2022年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（3月份）（學(xué)生版+解析版）

2022年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（3月份）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=l-（17）2,則復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)Z等于（）

A.1-2zB.1+2/C.3+2zD.3-2i

2.（5分）已知集合A={x|?-3x+2<0},B={-1,0,1},則AC8等于（）

A.{-1,0}B.{-1,1}C.{1}D.{-1,0,1,2}

3.（5分）命題“axo€R,XO2+4XO+6^O",的否定為（）

A.VxGR,XO2+4XO+6<OB.VAGR,/+4x+6>0

C.3x（）GR.J?+4X+6>0D.3X（）GR,XJ+4X（）+620

4.（5分）某中學(xué)從甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2022年“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請

賽，他們?nèi)〉贸煽兊那o葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是84,乙班學(xué)生成績的平

A.36B.12C.10D.24

1

5.（5分）設(shè)〃=log20.3,b=lgy,c=logic，則（）

2J

A.a<c<hB.b<a<cC.c<h<aD.a<h<c

6.（5分）已知等比數(shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2m+342=16,2。2+。3=。4,則

Iog20+log2〃2+log2a3+“+lOg20OO等于（）

A.11000B.5050C.5000D.10000

7.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的。的值為17,則輸入的最小整數(shù)/的值為（）

/輸入//

a=2

a=2a-l

/輸出〃/

（結(jié)束）

A.9B.12C.14D.16

8.（5分）2022年北京冬奧會成功舉辦.中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動人數(shù)快速上升,

冰雪運(yùn)動市場需求得到釋放，將引領(lǐng)相關(guān)戶外用品行業(yè)市場增長.如圖是2015年至2021

年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率（與上一年相比）的統(tǒng)計(jì)情況，則下面結(jié)

A.2016年至2021年，中國雪場滑雪人次的同比增長率逐年下降

B.2016年至2021年，中國雪場滑雪人次逐年增加

C.2016年與2021年，中國雪場滑雪人次的同比增長率近似相等，所以同比增長人數(shù)也

近似相等

D.2016年至2021年，中國雪場滑雪人次增長率為12.6%

9.（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，

以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比

如在Jz+jrivrE中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值%,這可以通過

方程T三=%確定x=2,則2——"等于（）

2-露

A.1B.2C.3D.4

10.（5分）如圖所示，圓柱的軸截面是正方形ABCQ,母線BC=4,若點(diǎn)E是母線BC的中

點(diǎn)，尸是屈的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

B.點(diǎn)尸到平面A8co的距離為2

C.BF1AC

n

D.Bb與平面A3C。所成的角的大小為]

11.（5分）已知函數(shù)/（%）=2e5譏4+加譏+sinx,將函數(shù),f（x）的圖象上所有

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的士縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移年（＜p＞0）個(gè)單位長度，所得

4

的圖象關(guān)于y軸對稱，則＜p的值可能為（）

n3717r

A.—B.-577rC.—D?一

242484

12.（5分）已知函數(shù)/‘（冗）=2XIHJC^X2-ax+3（。＞0）,若/’（無）20恒成立，則a的取值范

圍為（）

A.[4,+8）B.（4,+8）C.（0,4）D.（0,4]

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量就b滿足向=2,\b\=1,且而+b\-V3,則：與b的夾角等于.

14.（5分）若圓錐的底面直徑為6,母線長為5,則其內(nèi)切球的表面積為.

15.（5分）已知圓E的圓心為（a,2）,直線/i：x-y+l=0,/2：x-y-l=0與圓E分別

交于點(diǎn)A,B與C,D,若四邊形A8C。是正方形，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

16.（5分）已知數(shù)列｛蜘｝滿足ai=4,斯+1=2即，數(shù)列出”｝的通項(xiàng)公式為%=詈，記數(shù)列

a?.in2-9n4-36

｛〃,加｝的前〃項(xiàng)和為S”若存在正數(shù)公使樂Lf-對一切屬N*恒成立，則A

的取值范圍為.

