同質(zhì)群體33對稱博弈的復(fù)制動態(tài)系統(tǒng)

同質(zhì)群體33對稱博弈的復(fù)制動態(tài)系統(tǒng)

在運(yùn)用經(jīng)典游戲理論來解決現(xiàn)實(shí)問題時，經(jīng)濟(jì)學(xué)家往往會得出結(jié)論，這主要是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的理性方法在理論和實(shí)踐上存在許多缺陷。對決策者的理性要求非常高，在現(xiàn)實(shí)生活中往往很難實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)致理論結(jié)論與現(xiàn)實(shí)嚴(yán)重分離。經(jīng)典博弈理論在新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)框架的基礎(chǔ)上引入了博弈方之間經(jīng)濟(jì)行為互動,所以無法解決“經(jīng)濟(jì)人”完全理性的假設(shè),即博弈方對整個博弈結(jié)構(gòu)和對方支付有著完全的了解。特別地,還要求這種理性是所有參與人的“共同知識”,然而現(xiàn)實(shí)生活中這種“完全理性”的人根本不存在。博弈方具有有限理性,意味著博弈過程中博弈方不可能通過一次博弈就能找到獲得最大利益的最優(yōu)策略,而是通過在多次重復(fù)博弈過程中的不斷學(xué)習(xí)、模仿,尋找一個較好的策略。該學(xué)習(xí)過程也就是一個策略的動態(tài)調(diào)整過程。在研究有限理性博弈方學(xué)習(xí)和策略調(diào)整的過程中,人們發(fā)現(xiàn)可以利用生物進(jìn)化的動態(tài)機(jī)制進(jìn)行模擬,并提出了與生物進(jìn)化博弈非常相似的“進(jìn)化穩(wěn)定策略”概念。一般進(jìn)化博弈模型主要基于兩個方面建立:選擇和突變,即生物進(jìn)化過程中不同種群的優(yōu)勝劣汰和某些個體基因突變。有限理性的博弈方重復(fù)博弈的過程也是一個學(xué)習(xí)和選擇的過程,博弈方通過不斷的學(xué)習(xí)和模仿調(diào)整策略,讓自身利益能夠得到改善,使最終的結(jié)構(gòu)達(dá)到一個動態(tài)的均衡;同時,“進(jìn)化穩(wěn)定策略”還要求這種均衡可以“驅(qū)逐入侵者”,也就是說只要群體的策略達(dá)到一個穩(wěn)定的均衡,即便有少部分的“變異者”開始改變策略,可最終這部分參與者會通過不斷的學(xué)習(xí)、調(diào)整,使其決策恢復(fù)到原先的策略均衡上,該平衡狀態(tài)下的策略稱為進(jìn)化穩(wěn)定策略。由于博弈方理性和信息的有限,策略的調(diào)整過程難免會缺乏遠(yuǎn)見,但是基于不對稱的信息來說,這種局部的、短視的決策卻有著自身的合理性。運(yùn)用動態(tài)復(fù)制系統(tǒng)模擬策略的動態(tài)調(diào)整過程已被大多數(shù)學(xué)者所采用。文獻(xiàn)中研究了一類兩種群生物復(fù)制動態(tài)系統(tǒng),得出了此系統(tǒng)的帕累托最優(yōu)解正是這個復(fù)制動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定解。文獻(xiàn)中考慮了具有n(n=2,3)個博弈方的具體復(fù)制動態(tài)系統(tǒng),并討論了其平衡點(diǎn)的分支情況。文獻(xiàn)中分析了在連續(xù)策略空間條件下,復(fù)制動態(tài)系統(tǒng)演化到穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的條件。對于動態(tài)復(fù)制系統(tǒng)的研究需要利用動力系統(tǒng)的理論和方法,但是一般的動態(tài)復(fù)制系統(tǒng)都是非線性的,分析較為困難,所以上述文獻(xiàn)僅僅只是討論了一些具體的系統(tǒng)。即便是簡單的不完全信息情形下的重復(fù)博弈,其結(jié)構(gòu)依然局限于具有對稱支付矩陣的情況,并且研究結(jié)果僅限于個案分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,對于2×2重復(fù)博弈,文獻(xiàn)中給出了較為完整的結(jié)果。本文利用動力系統(tǒng)相關(guān)理論、方法分析同質(zhì)兩群體3×3對稱博弈的演化均衡的穩(wěn)定性,對其動力學(xué)行為給出了完整的結(jié)論。1a+ye,be對一般同質(zhì)兩群體3×3對稱博弈的復(fù)制動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行分析。對于3×3對稱博弈的得益矩陣式,可以用圖1表示,其中,x、y和1-x-y分別表示此類參與人在一次博弈中采取策略A、B、C的概率。顯然,采用策略A、B、C時博弈方的期望得益分別為E(A)=xa+yd+(1-x-y)fE(B)=xe+yb+(1-x-y)mE(C)=xg+yn+(1-x-y)cE(A)=xa+yd+(1?x?y)fE(B)=xe+yb+(1?x?y)mE(C)=xg+yn+(1?x?y)c故整個群體的平均期望得益為ˉE=x?E(A)+y?E(B)+(1-x-y)?E(C)Eˉˉˉ=x?E(A)+y?E(B)+(1?x?y)?E(C)由于討論的是群體之間的博弈行為,假設(shè)一個群體是一個博弈方,故其策略調(diào)整過程不會像一個具有快速學(xué)習(xí)能力的小組那樣能夠用“最優(yōu)反應(yīng)動態(tài)”這樣的機(jī)制進(jìn)行模擬,而是利用起源于生物學(xué)領(lǐng)域中生物進(jìn)化的“復(fù)制動態(tài)”進(jìn)行機(jī)制模擬。即如果有一個策略的得益大于群體均值,即便該策略未必是全局最優(yōu),也會使得選擇該策略群體的份額增長。這就意味著該策略轉(zhuǎn)變是一種漸進(jìn)的過程,同時也說明該群體是一個學(xué)習(xí)速度較慢的有限理性博弈方。這樣就解決了研究群體決策時,對理性的要求都特別基本的問題,從而擺脫了傳統(tǒng)博弈論對博弈方完全理性假設(shè)的束縛,能夠更加有效地解決有限理性博弈的問題。