高考數(shù)學大二輪復習 第三編 考前沖刺攻略 第三步 應試技能專訓 一 客觀題專練 文-人教版高三全冊數(shù)學試題

第三步應試技能專訓一、客觀題專練(一)一、選擇題1．設U＝R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x－2)))>0))，B＝{x∈R|0<x<2}，則(?UA)∩B＝()A．(1,2] B．[1,2)C．(1,2) D．[1,2]答案B解析依題意得?UA＝{x|1≤x≤2}，(?UA)∩B＝{x|1≤x<2}＝[1,2)，選B.2．設z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則eq\f(2,z)－eq\x\to(z)＝()A．i B．2－iC．1－i D．0答案D解析因為eq\f(2,z)－eq\x\to(z)＝eq\f(2,1＋i)－1＋i＝eq\f(21－i,1＋i1－i)－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故選D.3．[2016·沈陽監(jiān)測]下列函數(shù)中，在其定義域內是增函數(shù)而且又是奇函數(shù)的是()A．y＝2x B．y＝2|x|C．y＝2x－2－x D．y＝2x＋2－x答案C解析A雖為增函數(shù)卻是非奇非偶函數(shù)，B、D是偶函數(shù)，對于選項C，由奇偶函數(shù)的定義可知是奇函數(shù)，由復合函數(shù)單調性可知在其定義域內是增函數(shù)(或y′＝2xln2＋2－xln2>0)，故選C.4．已知數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則a10等于()A．14 B.eq\f(53,2)C.eq\f(57,2) D．32答案C解析由題意可得aeq\o\al(2,2)＝a1·a5，即(a1＋3)2＝a1(a1＋4×3)，解之得a1＝eq\f(3,2)，故a10＝eq\f(3,2)＋(10－1)×3＝eq\f(57,2)，故選C.5．已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0，,3x－y＋1≥0，,x－y－1≤0，))則z＝2x＋y的最大值為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析畫出可行域得知，當直線y＝z－2x過點(1,0)時，z取得最大值2.6.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝e1－x2B．f(x)＝ex2－1C．f(x)＝ex2－1D．f(x)＝ln(x2－1)答案A解析A中，令f(x)＝eu，u＝1－x2，易知當x<0時，u為增函數(shù)，當x>0時，u為減函數(shù)，所以當x<0時，f(x)為增函數(shù)，當x>0時，f(x)為減函數(shù)，故A可能是；B、C中同理可知，當x<0時，f(x)為減函數(shù)，當x>0時，f(x)為增函數(shù)，故B、C不是；D中，當x＝0時，無意義，故D不是，選A.7．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是()A．f(x)＝eq\f(3,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,6)))B．f(x)＝eq\f(4,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)x＋\f(1,5)))C．f(x)＝eq\f(4,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)x＋\f(π,6)))D．f(x)＝eq\f(4,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(1,5)))答案B解析由圖可以判斷|A|<1，T>2π，則|ω|<1，f(0)>0，f(π)>0，f(2π)<0，只有選項B滿足上述條件．8．已知一個算法的程序框圖如圖所示，當輸出的結果為0時，輸入的x值為()A．－2 B．－2或－1C．1或－3 D．－2或eq\f(1,3)答案D解析當x≤0時，由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－4＝0得x＝－2；當x>0時，由y＝log3x＋1＝0得x＝eq\f(1,3).第三編/第三步應試技能專訓金版教程|大二輪·文數(shù)9.高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,8)答案C解析由側視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱錐，其體積為4.易知直三棱柱的體積為8，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，故選C.10．[2016·貴陽監(jiān)測]已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與函數(shù)y＝eq\r(x)的圖象交于點P，若函數(shù)y＝eq\r(x)的圖象在點P處的切線過雙曲線左焦點F(－2,0)，則雙曲線的離心率是()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\f(3,2)答案B解析設P(x0，eq\r(x0))，因為函數(shù)y＝eq\r(x)的導數(shù)為y′＝eq\f(1,2\r(x))，所以切線的斜率為eq\f(1,2\r(x0)).又切線過雙曲線的左焦點F(－2,0)，所以eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(\r(x0),x0＋2)，解得x0＝2，所以P(2，eq\r(2))．因為點P在雙曲線上，所以eq\f(4,a2)－eq\f(2,b2)＝1①.又c2＝22＝a2＋b2②，聯(lián)立①②解得a＝eq\r(2)或a＝2eq\r(2)(舍)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，故選B.11．[2016·山西四校聯(lián)考]在正三棱錐S－ABC中，M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2eq\r(2)，則正三棱錐S－ABC的外接球的表面積為()A．6π B．12πC．32π D．