16.3 二次根式的運(yùn)算（原卷版）

16.3二次根式的運(yùn)算1.會進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算2.掌握二次根式乘除法運(yùn)算的法則，會進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算3.理解分母有理化的意義,會尋找合適的有理化因式將分母有理化4.掌握二次根式的運(yùn)算順序,會進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算5.通過解簡單的實(shí)際問題以及解一元一次方程和一元一次不等式體會二次根式的運(yùn)用.在學(xué)習(xí)過程中體會類比、化歸的數(shù)學(xué)思想知識點(diǎn)一二次根式的加減運(yùn)算二次根式加減運(yùn)算的步驟一化：將各個二次根式化成最簡二次根式二判：找出同類二次根式三合并：合并同類二次根式根號外的因式相加減,根指數(shù)與根號內(nèi)的被開方數(shù)不變（1）二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式（1）二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式（2）在二次根式的加減運(yùn)算中，化成最簡二次根式后，不是同類二次根式的不能合并，直接保留在結(jié)果中.（3）整式加減運(yùn)算中的運(yùn)算律、去括號法則、添括號法則在二次根式的加減運(yùn)算中仍然適用.即學(xué)即練（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┯?jì)算：12-2二次根式的加減運(yùn)算可類比整式加減中的合并同類項(xiàng),根號外的因式進(jìn)行加減運(yùn)算要加括號.二次根式的加減運(yùn)算可類比整式加減中的合并同類項(xiàng),根號外的因式進(jìn)行加減運(yùn)算要加括號.原式中如果有括號,要先去括號，再用加法的交換律、結(jié)合律將同類二次根式合并.2.二次根式的乘法法則兩個二次根式相乘被開方數(shù)相乘,根指數(shù)不變.符號表示為（1）（1）中已隱舍了的條件,因?yàn)橹挥挟?dāng)都是非負(fù)數(shù)時,才有意義；（2）二次根式相乘的結(jié)果必須化成最簡二次根式；（3）推廣公式：即學(xué)即練（2023春·黑龍江綏化·八年級校考階段練習(xí)）計(jì)算:(1)8×(2)-5知識點(diǎn)三二次根式的除法法則兩個二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.符號表示為（1）（1）中已隱舍了的條件,如果都是負(fù)數(shù)時，雖然有意義，但是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，如果=0，則無意義；（2）推廣公式1：（3）推廣公式2：即學(xué)即練1-4即學(xué)即練2（2023春·北京朝陽·八年級?？计谥校┯?jì)算：248二次根式相除,根號前的系數(shù)除以系數(shù)的商作為商的系數(shù)，被開方數(shù)除以被開方數(shù)的商作為商的被開方數(shù).知識點(diǎn)四分母有理化分母有理化的概念把分母中的根號化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法一般是把分子和分母都乘以同一個適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號.3.有理化因式（1）分母有理化時，分子、分母所乘的代數(shù)式叫做分母的有理化因式，分母有理化的關(guān)鍵是確定分母的有理化因式;（2）兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個含有二次根式的非零代數(shù)式互為有理化因式.常見的互為有理化因式的形式有:常見的互為有理化因式的形式有:與互為有理化因式，與互為有理化因式,與互為有理化因式。即學(xué)即練（2022秋·上海靜安·八年級校考期中）計(jì)算：27知識點(diǎn)五二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算是指二次根式的加、減、乘、除的混合運(yùn)算，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時應(yīng)注意以下幾點(diǎn):（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)運(yùn)算的順序類似，先乘除，再加減，有括號的先算括號里面的;（2）在二次根式的運(yùn)算中，實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和法則仍然適用，如:加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律、去括號法則等都適用;（3）若結(jié)果是二次根式，則必須化為最簡二次根式.即學(xué)即練（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┯?jì)算：75題型一解含二次根式的方程例1（2022秋·上海虹口·八年級上外附中?？茧A段練習(xí)）解方程：2x+2舉一反三1解方程：2-舉一反三2（2022春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）小明在解方程24-x-8-x=2時采用了下面的方法：由(24-x-8-x)(24-x+8-x)=(24-x)2舉一反三3（2022秋·江蘇常州·八年級?？计谥校┬∶髟诮夥匠?4-x-由(24-x-8-x)(24-x+8-x)=(24-x)2-請你學(xué)習(xí)小明的方法，解下面的方程：(1)解方程x2(2)解方程4x題型二解含二次根式的不等式（組）例2（2023秋·上海靜安·八年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谀┎坏仁?x-3x<6的解集是舉一反三1（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┎坏仁?x+2<3x舉一反三2（2022秋·上海虹口·八年級?？计谥校┎坏仁?x-5<3x的解集是題型三利用乘法公式巧解二次根式混合運(yùn)算例3（2023春·河北滄州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知a=7+2，b=7舉一反三1（2023春·安徽六安·八年級校考期中）計(jì)算：(1)318(2)25舉一反三2（2022秋·山東煙臺·八年級?？奸_學(xué)考試）計(jì)算：(1)27(2)5(3)(題型四二次根式之分母有理化例4（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式化簡時，我們會碰上如23，25，2①23=2×3③23類似以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．