假設(shè)采用某一策略博弈方在整個群體中的比例的變化率與該策略博弈方的比例成正比,同時也與其期望得益超過平均的期望得益的幅度成正比,可以得到復(fù)制動態(tài)方程dxdt=x[E(A)-ˉE]dydt=y[E(B)-ˉE]}(1)dxdt=x[E(A)?Eˉˉˉ]dydt=y[E(B)?Eˉˉˉ]}(1)即動態(tài)復(fù)制系統(tǒng):dxdt=(f-c)x+(a+2c-g-2f)x2+(d+2c-f-m-n)xy+(n+m-b-c)xy2+(f+g+m+n-2c-d-e)x2y+(f+g-a-c)x3dydt=(m-c)y+(b+2c-2m-n)y2+(e+2c-f-g-m)xy+(f+g-a-c)x2y+(f+g+m+n-2c-d-e)xy2+(m+n-b-c)y3}(2)dxdt=(f?c)x+(a+2c?g?2f)x2+(d+2c?f?m?n)xy+(n+m?b?c)xy2+(f+g+m+n?2c?d?e)x2y+(f+g?a?c)x3dydt=(m?c)y+(b+2c?2m?n)y2+(e+2c?f?g?m)xy+(f+g?a?c)x2y+(f+g+m+n?2c?d?e)xy2+(m+n?b?c)y3???????????????????????????????????????????????(2)2個進(jìn)化博弈的均衡因?yàn)榭紤]的是一個同質(zhì)兩群體的重復(fù)博弈,則對于任何一個初始點(diǎn),經(jīng)過動態(tài)演化之后,動態(tài)復(fù)制系統(tǒng)式(2)軌線上的點(diǎn)只有在(x(t),y(t))∈×才有意義。動態(tài)復(fù)制系統(tǒng)平衡點(diǎn)所對應(yīng)的策略組合為進(jìn)化博弈的一個均衡,簡稱進(jìn)化均衡。經(jīng)計算,動力系統(tǒng)(2)有7個平衡點(diǎn),分別為:E1(0,0),E2(1,0),E3(0,1)E4(0,c-mc-m+b-n),E5(c-fc-f+a-g,0)E6(a-ea-e+b-d,b-da-e+b-d)E7(Τ1Τ1+Τ2+Τ3,Τ2Τ1+Τ2+Τ3)E1(0,0),E2(1,0),E3(0,1)E4(0,c?mc?m+b?n),E5(c?fc?f+a?g,0)E6(a?ea?e+b?d,b?da?e+b?d)E7(T1T1+T2+T3,T2T1+T2+T3)其中:Τ1=bf+cd+mn-bc-dm-nfΤ2=am+ce+fg-ac-ef-mgΤ3=an+bg+de-ab-dg-enT1=bf+cd+mn?bc?dm?nfT2=am+ce+fg?ac?ef?mgT3=an+bg+de?ab?dg?en但對于一個同質(zhì)兩群體的動態(tài)復(fù)制系統(tǒng)來說雙方得益應(yīng)為總得益,所以E7不屬于本文討論的范圍,并且當(dāng)0<c-mc-m+b-n<10<c?mc?m+b?n<1時,平衡點(diǎn)E1有意義;當(dāng)0<c-fc-f+a-g<10<c?fc?f+a?g<1時,平衡點(diǎn)E2有意義;當(dāng)0<a-ea-e+b-d,b-da-e+b-d<10<a?ea?e+b?d,b?da?e+b?d<1時,平衡點(diǎn)E3有意義。這樣只需討論以上平衡點(diǎn)的情況就可以得到各個進(jìn)化博弈的均衡。根據(jù)文獻(xiàn)可以得到:定理1系統(tǒng)(2)在下列情況下有3個平衡點(diǎn):(1)當(dāng)a>e,a>g,b<d,b>n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有3個平衡點(diǎn)E1～E3,其中:E2為穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn),E1為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為鞍點(diǎn);(2)當(dāng)a>e,a>g,b<d,b<n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有3個平衡點(diǎn)E1～E3,其中:E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為鞍點(diǎn);(3)當(dāng)a>e,a<g,b<d,b>n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有3個平衡點(diǎn)E1～E3,其中:E1、E2、E3均為鞍點(diǎn);(4)當(dāng)a>e,a<g,b<d,b<n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有3個平衡點(diǎn)E1～E3,其中:E1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為鞍點(diǎn);(5)當(dāng)a<e,a>g,b>d,b>n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有3個平衡點(diǎn)E1～E3,其中:E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為鞍點(diǎn);(6)當(dāng)a<e,a>g,b>d,b<n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有3個平衡點(diǎn)E1～E3,其中:E1、E2、E3均為鞍點(diǎn);(7)當(dāng)a<e,a<g,b>d,b>n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有3個平衡點(diǎn)E1～E3,其中:E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為鞍點(diǎn);(8)當(dāng)a<e,a<g,b>d,b<n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有3個平衡點(diǎn)E1～E3,其中:E1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為鞍點(diǎn)。