36π答案B解析如圖，取CB的中點N，連接MN，AN，則MN∥SB.由于AM⊥SB，所以AM⊥MN.由正三棱錐的性質易知SB⊥AC，結合AM⊥SB知SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC.又正三棱錐的三個側面是全等的三角形，所以SA⊥SC，所以正三棱錐S－ABC為正方體的一個角，所以正三棱錐S－ABC的外接球即為正方體的外接球．由AB＝2eq\r(2)，得SA＝SB＝SC＝2，所以正方體的體對角線為2eq\r(3)，所以所求外接球的半徑R＝eq\r(3)，其表面積為4πR2＝12π，故選B.12．[2016·商丘二模]設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，對任意x∈R都有f(x)>f′(x)成立，則()A．3f(ln2)<2f(ln3)B．3f(ln2)＝2f(ln3)C．3f(ln2)>2f(ln3)D．3f(ln2)與2f(ln3)的大小不確定答案C解析構造新函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,ex)，則求導函數(shù)得：g′(x)＝eq\f(f′x－fx,ex)，因為對任意x∈R，都有f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，即g(x)在實數(shù)域上單調遞減，所以g(ln2)>g(ln3)，即eq\f(fln2,eln2)>eq\f(fln3,eln3)，解得3f(ln2)>2f(ln3)，故本題正確答案為C.二、填空題13．若向量a，b滿足：|a|＝1，|b|＝2，(a－b)⊥a，則a，b的夾角是________．答案eq\f(π,3)解析依題意得(a－b)·a＝0，即a2－a·b＝0,1－2cos〈a，b〉＝0，cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)；又〈a，b〉∈[0，π]，因此〈a，b〉＝eq\f(π,3)，即向量a，b的夾角為eq\f(π,3).14．若不等式x2＋y2≤2所表示的平面區(qū)域為M，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥0，,y≥2x－6))表示的平面區(qū)域為N，現(xiàn)隨機向區(qū)域N內拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內的概率為________．答案eq\f(π,24)解析作出不等式組與不等式表示的可行域如圖所示，平面區(qū)域N的面積為eq\f(1,2)×3×(6＋2)＝12，區(qū)域M在區(qū)域N內的面積為eq\f(1,4)π(eq\r(2))2＝eq\f(π,2)，故所求概率P＝eq\f(\f(π,2),12)＝eq\f(π,24).15．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，bcosC＋ccosB＝eq\r(3)R(R為△ABC外接圓半徑)且a＝2，b＋c＝4，則△ABC的面積為________．答案eq\r(3)解析因為bcosC＋ccosB＝eq\r(3)R，得2sinBcosC＋2sinCcosB＝eq\r(3)，sin(B＋C)＝eq\f(\r(3),2)，即sinA＝eq\f(\r(3),2).由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b2＋c2－bc，∴4＝(b＋c)2－3bc，∵b＋c＝4，∴bc＝4，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3).16．存在實數(shù)φ，使得圓面x2＋y2≤4恰好覆蓋函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,k)x＋φ))圖象的最高或最低點共三個，則正數(shù)k的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3)))解析當函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,k)x＋φ))的圖象取到最高或最低點時，eq\f(π,k)x＋φ＝eq\f(π,2)＋nπ(n∈Z)?x＝eq\f(k,2)＋kn－eq\f(k,π)φ(n∈Z)，由圓面x2＋y2≤4覆蓋最高或最低點，可知－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，再令－eq\r(3)≤eq\f(k,2)＋kn－eq\f(k,π)φ≤eq\r(3)，得eq\f(－\r(3),k)＋eq\f(φ,π)－eq\f(1,2)≤n≤eq\f(\r(3),k)＋eq\f(φ,π)－eq\f(1,2)，分析題意可知存在實數(shù)φ，使得不等式eq\f(－\r(3),k)＋eq\f(φ,π)－eq\f(1,2)≤n≤eq\f(\r(3),k)＋eq\f(φ,π)－eq\f(1,2)的整數(shù)解有且只有3個，∴2≤eq\f(\r(3),k)＋eq\f(φ,π)－eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(3),k)＋\f(φ,π)－\f(1,2)))<4?eq\f(\r(3),2)<k≤eq\r(3)，即實數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3))).(二)一、選擇題1．在復平面內，復數(shù)eq\f(2,1－i)＋2i2對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析eq\f(2,1－i)＋2i2＝－1＋i，故選B.2．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，則A∪B＝()A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)B．(2,3]C．(－∞，3]∪(4，＋∞)D．[－2,2)答案A解析因為B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故選A.3．設x，y∈R，則“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的()A．既不充分又不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．