三、解答題：共70分.解答題寫出文字說明、證明過程和演算步驟.第17-21題是必考

題，每個(gè)考生都必須作答.第22、23題是選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共

60分.

17.（12分）2022年2月4日，冬奧會在北京與張家口開幕，如圖，四邊形A8CO是主辦

方為運(yùn)動員精心設(shè)計(jì)的休閑區(qū)域的大致形狀，區(qū)域四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，

為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動步道AC,D=2B,AD=4,CD=6,B=*

（1）求氫能源環(huán)保電動步道AC的長；

（2）若BC=4,求花卉種植區(qū)域總面積.

A

二

18.（12分）如圖所示，在四棱錐尸-ABC。中，%_L平面A8C￡>,底面ABCZ）是矩形，PA=

AB=五,AZ）=2,過點(diǎn)8作BE,AC,交40于點(diǎn)E,點(diǎn)F，G分別為線段P￡）,DC的

中點(diǎn).

（1）證明：AC,平面BEF；

（2）求三棱錐F-BGE的體積.

19.（12分）某農(nóng)場主擁有兩個(gè)面積都是200畝的農(nóng)場——“生態(tài)農(nóng)場”與“親子農(nóng)場”，

種植的都是黃桃，黃桃根據(jù)品相和質(zhì)量大小分為優(yōu)級果、一級果、殘次果三個(gè)等級.農(nóng)

場主隨機(jī)抽取了兩個(gè)農(nóng)場的黃桃各100千克，得到如下數(shù)據(jù)“生態(tài)農(nóng)場”優(yōu)級果和一級

果共95千克，兩個(gè)農(nóng)場的殘次果一共20千克，優(yōu)級果數(shù)目如下：“生態(tài)農(nóng)場”20千克,

“親子農(nóng)場”25千克.

（1）根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為殘次果率與農(nóng)場有關(guān)？

（2）種植黃桃的成本為5元/千克，且黃桃價(jià)格如表：

等級優(yōu)級果一級果殘次果

價(jià)格（元/千克）108-0.5（無害化處理費(fèi)用）

①以樣本的頻率作為概率，請分別計(jì)算兩個(gè)農(nóng)場每千克黃桃的平均利潤；

②由于農(nóng)場主精力有限，決定售賣其中的一個(gè)農(nóng)場，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)幫他做出決策.（假

設(shè)兩個(gè)農(nóng)場的產(chǎn)量相同）

參考公式：吟…器瑞Md），其中〃

附表：

P（心履）0.1000.0500.0100.001

例2.7063.8416.63510,828

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=xlnx.

（1）求曲線G）在點(diǎn)（e,/（e））處的切線方程；

（2）求函數(shù)/（x）的最小值，并證明：當(dāng)時(shí)，bb>（1）e.（其中《為自然對數(shù)的底

數(shù)）

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線3久+4y+5遙=0與圓。：/+/=，相

x2y2V3

切，另外，橢圓C2：/+瓦=l（a>b>0）的離心率為一，過左焦點(diǎn)Fi作x軸的垂線

交橢圓于C,。兩點(diǎn).且|C￡）|=1.

（1）求圓Ci的方程與橢圓C2的方程;

（2）經(jīng)過圓Ci上一點(diǎn)尸作橢圓C2的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A,B,直線用，PB分

別與圓。相交于M,N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P）,求△OAB的面積的取值范圍.

選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作

答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號涂黑.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10

分）

（%=區(qū)

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為｛2,a為參數(shù)）,以

）=1+/

坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2=

3

1+2COS20'

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)直線/與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸(0,1),求|B1|+|PB|的值.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.己知函數(shù)/(x)=|1-2x|-k|.

(1)求/(x)的解集；

(2)若/(x)+|2r-4|+M-2a20恒成立，求a的取值范圍.