定理2系統(tǒng)(2)在下列情況下有4個平衡點(diǎn):(1)當(dāng)a>e,a>g,b>d,b>n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E6,其中:E2、E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);(2)當(dāng)a>e,a>g,b>d,b<n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E6,其中:E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E3為鞍點(diǎn);(3)當(dāng)a>e,a>g,b<d,b>n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E5,其中:E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E3為鞍點(diǎn);(4)當(dāng)a>e,a>g,b<d,b>n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E4,其中:E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E3為鞍點(diǎn);(5)當(dāng)a>e,a>g,b<d,b<n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E5,其中:E1、E2均為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);(6)當(dāng)a>e,a>g,b<d,b<n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E4,其中:E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E3為鞍點(diǎn);(7)當(dāng)a>e,a<g,b>d,b>n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E6,其中:E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2為鞍點(diǎn);(8)當(dāng)a>e,a<g,b>d,b<n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E6,其中:E1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2、E3為鞍點(diǎn);(9)當(dāng)a>e,a<g,b<d,b>n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E4,其中:E1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2、E3為鞍點(diǎn);(10)當(dāng)a>e,a<g,b<d,b>n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E5,其中:E1為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2、E3為鞍點(diǎn);(11)當(dāng)a>e,a<g,b<d,b<n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E4,其中:E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2為鞍點(diǎn);(12)當(dāng)a>e,a<g,b<d,b<n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E5,其中:E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2為鞍點(diǎn);(13)當(dāng)a<e,a>g,b>d,b>n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E5,其中:E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2為鞍點(diǎn);(14)當(dāng)a<e,a>g,b>d,b>n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E4,其中:E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2為鞍點(diǎn);(15)當(dāng)a<e,a>g,b>d,b<n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E5,其中:E1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2、E3為鞍點(diǎn);(16)當(dāng)a<e,a>g,b>d,b<n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E4,其中:E1為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2、E3為鞍點(diǎn);(17)當(dāng)a<e,a>g,b<d,b>n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E6,其中:E1為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2、E3為鞍點(diǎn);(18)當(dāng)a<e,a>g,b<d,b<n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E6,其中:E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2為鞍點(diǎn);(19)當(dāng)a<e,a<g,b>d,b>n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E4,其中:E1、E3均為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);(20)當(dāng)a<e,a<g,b>d,b>n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E5,其中:E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);(21)當(dāng)a<e,a<g,b>d,b<n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E4,其中:E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E3為鞍點(diǎn);(22)當(dāng)a<e,a<g,b>d,b<n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E5,其中:E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E3為鞍點(diǎn);(23)當(dāng)a<e,a<g,b<d,b>n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E6,其中:E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E3為鞍點(diǎn);(24)當(dāng)a<e,a<g,b<d,b<n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有4個平衡點(diǎn)E1～E3、E6,其中:E1均為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2、E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。