充分不必要條件答案D解析當x≥1，y≥1時，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而當x＝－2，y＝－4時，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要條件，故選D.4．據我國西部各省(區(qū)，市)2013年人均地區(qū)生產總值(單位：千元)繪制的頻率分布直方圖如圖所示，則人均地區(qū)生產總值在區(qū)間[28,38)上的頻率是()A．0.3 B．0.4C．0.5 D．0.7答案A解析依題意，由題圖可估計人均地區(qū)生產總值在區(qū)間[28,38)上的頻率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，選A.5.如圖，在三棱錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC答案B解析A中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因為平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B.6．執(zhí)行如下程序框圖，則輸出結果為()A．2 B．3C．4 D．5答案C解析依次執(zhí)行框圖中的語句：n＝1，S＝0，T＝20；T＝10，S＝1，n＝2；T＝5，S＝3，n＝3；T＝eq\f(5,2)，S＝6，n＝4，跳出循環(huán)，輸出的n＝4，故選C.7．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,7)，那么sin2α＋cos2α的值為()A．－eq\f(1,5) B.eq\f(7,5)C．－eq\f(7,5) D.eq\f(3,4)答案A解析由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,7)，知eq\f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq\f(1,7)，∴tan2α＝－eq\f(3,4).∵2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sin2α＝eq\f(3,5)，cos2α＝－eq\f(4,5).∴sin2α＋cos2α＝－eq\f(1,5)，故選A.8．甲、乙兩個幾何體的正視圖和側視圖相同，俯視圖不同，如圖所示，記甲的體積為V甲，乙的體積為V乙，則()A．V甲<V乙 B．V甲＝V乙C．V甲>V乙 D．V甲、V乙大小不能確定答案C解析由三視圖知，甲幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，乙?guī)缀误w是在甲幾何體的基礎上去掉一個角，即去掉一個三個面是直角三角形的三棱錐后得到的一個三棱錐，所以V甲>V乙，故選C.9．[2016·江西南昌調研]設兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的兩個實根，且0≤c≤eq\f(1,8)，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是()A.eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2) B.eq\r(2)，eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)，eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),4)，eq\f(1,4)答案A解析因為a，b是方程x2＋x＋c＝0的兩個實根，所以ab＝c，a＋b＝－1.又直線x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0的距離d＝eq\f(|a－b|,\r(2))，所以d2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－b|,\r(2))))2＝eq\f(a＋b2－4ab,2)＝eq\f(－12－4c,2)＝eq\f(1,2)－2c，因為0≤c≤eq\f(1,8)，所以eq\f(1,2)－2×eq\f(1,8)≤eq\f(1,2)－2c≤eq\f(1,2)－2×0，得eq\f(1,4)≤eq\f(1,2)－2c≤eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)≤d≤eq\f(\r(2),2)，故選A.10．[2016·鄭州質檢]已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a≤1 B．a≥1C．a≤2 D．a≥2答案A解析由題意知f(x)mineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))))≥g(x)min(x∈[2,3])，因為f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故選A.11．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點F(－c,0)關于直線bx＋cy＝0的對稱點P在橢圓上，則橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)答案D解析設焦點F(－c,0)關于直線bx＋cy＝0的對稱點為P(m，n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋c)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))＝－1，,b·\f(m－c,2)＋c·\f(n,2)＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋c)＝\f(c,b)，,bm－bc＋nc＝0，))所以m＝eq\f(b2c－c3,b2＋c2)＝eq\f(a2－2c2c,a2)＝(1－2e2)c，n＝eq\f(c2b＋bc2,b2＋c2)＝eq\f(2bc2,a2)＝2be2.因為點P(m，n)在橢圓上，所以eq\f(1－2e22c2,a2)＋eq\f(4b2e4,b2)＝1，即(1－2e2)2e2＋4e4＝1，即4e6＋e2－1＝0，將各選項代入知e＝eq\f(\r(2),2)符合，故選D.12．