2022年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（3月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=l-（1-/）2,則復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù)5等于（）

A.1-2iB.l+2iC.3+2zD.3-2i

【解答］解：：z=l-（17）2=1-（1-2z+i2）=l+2i,

：.z=1-2i.

故選：A.

2.（5分）已知集合A={x|?-3x+2W0},B={-\,0,1},則ACB等于（）

A.{-1,0}B.{-1,1}C.{1}D.{-1,0,1,2}

【解答】解：集合A=（小2-3X+2W0}={X|1WXW2},

B={-1,0,1},

則AAB={1}.

故選：C.

3.（5分）命題“mxo€R,X（）2+4XO+6W0”的否定為（）

A.VxGR,JCQ2+4XO+6WOB.VXGR>/+4X+6>0

C.3x（）GR,x^+4x+6>0D.3x（）GR,JC（）2+4X（）+6^0

【解答】解：命題是特稱命題，則否定是全稱命題，BPVA-GR,/+4X+6>0,

故選:B.

4.（5分）某中學(xué)從甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2022年“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請

賽，他們?nèi)〉贸煽兊那o葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是84,乙班學(xué)生成績的平

A.36B.12C.10D.24

【解答】解：根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)知，甲班成績的中位數(shù)是84,所以x=4；

乙班成績的平均數(shù)是86,即-X(76+81+81+80+)^91+91+96)=86,解得y=6,

所以肛=4X6=24.

故選：D.

5.(5分)設(shè)a=log20.3,b=lgR,

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c

【解答】解：

.\0</giT<i,即

又?.?a=log20.3Vlog21=0,

1i

C=log1^>logi^=U

*.a<b<c,

故選：D.

6.(5分)已知等比數(shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且20+342=16,2〃2+〃3=〃4，則

log2〃l+log2〃2+log2a3+”+log2〃100等于()

A.11000B.5050C.5000D.10000

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為9S>0),

由2〃2+43=。4,得。1(2q+#)=m/,

又41W0,所以2q+/=/,整理得q(q+l)(q-2)=0,

解得夕=2或行-1(舍去)，4=0(舍去)，

由2〃1+3。2=16,得24|+6〃1=16,解得〃i=2,

所以斯=2X2〃7=2〃，

所以Iog2〃l+log242+log2〃3+…+Iog2〃10()=log2(〃1。2?〃1()0)=log221+2++100=1+2+*+100=

苧(1+100)=5050.

故選：B.

7.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的“的值為17,則輸入的最小整數(shù)f的值為（）

/輸入//

a=2

a=2a—1

/輸出〃/

（結(jié)束）

A.9B.12C.14D.16

【解答】解：由程序框圖可得，輸入a=2,第一次循環(huán)，a=3,3>t,不成立，繼續(xù)循

環(huán)，

第二次循環(huán)，a=5,5>t,不成立，繼續(xù)循環(huán)，

第三次循環(huán)，a=9,9>t,不成立，繼續(xù)循環(huán)，

第四次循環(huán)，a=17,17>/,成立，輸出〃=17,退出循環(huán)，

綜上所述，9Wf<17且怎N*,

故輸入的最小整數(shù)t的值為9.

故選:A.

8.（5分）2022年北京冬奧會成功舉辦.中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動人數(shù)快速上升,

冰雪運(yùn)動市場需求得到釋放，將引領(lǐng)相關(guān)戶外用品行業(yè)市場增長.如圖是2015年至2021

年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率（與上一年相比）的統(tǒng)計(jì)情況，則下面結(jié)