定理3系統(tǒng)(2)在下列情況下有5個平衡點(diǎn):(1)當(dāng)a>e,a>g,b>d,b>n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E3、E5、E6,其中:E2、E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為鞍點(diǎn);(2)當(dāng)a>e,a>g,b>d,b>n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E4、E6,其中:E2、E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為鞍點(diǎn);(3)當(dāng)a>e,a>g,b>d,b<n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E3、E5、E6,其中:E1、E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為鞍點(diǎn);(4)當(dāng)a>e,a>g,b>d,b<n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E4、E6,其中:E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為鞍點(diǎn);(5)當(dāng)a>e,a>g,b<d,b>n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E4、E5,其中:E1、E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為鞍點(diǎn);(6)當(dāng)a>e,a>g,b<d,b<n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E5,其中:E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為鞍點(diǎn);(7)當(dāng)a>e,a<g,b>d,b>n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E4、E6,其中:E1、E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為鞍點(diǎn);(8)當(dāng)a>e,a<g,b>d,b>n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E3、E5、E6,其中:E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為鞍點(diǎn);(9)當(dāng)a>e,a<g,b>d,b<n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E4、E6,其中:E1、E2、E3均為鞍點(diǎn);(10)當(dāng)a>e,a<g,b>d,b<n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E3、E5、E6,其中:E1、E2、E3均為鞍點(diǎn);(11)當(dāng)a>e,a<g,b<d,b>n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E5,其中:E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2、E3均為鞍點(diǎn);(12)當(dāng)a>e,a<g,b<d,b<n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E5,其中:E1、E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為鞍點(diǎn);(13)當(dāng)a<e,a>g,b>d,b>n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E5,其中:E1、E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為鞍點(diǎn);(14)當(dāng)a<e,a>g,b>d,b<n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E5,其中:E1、E2、E3均為鞍點(diǎn);(15)當(dāng)a<e,a>g,b<d,b>n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E3、E5、E6,其中:E1、E2、E3均為鞍點(diǎn);(16)當(dāng)a<e,a>g,b<d,b>n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E4、E6,其中:E1、E2、E3均為鞍點(diǎn);(17)當(dāng)a<e,a>g,b<d,b<n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E3、E5、E6,其中:E1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為鞍點(diǎn);(18)當(dāng)a<e,a>g,b<d,b<n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E6,其中:E1、E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為鞍點(diǎn);(19)當