[2016·武昌調研]已知函數(shù)f(x)＝sinx－xcosx.現(xiàn)有下列結論：①?x∈[0，π]，f(x)≥0；②若0<x1<x2<π，則eq\f(x1,x2)<eq\f(sinx1,sinx2)；③若a<eq\f(sinx,x)<b，對?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立，則a的最大值為eq\f(2,π)，b的最小值為1.其中正確結論的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析因為f′(x)＝cosx－cosx＋xsinx＝xsinx，當x∈[0，π]時，f′(x)≥0，故f(x)在[0，π]上是增函數(shù)，所以f(x)≥f(0)＝0，所以①正確；令g(x)＝eq\f(sinx,x)，則g′(x)＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，由①知，當x∈(0，π)時，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，π]上是減函數(shù)，所以eq\f(sinx1,x1)>eq\f(sinx2,x2)，即eq\f(x1,x2)<eq\f(sinx1,sinx2)，所以②正確；當x>0時，“eq\f(sinx,x)>a”等價于“sinx－ax>0”，令g(x)＝sinx－cx，則g′(x)＝cosx－c，當c≤0時，g(x)>0對x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立；當c≥1時，因為對?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).g′(x)＝cosx－c<0，所以g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調遞減，從而，g(x)<g(0)＝0對?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立；當0<c<1時，存在唯一的x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))使得g′(x0)＝cosx0－c＝0成立，若x∈(0，x0)時，g(x0)>0，g(x)在(0，x0)上單調遞增，且g(x)>g(0)＝0；若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(π,2)))時，g′(x0)<0，g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(π,2)))上單調遞減，要使g(x)＝sinx－cx>0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上恒成立，必須使geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(π,2)－eq\f(π,2)c＝1－eq\f(π,2)c≥0恒成立，即0<c≤eq\f(2,π).綜上所述，當c≤eq\f(2,π)時，g(x)>0對?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立；當c≥1時，g(x)<0，對?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立，所以若a<eq\f(sinx,x)<b對?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上恒成立，則a的最大值為eq\f(2,π)，b的最小值為1，所以③正確，故選D.二、填空題13．從編號為001,002，…，500的500個產品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本編號從小到大依次為007,032，…，則樣本中最大的編號應該為________．答案482解析由題意可知，系統(tǒng)抽樣的每組元素個數(shù)為32－7＝25個，共20個組，故樣本中最大的編號應該為500－25＋7＝482.14．[2016·遼寧五校聯(lián)考]拋物線x2＝eq\f(1,2)y在第一象限內圖象上一點(ai,2aeq\o\al(2,i))處的切線與x軸交點的橫坐標記為ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，則a2＋a4＋a6等于________．答案42解析令y＝f(x)＝2x2，則切線斜率k＝f′(ai)＝4ai，切線方程為y－2aeq\o\al(2,i)＝4ai(x－ai)，令y＝0得x＝ai＋1＝eq\f(1,2)ai，由a2＝32得a4＝8，a6＝2，所以a2＋a4＋a6＝42.15．已知a，b是正數(shù)，且滿足2<a＋2b<4，那么a2＋b2的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，16))解析作出不等式表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(不包括邊界)，O到直線a＋2b＝2的距離d＝eq\f(2,\r(5))，|OB|＝4，顯然d2<a2＋b2<|OB|2，即eq\f(4,5)<a2＋b2<16.16．[2016·湖南長郡模擬]如圖，在△ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝eq\r(3)，S為△ABC的面積，圓O是△ABC的外接圓，P是圓O上一動點，當S＋eq\r(3)cosBcosC取得最大值時，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．答案eq\r(3)＋eq\f(3,2)解析本題考查余弦定理、正弦定理、平面向量的運算．在△ABC中，由a2＝b2＋c2＋bc得b2＋c2－a2＝－bc，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，則由正弦定理得△ABC的外接圓的半徑為r＝eq\f(1,2)×eq\f(a,sinA)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝1，則b＝2rsinB＝2sinB，c＝2rsinC＝2sinC，所以S＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\f(1,2)bcsinA＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\f(\r(3),4)×2sinB×2sinC＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\r(3)cos(B－C)，則當B＝C＝eq\f(π,6)時，S＋eq\r(3)cosBcosC取得最大值．