論中正確的是（）

A.2016年至2021年，中國雪場滑雪人次的同比增長率逐年下降

B.2016年至2021年，中國雪場滑雪人次逐年增加

C.2016年與2021年，中國雪場滑雪人次的同比增長率近似相等，所以同比增長人數(shù)也

近似相等

D.2016年至2021年，中國雪場滑雪人次增長率為12.6%

【解答】解：對于A,2016年至2018年，中國雪場滑雪人次的同比增長率逐年增加，

2018年到2021年，中國雪場滑雪人次的同比增長率逐年減少，故A錯(cuò)誤；

對于8,2016年至2021年，中國雪場滑雪人次逐年增加，故B正確；

對于C,2016年與2021年相比，中國雪場滑雪人次的同比增長率近似相等，所以同比增

長人數(shù)逐年增加，故C錯(cuò)誤；

1970-900

對于￡>,2016年到2021年，中國雪場滑雪人次增長率約為:———x100%-118.89%,

故。錯(cuò)誤.

故選:B.

9.（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，

以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比

如在12+/2+VI/中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x,這可以通過

方程=x確定x=2,則2——、一等于（）

2-白

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由題意可設(shè)2—：=x,

則x+,=2,解得尤=1,

故選：A.

10.（5分）如圖所示，圓柱的軸截面是正方形ABC，母線BC=4,若點(diǎn)E是母線BC的中

點(diǎn)，F(xiàn)是窈的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.EF//AC

B.點(diǎn)尸到平面ABCO的距離為2

C.BF±AC

n

D.BF與平面ABCD所成的角的大小為§

【解答】解：如圖，設(shè)O是48的中點(diǎn)，連接OE,OF,

在正方形A8CO中，BC=4,可得08=2,

在△ABC中，可得OE〃AC,則EF與AC不平行，故A錯(cuò)誤；

'：F是油的中點(diǎn)，平面ABCD,F到平面ABCD的距離為2,故2正確;

假設(shè)B產(chǎn)"LAC,'：BFLBC,ACABC=C,

平面ABC,：.BF±AB,

與8尸與A8不垂直矛盾，尸與4c不垂直，故C錯(cuò)誤；

NABF是BF與平面ABCD所成角，

'：OF±OB,OF=OB,NABF=Z，故。錯(cuò)誤.

故選:B.

11.（5分）已知函數(shù)/'（無）=2V^sin?+1）$譏4一*）+sinx,將函數(shù)f（x）的圖象上所有

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的士縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移中(<p>0)個(gè)單位長度，所得

4

的圖象關(guān)于y軸對稱，則中的值可能為()

7T五3717r

A.—B.-TTTC.—D.一

242484

【解答】解：f(x)=2y/3sin(^+一*)+sinx=V3sin2(—+-)+sia￥=V3cosx+sinA

=2sin(x+掾)，

若將函數(shù)火X)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的右縱坐標(biāo)不變，可得y=2sin(4x+/)

的圖象，

然后再向左平移<p(q)>0)個(gè)單位長度，可得y=2sin(4x+4(p+|)的圖象，

再根據(jù)所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得4叩+為=內(nèi)1+務(wù)比Z,

可得叩今，&6Z,

7T

令&=0,可得年的值為大.

24

故選：A.

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=2xlnx+x1-ax+3(a>0),若/(x)20恒成立，則a的取值范

圍為()

A.[4,+8)B.(4,+8)C.(0,4)D.(0,4]

【解答】解：函數(shù)f(x)—2xlnx+^-ar+3(a>0),

?：f(x)20恒成立，

3

a^2lnx+x+-=g(x),xG(0,+°°).

0，..X_2,I3_X2+2X-3_(x+3)(x-l)

g(X)—三+1一/一^2—一--，

0<x<l時(shí)，g'(x)<0；x>l時(shí)，g'(x)>0.

可得函數(shù)g(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

Ax=1時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值即最小值，g(1)=4.

；.0<aW4.

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

TT—>T——>—T27r

13.（5分）已知向量a,b滿足|a|=2,\b\=1,且|a+b|=國,則a與b的夾角等于—.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)波與％的夾角為。，

若向=2,值|=1,且日+&=遍，貝lj（a4-h）2=a2+b2+2a*6=5+4cos0=3,

變形可得COS0=—

又由owewm即e=等

TTTTT27T

即a與b的夾角等于與b的夾角等于a與b的夾角等于三~；

故答案為：y.