(dāng)a<e,a<g,b>d,b>n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E5,其中:E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為鞍點(diǎn);(20)當(dāng)a<e,a<g,b>d,b<n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E5,其中:E1、E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為鞍點(diǎn);(21)當(dāng)a<e,a<g,b<d,b>n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E4、E6,其中:E1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為鞍點(diǎn);(22)當(dāng)a<e,a<g,b<d,b>n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E3、E5、E6,其中:E1、E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3為鞍點(diǎn);(23)當(dāng)a<e,a<g,b<d,b<n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E4、E6,其中:E2、E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為鞍點(diǎn);(24)當(dāng)a<e,a<g,b<d,b<n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)E1～E3、E5、E6,其中:E2、E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1為鞍點(diǎn)。定理4系統(tǒng)(2)在下列情況下有6個平衡點(diǎn):(1)當(dāng)a>e,a>g,b>d,b>n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有6個平衡點(diǎn)E1～E6,其中:E1、E2、E3均為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);(2)當(dāng)a>e,a>g,b>d,b<n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有6個平衡點(diǎn)E1～E6,其中:E2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E3為鞍點(diǎn);(3)當(dāng)a>e,a<g,b>d,b>n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有6個平衡點(diǎn)E1～E6,其中:E3為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2為鞍點(diǎn);(4)當(dāng)a>e,a<g,b>d,b<n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有6個平衡點(diǎn)E1～E6,其中:E1為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2、E3為鞍點(diǎn);(5)當(dāng)a<e,a>g,b<d,b>n,c>f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有6個平衡點(diǎn)E1～E6,其中:E1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E2、E3為鞍點(diǎn);(6)當(dāng)a<e,a>g,b<d,b<n,c>f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有6個平衡點(diǎn)E1～E6,其中:E3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E2為鞍點(diǎn);(7)當(dāng)a<e,a<g,b<d,b>n,c<f,c>m時,復(fù)制系統(tǒng)有6個平衡點(diǎn)E1～E6,其中:E2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E1、E3為鞍點(diǎn);(8)當(dāng)a<e,a<g,b<d,b<n,c<f,c<m時,復(fù)制系統(tǒng)有6個平衡點(diǎn)E1～E6,其中:E1、E2、E3均為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。對于平衡點(diǎn)E4、E5、E6的分析由定理5給出,令:D4=bf+cd+2mn-bm-cn-dm-fnD5=am+ce+2fg-af-cg-ef-mgD6=an+bg+2de-ad-be-dg-en定理5如果系統(tǒng)(2)存在平衡點(diǎn)Ei(i=4,5,6),則當(dāng)Ti-3<0時,Ei為鞍點(diǎn);當(dāng)Ti-3>0時,Ei為結(jié)點(diǎn),并且在Di<0時為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),Di>0時為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);當(dāng)Di=0時,Ei為中心。定理1～5給出了動態(tài)復(fù)制系統(tǒng)(2)定性行為的拓?fù)涞葍r分類。此外,對于一些退化的情形(a=c或b=d等情形)可以根據(jù)文獻(xiàn)得出的結(jié)果,不再贅述。3有3個條件下,3個平衡由于復(fù)制動態(tài)系統(tǒng)(2)的動力學(xué)行為非常豐富,不便給出全部相圖。本節(jié)通過對部分情形的數(shù)值計算,分析其對應(yīng)的相圖,以便顯示此類同質(zhì)兩群體3×3對稱博弈復(fù)制動態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)演化。情況1考慮a>e,a>g,b<d,b<n,c<f,c>m,若取a=3,b=2,c=4,d=4,e=2,f=6,g=1,m=3,n=4,經(jīng)計算系統(tǒng)