以O為原點，OA所在的直線為y軸，過O點垂直于OA的直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(0,1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，設P(cosθ，sinθ)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－cosθ，1－sinθ)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)－cosθ，\f(1,2)－sinθ))＝eq\f(\r(3),2)cosθ＋cos2θ＋eq\f(1,2)－eq\f(3,2)sinθ＋sin2θ＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＋eq\f(3,2)，所以當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝1時，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))取得最大值eq\r(3)＋eq\f(3,2).(三)一、選擇題1．設全集U＝R，A＝{x|x(x－2)<0}，B＝{x|1－x>0}，則A∩(?UB)等于()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}答案B解析由題意可得A＝(0,2)，B＝(－∞，1)，則A∩(?UB)＝[1,2)．2．已知實數(shù)a，b滿足(a＋i)(1－i)＝3＋bi，則復數(shù)a＋bi的模為()A.eq\r(2) B．2C.eq\r(5) D．5答案C解析依題意，(a＋i)－(a＋i)i＝3＋bi，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＝3，,1－a＝b，))解得a＝2，b＝－1，所以a＋bi＝2－i，|a＋bi|＝|2－i|＝eq\r(22＋－12)＝eq\r(5)，選C.3．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝x3＋3x2 B．y＝eq\f(ex＋e－x,2)C．y＝xsinx D．y＝log2eq\f(3－x,3＋x)答案D解析依題意，對于選項A，注意到當x＝－1時，y＝2；當x＝1時，y＝4，因此函數(shù)y＝x3＋3x2不是奇函數(shù)．對于選項B，注意到當x＝0時，y＝1≠0，因此函數(shù)y＝eq\f(ex＋e－x,2)不是奇函數(shù)．對于選項C，注意到當x＝－eq\f(π,2)時，y＝eq\f(π,2)；當x＝eq\f(π,2)時，y＝eq\f(π,2)，因此函數(shù)y＝xsinx不是奇函數(shù)．對于選項D，由eq\f(3－x,3＋x)>0得－3<x<3，即函數(shù)y＝log2eq\f(3－x,3＋x)的定義域是(－3,3)，該數(shù)集是關于原點對稱的集合，且log2eq\f(3－－x,3＋－x)＋log2eq\f(3－x,3＋x)＝log21＝0，即有l(wèi)og2eq\f(3－－x,3＋－x)＝－log2eq\f(3－x,3＋x)，因此函數(shù)y＝log2eq\f(3－x,3＋x)是奇函數(shù)．綜上所述，選D.4．設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內的任意一點，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))答案D解析因為M是平行四邊形ABCD對角線AC、BD的交點，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→))，故選D.5．若雙曲線C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1與C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4eq\r(5)，則b＝()A．2 B．4C．6 D．8答案B解析由題意得，eq\f(b,a)＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝4eq\r(5)?c＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5)?b＝4，故選B.6．運行下面的程序，如果輸出的S＝eq\f(2014,2015)，那么判斷框內是()A．k≤2013? B．k≤2014?C．k≥2013? D．k≥2014?答案B解析當判斷框內是k≤n？時，S＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n×n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)，若S＝eq\f(2014,2015)，則n＝2014.7．[2016·鄭州質檢]將函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)具有性質()A．最大值為1，圖象關于直線x＝eq\f(π,2)對稱B．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調遞減，為奇函數(shù)C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)，\f(π,8)))上單調遞增，為偶函數(shù)D．