14.（5分）若圓錐的底面直徑為6,母線長為5,則其內(nèi)切球的表面積為9K.

【解答】解：設(shè)內(nèi)切球的半徑為〃軸截面如圖，

1______1

根據(jù)等面積可得一x6x,5J2-32='x（6+5+5）-，

22

.3

??r=2，

該圓錐內(nèi)切球的表面積為4nx|=9n,

故答案為：9n.

15.（5分）已知圓E的圓心為（a,2）,直線/i：x-y+1=0,fe：x-y-l=O與圓￡分別

交于點(diǎn)A,B與C,D,若四邊形ABC。是正方形，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）2+

（y-2）2=1.

【解答】解：根據(jù)題意，直線八：x-y+l=O,h：x-y-1=0與圓E分別交于點(diǎn)A,B

與C,D,

若四邊形A8CZ）是正方形，則圓心（a,2）在直線x-y=O上，則有。-2=0,即a=2；

平行線x-y+l=O,x-y-1=0之間的距離d=警駕=夜，

正方形的對角線長為遮x遮=2,即圓的半徑r=l；

則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）2+（y-2）2=1；

故答案為：（x-2）2+（k2）2=1.

16.（5分）已知數(shù)列｛m｝滿足“1=4,an+\=2a?,數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為砥=吟，記數(shù)列

Qnainz—9n+36

｛如仇｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若存在正數(shù)公使-----;—對一切於N*恒成立，則2

z

kSnn

的取值范圍為[|，+8).

【解答】解：因?yàn)樗?1=2即，

即皿=2,

an

所以數(shù)列｛即｝為公比為2的等比數(shù)列，又因?yàn)椤╙=4,

nn

所以an=Q〔qT=2+1,

n

所以anbn=2+i?嬰=O+l”2n,neN*,

所以%=2x21+3x22+4x23+-+(n+1)x2n,①

234*7n+1

2Sn=2x2+3x2+4x2+-+(n+1)x2,②

②-①得，f=4+22+23+…+2八一(n+1)?2n+1

=4+I-。二)-(n+1)-2n+1=-n-2n+1,

所以％=n-2"+i.

n2—9n+36浜

因?yàn)椴坏仁阶T1<——--對一切正N*恒成立，

2

kSnn

所以1S"2二9"+36對一切〃￡N*恒成立，

kn

即丁<n+——9對一切恒成立，

kn

236

只需滿足:<(n+--9)〃?如

k.n

因?yàn)閚+當(dāng)-922Jnx^-9=3,

當(dāng)且僅當(dāng)n=當(dāng)時(shí)，即〃=6時(shí)，等號成立，

所以]<3,

k

所以k>,,

7

故二的取值范圍是修,+8).

故答案為：3+00).

三、解答題：共70分.解答題寫出文字說明、證明過程和演算步驟.第17?21題是必考

題，每個(gè)考生都必須作答.第22、23題是選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共

60分.

17.(12分)2022年2月4日，冬奧會在北京與張家口開幕，如圖，四邊形ABCO是主辦

方為運(yùn)動員精心設(shè)計(jì)的休閑區(qū)域的大致形狀，區(qū)域四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，

為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動步道AC,D=2B,AD=4,CD=6,B=*

(1)求氫能源環(huán)保電動步道AC的長：

(2)若BC=4,求花卉種植區(qū)域總面積.

【解答】解(1)因?yàn)锽=D=2B,

所以。=等，

在△AOC中，由余弦定理可知AC?=AD2+DC2-2AD-DCCOSD=42+62-2X4X

6x(-1)=76,

所以4C=2/19.

(2)因?yàn)锽C=4,在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB8CCOSB,

即76=AB2+16-2X4ABcos^,

得AB2-4AB-60=0,

解得AB=10或A8=-6(舍去)，

即AB=10.

