專題2.5 二次根式的乘除【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題2.5二次根式的乘除【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式乘除法法則成立的條件】 1【題型2二次根式的乘除混合運算】 2【題型3把根號外的因數(shù)（式）移到根號內】 3【題型4判斷最簡二次根式】 3【題型5化為最簡二次根式】 3【題型6根據最簡二次根式的概念求值】 4【題型7分母有理化及其應用】 4【題型8比較二次根式的大小】 5【題型9應用二次根式的乘除運算解決實際問題】 6【題型10二次根式乘除法中的新情境題】 6【知識點1二次根式的乘除法則】①二次根式的乘法法則：a?②積的算術平方根：a?b=③二次根式的除法法則：ab④商的算術平方根：ab【題型1二次根式乘除法法則成立的條件】【例1】（2023·上海閔行·八年級校考期中）如果代數(shù)式2m-1m-4=2m-1m-4，那么m的取值范圍是_____________【變式1-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第六十八中學校考期末）若(x-2)(3-x)=x-2?3-x成立．則A．x≤3 B．x≥2 C．2<x<3 D．2≤x≤3【變式1-2】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）等式x-3x+1=x-3x+1成立的A．B．C． D．【變式1-3】（2023春·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期中）若等式2x2-x3【題型2二次根式的乘除混合運算】【例2】（2023春·八年級上海市進才實驗中學校考期中）計算:（1）345（2）32（3）8【變式2-1】（2023春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）計算(1)-(2)(【變式2-2】（2023春·上海黃浦·八年級上海外國語大學附屬大境初級中學?？计谥校┯嬎悖?12【變式2-3】（2023春·黑龍江雞西·八年級統(tǒng)考期中）（1）計算：2-（2）下面是王鑫同學進行實數(shù)運算的過程，認真閱讀并完成相應的問題：9=92=32=32=92①以上化簡步驟中第一步化簡的依據是：______；②第______步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出錯誤的原因______；③該運算正確結果應是______.【題型3把根號外的因數(shù)（式）移到根號內】【例3】（2023春·全國·八年級專題練習）把2-x1x-2的根號外因式移到根號內得【變式3-1】（2023春·山東·八年級統(tǒng)考期中）若把﹣43根號外的因式移到根號內，得（）A．12 B．﹣12 C．﹣48 D．48【變式3-2】（2023春·江蘇南通·八年級階段練習）把-a-1aA．-a B．-a C．--a D【變式3-3】（2023春·河北唐山·八年級?？计谀┌严铝懈柾獾囊蚴揭频礁杻?(1)a1a(2)xyx-y·x2-(3)ab1a-1b(0<【知識點2最簡二次根式】我們把滿足①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【題型4判斷最簡二次根式】【例4】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）在二次根式①a2+b2②x5

③x2A．①② B．③④ C．①③ D．①④【變式4-1】（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）下列式子中，為最簡二次根式的是()A．12 B．2 C．8 D．【變式4-2】（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如果x-3是最簡二次根式，則x的值可能是（

）A．11 B．13 C．21 D．27【變式4-3】（2023春·安徽銅陵·八年級統(tǒng)考期末）對于二次根式x2+9，以下說法不正確的是（A．它是一個無理數(shù) B．它是一個正數(shù) C．它是最簡二次根式 D．它有最小值為3【題型5化為最簡二次根式】【例5】（2023春·全國·八年級專題練習）下列各組二次根式化成最簡二次根式后的被開方數(shù)完全相同的是(