(1)化簡：36=______，27=______(2)計(jì)算：11+舉一反三1（2023春·安徽銅陵·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列各式：2+13+4+……依據(jù)以上呈現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：1舉一反三2（2023春·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過程．例：化簡12+解：12+請回答下列問題．(1)歸納：請直接寫出下列各式的結(jié)果：①16+5=__________；(2)應(yīng)用：化簡13(3)拓展：13+1+15題型五已知條件式，化簡求值例5（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學(xué)附屬大境初級中學(xué)?？计谥校┮阎猘+b=-4,ab=1,則aab+b舉一反三1（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)校考期中）設(shè)a為3+5-3-5的小數(shù)部分，b為6+33舉一反三2已知a2b=2400,ab2=5760,求題型六已知字母的值，化簡求值例6（2022秋·上海靜安·八年級?？计谥校┗喦笾祒2-2x+1舉一反三1（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┗啿⑶笾担阂阎獂=23-1舉一反三2（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┫然喸偾笾担簒-2xy+yx-y÷1x+2題型七二次根式的比大小問題例7（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習(xí)）比較大?。?665；12-312+3．（填“>”“<舉一反三1（2023春·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期末）比較大小：52+3（填“>”、“<”或“=舉一反三2若a=2020×2022-2020×2021,b=20232-4×2022,c=20212+1，則aA．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a題型八二次根式的探究規(guī)律題例8（2023春·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）觀察下面的運(yùn)算，完成下列各題的解答．(1)判斷下列各式是否成立（成立的畫√，不成立的畫×）；2+23=23+38=34+415=45+524=5(2)根據(jù)（1）判斷的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用含有自然數(shù)n的式子將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并注明n的取值范圍；(3)請說明你所發(fā)現(xiàn)式子的正確性．舉一反三1已知三角形三邊之長能求出三角形的面積嗎？海倫公式告訴你計(jì)算的方法是：S=p(p-a)(p-b)(p-c)，其中S表示三角形的面積，a,b,c分別表示三邊之長，p表示周長之半，即p=我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”與這個公式基本一致，所以這個公式也叫“海倫-秦九韶公式”．請你利用公式解答下列問題．（1）在ΔABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求ΔABC的面積；（2）計(jì)算（1）中ΔABC的BC邊上的高．舉一反三2（2023春·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小華根據(jù)學(xué)習(xí)“二次根式“及”乘法公式“積累的經(jīng)驗(yàn)，通過“由特殊到一般”的方法，探究”當(dāng)a>0、b>0時，ab與a+b的大小關(guān)系下面是小單的深究過程：①具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)a>0、特例1：若a+b=2，則2ab特例2：若a+b=3，則2ab特例3：若a+b=6，則2ab②觀察、歸納，得出猜想：當(dāng)a>0、b>0時，③證明猜想：當(dāng)a>0、∵a-∴a+b≥2ab+a+b≥2ab∴2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，2ab請你利用小華發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題：(1)當(dāng)x＞0時，x+1x的最小值為(2)當(dāng)x＜0時，-x-2x的最小值為(3)當(dāng)x＜0時，求一、單選題1．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┫铝懈魇街惺?ayA．a(chǎn)y+bx B．bx-ay2．（2022秋·上海虹口·八年級校考期中）下列運(yùn)算中，正確的是（

）A．23+42=65C．27÷3=3 3．（2022秋·上海寶山·八年級?？计谥校┬∶髯鳂I(yè)本上有以下四道題：①16a4=4a2；②5a?10a=52A．① B．② C．③ D．④4．（2022秋·上海靜安·八年級?？计谥校┑仁絰2-1=A．x≥1 B．x≥-1 C．x≥1或x≤-1 D5．（2022秋·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）下列等式中，一定成立的是（）A．a(chǎn)2=a B．a(chǎn)2=a C．二、填空題1．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)校考期中）已知a=2-5則a的倒數(shù)為2.（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）計(jì)算：5-xy÷3．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┤魓-1=5，則x-12-44.（2022秋·上海松江·八年級?？计谥校┮阎獂=13+22，則x二、解答題1．（2023秋·上海靜安·八年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谀┯?jì)算：6×（2023秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谀┯?jì)算：(3．（2022秋·上海靜安·八年級校考期中）計(jì)算：24．（2022秋·上海徐匯·八年級上