因?yàn)?=泉所以sinB=sin,=空,

11F5

所以SMBC=2AB-BCsinB=^xl0x4x^-=10遮，

因?yàn)镈=當(dāng)，

所以=sin^j-=學(xué)，

1-1F5

所以SMDC=2AD-DCsinD=-x4x6x^=6百，

所以花卉種植區(qū)域總面積為S-BC+S^ADC=10V3+6V3=16V3.

18.(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，％_L平面ABC。，底面ABC。是矩形，PA=

AB=a,AD=2,過點(diǎn)8作BE,AC,交AO于點(diǎn)E,點(diǎn)F,G分別為線段P￡>,QC的

中點(diǎn).

(1)證明：AC_L平面BEF；

(2)求三棱錐尸-BGE的體積.

【解答】(1)證明：'：BE±AC,：.ZDAC+ZBEA=

又,/ZDAC+ZDCA=ZDCA=ZBEA,

ADCD

則RtABAE^RtAADC,得一=一,

ABAE

又：斗。：？，AB=CD=y[2,：.AE=l,

則點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，可得E尸〃布,

又：%_L平面ABCQ,ACu平面ABCQ,

：.PALAC,可得EF_L4C,

又EFCBE=E,EF,8Eu平面8EF,

；.AC_L平面BEF；

1萬

(2)解：由(1)可知EF〃以且EF=*PA=竽,

?.?附_L平面ABC￡>,；.E凡L平面ABC。,

7272V2372

,-S4BEG=S矩形ABCD—S&ABE—S&EDG—^ABCG=2V2-

.IZ_1<13^v>/2_1

??yF-BGE=qS.GE,后尸二可XX2=4?

19.(12分)某農(nóng)場主擁有兩個(gè)面積都是200畝的農(nóng)場——“生態(tài)農(nóng)場”與“親子農(nóng)場”,

種植的都是黃桃，黃桃根據(jù)品相和質(zhì)量大小分為優(yōu)級果、一級果、殘次果三個(gè)等級.農(nóng)

場主隨機(jī)抽取了兩個(gè)農(nóng)場的黃桃各100千克，得到如下數(shù)據(jù)“生態(tài)農(nóng)場”優(yōu)級果和一級

果共95千克，兩個(gè)農(nóng)場的殘次果一共20千克，優(yōu)級果數(shù)目如下：“生態(tài)農(nóng)場”20千克,

“親子農(nóng)場”25千克.

（1）根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為殘次果率與農(nóng)場有關(guān)？

（2）種植黃桃的成本為5元/千克，且黃桃價(jià)格如表：

等級優(yōu)級果一級果殘次果

價(jià)格（元/千克）108-0.5（無害化處理費(fèi)用）

①以樣本的頻率作為概率，請分別計(jì)算兩個(gè)農(nóng)場每千克黃桃的平均利潤；

②由于農(nóng)場主精力有限，決定售賣其中的一個(gè)農(nóng)場，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)幫他做出決策.（假

設(shè)兩個(gè)農(nóng)場的產(chǎn)量相同）

參考公式：K2=g+b芯就?短+d），其中〃一+%■+"?

附表：

P（心向）0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

【解答】解：（1）作出2X2列聯(lián)表如下：

農(nóng)場非殘次果殘次果總計(jì)

生態(tài)農(nóng)場955100

親子農(nóng)場8515100

總計(jì)18020200

9

因?yàn)楣?喘9溫\糕（）。5.556>3.841,

所以有95%的把握認(rèn)為黃桃的殘次果率與農(nóng)場有關(guān).

