專題21.2 公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系(原卷版)（八大考點）

專題21.2公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程的解法——公式法】 1【考點二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 4【考點三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 6【考點四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】 8【考點五一元二次方程的解法——因式分解法】 12【考點六換元法解一元二次方程】 15【考點七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 18【考點八利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】 20【過關(guān)檢測】 24【典型例題】【考點一一元二次方程的解法——公式法】【例題1】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【變式1-1】（2022秋·青海西寧·九年級?？计谥校┙夥匠蹋海ü椒ǎ咀兪?-2】（2022秋·陜西西安·九年級?？计谥校┙夥匠蹋骸咀兪?-3】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【變式1-4】（2023春·八年級單元測試）解方程(1)；(2)．【考點二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【例題2】（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學(xué)?？既＃┮辉畏匠痰母那闆r是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷【變式2-1】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（）A． B． C． D．【變式2-2】（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）方程根的情況是（

）A．方程有兩個不相等的實數(shù)根 B．方程有兩個相等的實數(shù)根C．方程沒有實數(shù)根 D．無法判斷【變式2-3】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程，下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，方程無實數(shù)解 B．當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)解C．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)解 D．當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)解【考點三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例題3】（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤絷P(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍為________．【變式3-1】（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為______．【變式3-2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是______．【變式3-3】（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤絷P(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，則整數(shù)k的最小值為___________．【考點四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例題4】（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程有一個根小于0，求的取值范圍．【變式4-1】（2023春·浙江衢州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．【變式4-2】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【變式4-3】（2023春·浙江杭州·八年級杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說明理由．(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對角線的長，求矩形對角線的長．【考點五一元二次方程的解法——因式分解法】【例題5】（2023春·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．【變式5-1】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）解方程：．【變式5-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)【變式5-3】（2023春·河北石家莊·八年級石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）解方程(1)；(2)【變式5-4】（2022秋·九年級單元測試）解方程：(1)．(配方法)(2)．(因式分解法)(3)．(公式法)(4)．(因式分解法)【考點六換元法解一元二次方程】【例題6】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）實數(shù)滿足方程，則的值等于（

）A． B． C．或 D．或【變式6-1】（2023秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）若實數(shù)x，y滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或3【變式6-2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若，則______．【變式6-3】（2023春·安徽亳州·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀材料，解答問題.解方程：.解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得：，，或，，．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解決下列問題：(1)解方程；(2)已知，求的值.【考點七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】【例題7】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【變式7-1】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為______．【變式7-2】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）設(shè)一元二次方程的兩根分別是、，計算____________．【變式7-3】（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b滿足，，且，則的值為___．【變式7-4】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知，是方程的兩根，則的值為__________．【考點八利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】【例題8】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根和．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求的值．【變式8-1】（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程有兩個實數(shù)根，且，求k的值．【變式8-2】（2023春·浙江·八年級期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．【變式8-3】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有實數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若方程的兩實數(shù)根分別為，且滿足．求的值．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·福建福州·九年級福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮辉畏匠痰母那闆r為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根2．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）一元二次方程的兩個根是（

）A．， B．， C．， D．，3．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考二模）已知是一元二次方程的兩根，則的值為（

）A． B． C．1 D．24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．20235．（2023春·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)解，求k的取值范圍（）A． B．且 C． D．且6．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）方程的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形是周長是()A． B． C．或 D．或或二、填空題7．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）一元二次方程的解是______．8．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）一元二次方程根的判別式的值為______．9．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若方程的兩根為，，則___________．10．（2023·廣東陽江·統(tǒng)考二模）一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為_________．11．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)m，n為關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，則______.12．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）對于一元二次方程，下列說法：①若，則它有一根為﹣1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若c是方程的一個根，則一定有成立；④若，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；其中正確的______．三、解答題13．（2023春·浙江杭州·八年級杭州市惠興中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．14．（2023春·山東威?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期中）解方程(1)(2)15．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)16．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）根據(jù)要求解下列方程．(1)用配方法解方程：．(2)用公式法解方程．．17．（2023·江蘇泰州·泰州市海軍中學(xué)校考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)試說明：對于任意實數(shù)，該方程總有實數(shù)根；(2)若這個一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范圍．18．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考一模）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．求：(1)求的范圍；(2)設(shè)為方程的兩個根，且，求的值？19．（2023·北