)A．ab與ab2 B．mnC．m2+n2與m2【變式5-1】（2023春·重慶·八年級統(tǒng)考期末）把2015化成最簡二次根式的結果是_____【變式5-2】（2023春·浙江杭州·八年級期末）設2=a，3=b，用含a,b的代數(shù)式表示0.54，結果為【變式5-3】（2023春·八年級單元測試）把下列根式化成最簡二次根式．（1）5（2）6（3）50（4）n【題型6根據最簡二次根式的概念求值】【例6】（2023春·全國·八年級專題練習）若2m+3和32m-n+1都是最簡二次根式，則m+n＝【變式6-1】（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期中）24化簡后與最簡二次根式5a+1的被開方數(shù)相等，則a=【變式6-2】（2023春·全國·八年級專題練習）若a是正整數(shù)，3a+6是最簡二次根式，則a的最小值為______.【變式6-3】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）我們把形如ax+b（a，b為有理數(shù)，x為最簡二次根式）的數(shù)叫做x型無理數(shù)，如3x+1是x型無理數(shù)，則(2A．2型無理數(shù) B．5型無理數(shù) C．10型無理數(shù) D．20型無理數(shù)【知識點3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根號化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式；②兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．【題型7分母有理化及其應用】【例7】（2023春·四川巴中·八年級校聯(lián)考期中）閱讀下列材料，然后回答問題：在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如23、23+123以上這種化簡過程叫做分母有理化．2323+1=3-13+1=(3)2請任用其中一種方法化簡：①215-3；②【變式7-1】（2023春·甘肅平涼·八年級統(tǒng)考期中）分母有理化:13【變式7-2】（2023春·八年級單元測試）下列各組中互為有理化因式的是（

）A．a+b與-b-aC．2a+3與3-2a【變式7-3】（2023春·河南開封·八年級統(tǒng)考階段練習）【閱讀材料】像5+25-2=1、a?a=aa≥0、b+1b-1=b-1b≥0兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如，【解決問題】（1）填空：7-3的有理化因式為（2）化簡：12-（3）已知正整數(shù)a，b滿足a2-1-b2【題型8比較二次根式的大小】【例8】（2023·全國·八年級專題練習）比較大?。?-3______【變式8-1】（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）若a=2020×2022-2020×2021,b=20232-4×2022,c=20212+1，則aA．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a【變式8-2】（2023春·全國·八年級專題練習）計算：（1）比較15-14和（2）求y=x+1【變式8-3】（2023·全國·八年級專題練習）先觀察解題過程，再解決以下問題：比較3-2與解：(3-23-2=13+（1）比較4-3與（2）試比較n+1-n與【題型9應用二次根式的乘除運算解決實際問題】【例9】（2023春·八年級課時練習）站在豎直高度hm的地方，看見的水平距離是dm，它們近似地符合公式d=8h5.某一登山者登上海拔2000m的山頂，那么他看到的水平距離是________【變式9-1】（2023春·八年級單元測試）站在水平高度為h米的地方看到可見的水平距離為d米，它們近似地符號公式為d=8h5，某一登山者從海拔h米處登上海拔【變式9-2】（2023春·浙江·八年級專題練習）“欲窮千里目，更上一層樓”，說的是登得高看得遠．如圖，若觀測點的高度為h，觀測者視線能達到的最遠距離為d，則d≈2hR，其中R是地球半徑，約等于6400km．小麗站在海邊的一塊巖石上，眼睛離海平面的高度h為0.02km，她觀測到遠處一艘船剛露出海平面，求【變式9-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）已知一個長方體木塊放在在水平的桌面上，木塊的長、寬、高分別是a、b、ca>b>c>0，若木塊對桌面的最大壓強為p1，最小壓強為p2，則p1【題型10二次根式乘除法中的新情境題】【例10】（2023春·八年級課時練習）老師在復習“二次根式”時，在黑板上寫出下面的一道題作為練習：已知7=a，70=b，用含a，b的代數(shù)式表示小豪：4.9=小麥：4.9=因為0.1=110老師看罷，提出下面的問題：(1)兩位同學的解法都正確嗎？(2)請你說明理由．【變式10-1】（2023春·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）請閱讀材料，并解決實際問題：海倫—秦九韶公式：海倫（約公元50年），古希臘幾何學家，在數(shù)學史上以解決幾何測量問題聞名，在他的著作《度量》一書中證明了一個利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式：假設在平面內，有一個三角形的三條邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么這個三角形的面積S=pp-ap-bp-c．這個公式稱海倫公式．秦九韶（約1202—1261），我國南宋時期的數(shù)學家，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式S=14a2b2-a2+b【變式10-2】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）我們知道，二次根式乘除法有如下性質：a?b=(1)舉些例子比較a+b與a+b(a≥0,b≥0)的大小，并提出猜想；(至少舉(2)利用學過的知識證明你的猜想．【變式10-3】（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料