（2）①對于“生態(tài)農(nóng)場”，抽到的產(chǎn)品中盈利為5元的頻率為0.2,盈利為3元的頻率為

0.75,盈利為-5.5元的頻率為0.05,

所以該農(nóng)場每千克黃桃的平均利潤為5X0.2+3X0.75+（-5.5）X0.05=2.975（元）；

對于“親子農(nóng)場”，抽到的產(chǎn)品中盈利為5元的頻率為0.25,盈利為3元的頻率為0.60,

盈利為-5.5元的頻率為0.15,

所以該農(nóng)場每千克黃桃的平均利潤為5X0.25+3X0.6+（-5.5）X0.15=2.225（元）.

②由于兩個(gè)農(nóng)場的產(chǎn)量相同，所以“生態(tài)農(nóng)場”的盈利能力更大，應(yīng)該售賣“親子農(nóng)場”.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)的最小值，并證明：當(dāng)b>0時(shí)，bb>(1)l.(其中e為自然對數(shù)的底

數(shù))

【解答】解：(l)/(x)=x/nx的定義域?yàn)?0,+8),

因?yàn)?(x)=1+/HA-(x>0),

所以f(e)=l+/〃e=2,

又因?yàn)?(e)=elne=e,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程為y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.

(2)令/(X)=1+勿K=0,x>0,

解得X=

111

當(dāng)OVxV"時(shí)，f(x)<0,當(dāng)x>工時(shí)，f(x)>0,所以/(x)在(0,5)上單調(diào)遞減，

在弓，+8)上單調(diào)遞增，

所以/'(X)mE=/(1)=41nH.

證明如下：當(dāng)Q0時(shí)，有/(b)”(x)m譏=Y，

所以b/zib>—

即ma>Zn(i)K

所以a>(j)k

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線3工+4'+5遮=0與圓。：/+/=尸相

X2y2A/Q

切，另外，橢圓C2：/+瓦=l(a>b>0)的離心率為三，過左焦點(diǎn)F\作x軸的垂線

交橢圓于C,。兩點(diǎn).且|C￡)|=1.

(1)求圓Ci的方程與橢圓C2的方程；

(2)經(jīng)過圓Ci上一點(diǎn)P作橢圓C2的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A,B,直線PA,PB分

別與圓。相交于M,N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P),求△OAB的面積的取值范圍.

【解答】解(1)由題可知，圓Ci：/+)?=/的圓心為(0,0),因?yàn)橹本€3x+4y+56=0

與圓Cl：相切,

所以圓Ci的方程為了+)，2=5,

V3

因?yàn)闄E圓C2的離心率為三，

所以"好多

即c=亨。,

因?yàn)閨。。|=號=1,

又因?yàn)閍2=h2+c1,

解得〃=2,b=l,

久2

所以橢圓。2的方程為丁+y2=1.

4

(2)設(shè)點(diǎn)A(xi,y\),B(X2，”)，P(xo?)U).

當(dāng)直線PA的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PA,PB的斜率分別為ki,ki，則直線PA的方程為y

=k\(%-xi)+yi.

由HU；_消去y，得(1+4好)/+8/q(yi-七%)％+4(yi-燈％1)2_4=

0.4=64好(％—k]Xi)2—4(14-4fcf)[4(y1-k]x1y-4].

令△=0,整理得(4-令)好+2%/1歷+1-比=0.

財(cái)^=-沙=舍=需，

4一說4比4yl

所以直線外的方程為y=裝1(x-X。+月.

”1

化簡可得%1%+4yly=4yf+瓷，

即7―+yty=1.

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線以的斜率不存在時(shí)，直線出的方程為冗=2或x=-2,也滿足誓+yp=

1.

同理，可得直線尸3的方程為^+y2y=L

因?yàn)槭▁（）,州）在直線布,PB上,所以用“+yiy（）=1，；o+y2yo=L

所以直線AB的方程為^^+yQy=1.

由伴+y0y=i,

1%24-4y2=4

22

消去y,得(3y02+5)x-8x0x+16-16y0=0.

2

16—16y0

所以匕+x2=3非:5,3yo2+5?

2