人教版九年級數(shù)學上冊 21.11 一元二次方程解法-因式分解法（知識講解）

專題21.11一元二次方程解法-因式分解法（知識講解）【學習目標】1.正確理解因式分解法的實質，熟練運用因式分解法解一元二次方程；2.通過求根公式的推導，培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性，滲透分類的思想．【要點梳理】知識要點一：因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟

（1）將方程右邊化為0；

（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；

（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；

（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特別說明：（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式；（4）解一元二次方程時如果能用因式分解法進行解題，它是首選。知識要點二：換元法解一元二次方程1、解數(shù)學題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.換元的實質是轉化,關鍵是構造元和設元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化,變得容易處理.2、我們常用的是整體換元法,是在已知或者未知中,某個代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個字母來代替它從而簡化問題,當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程,從而達到降次的目的.【典型例題】類型一、用因式分解法解一元二次方程1．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．解：解得，解得，【點撥】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)．(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】將左邊利用十字相乘法因式分解，繼而可得兩個關于的一元一次方程，分別求解即可得出答案；先移項，再將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個關于的一元一次方程，分別求解即可得出答案．解：，，則或，解得，，所以，原方程的解為，；，則，或，解得，．所以，原方程的解為，．【點撥】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運用一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．【變式2】解方程：(1)x2－x－2＝0；(2)3x(x－2)＝2－x．【答案】(1)x1＝2，x2＝－1(2)x1＝－，x2＝2【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程；(1)解：x2－x－2＝0，(x－2)(x＋1)＝0，x－2＝0或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1．3x(x－2)＝2－x，3x(x－2)＋(x－2)＝0，(3x＋1)(x－2)＝0，3x＋1＝0或x－2＝0，x1＝－，x2＝2．【點撥】本題考查了因式分解法解一元二次方程：將方程的右邊化為零，把方程的左邊分解為兩個一次因式的積，令每個因式分別為零，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．類型二、用換元法解一元二次方程2．請你先認真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：已知，求的值．解：設，則原方程變形為，即∴得t1＝﹣2，t2＝1∴或已知，求的值．【答案】【分析】先換元，再求出t的值，最后求出答案即可．解：設∴即，∴，解得：，（舍去）∴即的值為．【點撥】本題考查了解一元二次方程，能夠正確換元是解此題的關鍵．舉一反三：【變式1】解方程：．【答案】【分析】設，用完全平方公式將方程化為關于y的一元二次方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，即為的值，進而求出x的值，將x的值代入原方程進行檢驗，即可得到原分式方程的解．解：設，則，原方程化成，解這個方程，得，，當y＝1時，=1，即．由，此方程無實根，當y＝－2時，，即，解得：，經檢驗，x＝－1是原分式方程的解，∴原方程的解為x＝－1．【點撥】題目主要考查了換元法解分式方程，關鍵是利用進行轉化，進而設，將原方程轉化為一元二次方程．【變式2】解方程：【答案】，【分析】先設：得到解出y的值，再求解x的值并把結果進行檢驗即可得到答案；解：設

，原方程化為：，運用十字相乘法得到：，解得，當時，解得，當時，解得，經檢驗，和原方程的分母均不為0，故原方程的解為：或；【點撥】本題主要考查了用換元法求解一元二次方程，掌握換元法求解一元二次方程的步驟是解題的關鍵．類型三、因式分解法解一元二次方程的應用3．閱讀例題，解答問題：例：解方程．解：原方程化為．令，原方程化成解得，（不合題意，舍去）．．．∴原方程的解是，請模仿上面的方法解方程：．【答案】，【分析】根據(jù)題意利用換元法解一元二次方程，然后解絕對值方程即可．解：原方程化為．令，原方程化成．解得，（不合題意，舍去）．，．∴原方程的解是，．【點撥】本題主要考查了用換元法和因式分解法解一元二次方程，解絕對值方程，解題的關鍵在于能夠準確根據(jù)題意使用換元法解方程．舉一反三：【變式1】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是（﹣3，0），（0，6），動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點C從點B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動．以CP，CO為鄰邊構造?PCOD，在線段OP延長線上取點E，使PE=AO，設點P運動的時間為t秒．（1）當點C運動到線段OB的中點時，求t的值及點E的坐標；（2）當點C在線段OB上時，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；（3）在線段PE上取點F，使PF=2，過點F作MN⊥PE，截取FM=，F(xiàn)N=1，且點M，N分別在第一、四象限，在運動過程中，當點M，N中，有一點落在四邊形ADEC的邊上時，直接寫出所有滿足條件的t的值．【答案】（1），（，0）；（2）見解析；（3），t2=1.5.【分析】（1）由C是OB的中點求出時間，然后確定OP，即可求出點E的坐標；（2）連接CD，根據(jù)平行四邊形的性質可得：，，在由線段的數(shù)量關系可得：，依據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明；（3）C的坐標是，P的坐標是，則F的坐標是，E的坐標是，D的坐標是，設CE的解析式是，將點坐標代入即可確定函數(shù)解析式，同理可得DE的解析式，然后分兩種情況討論：當M在CE上時，M的坐標是；當N在DE上時，N的坐標是；將M、N兩點坐標分別代入求解即可．（1）解：，則，，則，則E的坐標是；（2）解：連接CD，如圖所示：∵四邊形PCOD是平行四邊形，∴，，∵，∴，即：∴四邊形ADEC是平行四邊形；（3）解：C的坐標是，P的坐標是，則F的坐標是，E的坐標是，D的坐標是．設CE的解析式是，則，解得：，則CE的解析式是，同理DE的解析式是，當M在CE上時，M的坐標是，,則，解得：；當N在DE上時，N的坐標是，則，解得：，綜合可得：，．【點撥】題目主要考查平行四邊形與動點問題，包括平行四邊形的判定和性質，一次函數(shù)解析式的確定，一元二次方程的求解等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．【變式2】某花卉生產基地舉行花卉展覽，如圖所示是用這兩種花卉擺成的圖案，白色圓點為盆景，灰色圓點為盆花．圖1中盆景數(shù)量為2，盆花數(shù)量為2；圖2中盆景數(shù)量為4，盆花數(shù)量為6；圖3中盆景數(shù)量為6，盆花數(shù)量為12……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)圖6中盆景數(shù)量為________，盆花數(shù)量為___________；(2)已知該生產基地展出以上兩種花卉在某種圖案中的數(shù)量之和為130盆，分別求出該圖案中盆景和盆花的數(shù)量；(3)若有n（n為偶數(shù)，且）盆盆景需要展出（只擺一種圖案），照此組合圖案，需要盆花的數(shù)量為________．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】(1)12；42(2)該圖案中盆景和盆花的數(shù)量分別為20和110(3)【分析】（1）由圖可知，依次寫出圖1到圖5的盆景的數(shù)量，盆花的數(shù)量；推導出一般性規(guī)律：圖中盆景的數(shù)量為：；盆花的數(shù)量為：，將代入求解即可；（2）由題意知，，求出滿足要求的值，進而可得盆景，盆花的數(shù)量；（3）根據(jù)推導出的一般性規(guī)律作答即可．(1)解：由圖可知，盆景的數(shù)量依次為：、、、、盆花的數(shù)量依次為：、、、、∴可推導出一般性規(guī)律：圖中盆景的數(shù)