，5)，B(﹣3，2)，C(4，﹣1)．（1）作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1；（2）在圖中作出△ABC的BC邊上的高；（3）若AC＝10，求△ABC的AC邊上的高．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．【解析】【分析】（1）作△AB