周期為π，圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0))對稱答案B解析由題意得，g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－\f(π,2)))＝sin(2x－π)＝－sin2x，對于A，最大值為1正確，而geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，圖象不關于直線x＝eq\f(π,2)對稱，故A錯誤；對于B，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，滿足單調遞減，顯然g(x)也是奇函數(shù)，故B正確；C顯然錯誤；對于D，周期T＝eq\f(2π,2)＝π，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝－eq\f(\r(2),2)，故圖象不關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0))對稱，故選B.8．[2016·重慶測試]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(3\r(3),2) B．2eq\r(3)C.eq\f(5\r(3),2) D．3eq\r(3)答案C解析依題意，如圖所示，題中的幾何體是從正三棱柱ABC－A1B1C1中截去一個三棱錐B－A1B1E(其中點E是B1C1的中點)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC－A1B1C1的底面是一個邊長為2的正三角形、高為3，因此該幾何體的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22))×3－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(3),4)×22))×3＝eq\f(5\r(3),2)，選C.9．[2016·福建質檢]若橢圓上存在三點，使得這三點與橢圓中心恰好是一個正方形的四個頂點，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(6),3)答案D解析設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，根據橢圓與正方形的對稱性，可畫出滿足題意的圖象，如圖所示，因為|OB|＝a，所以|OA|＝eq\f(\r(2),2)a，所以點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)))，又點A在橢圓上，所以eq\f(a2,4a2)＋eq\f(a2,4b2)＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，故選D.10．[2016·河南八市質檢]已知a>0，x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3，))若z＝3x＋2y的最小值為1，則a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．1答案B解析根據約束條件畫出可行域，將z＝3x＋2y的最小值轉化為在y軸上的截距，當直線z＝3x＋2y經過點B時，z最小，又B點坐標為(1，－2a)，代入3x＋2y＝1，得3－4a＝1，得a＝eq\f(1,2)，故選B.11．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝eq\r(3)a，C＝eq\f(π,6)，S△ABC＝eq\r(3)sin2A，則S△ABC＝()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．2答案A解析解法一：由b＝eq\r(3)a，C＝eq\f(π,6)，得S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)a·eq\r(3)a·eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4)a2，又S△ABC＝eq\r(3)sin2A，則eq\f(a2,4)＝sin2A，故eq\f(a,2)＝sinA，即eq\f(a,sinA)＝2，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(c,sinC)＝2，所以c＝2sinC＝1，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得a2＋3a2－1＝2·a·eq\r(3)a·eq\f(\r(3),2)，整理得4a2－1＝3a2，a2＝1，所以a＝1，故S△ABC＝eq\f(\r(3),4).解法二：由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得a2＋(eq\r(3)a)2－c2＝2a·eq\r(3)a·coseq\f(π,6)，即a2＝c2，故a＝c，從而有A＝C＝eq\f(π,6)，所以S△ABC＝eq\r(3)sin2A＝eq\r(3)×sin2eq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),4)，故選A.12．若P為曲線y＝lnx上一動點，Q為直線y＝x＋1上一動點，則|PQ|min等于()A．0 B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2答案C解析如圖所示，直線l與y＝lnx相切且與y＝x＋1平行時，切點P到直線y＝x＋1的距離|PQ|即為所求最小值．(lnx)′＝eq\f(1,x)，令eq\f(1,x)＝1，得x＝1.故P(1,0)．故|PQ|min＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).二、填空題13．[2015·廣東高考]已知樣本數(shù)據x1，x2，…，xn的均值eq\x\to(x)＝5，則樣本數(shù)據2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值為________．答案11解析由條件知eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，則所求均值eq\x\to(x)0＝eq\f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq\f(2x1＋x2＋…＋xn＋n,n)＝2eq\x\to(x)＋1＝2×5＋1＝11.14．已知{an}為等差數(shù)列，公差為1，且a5是a3與a11的等比中項，Sn是{an}的前n項和，則S12的值為________．答案54解析由題意得，aeq\o\al(2,5)＝a3a11，即(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋10)，a1＝－1，∴S12＝12×(－1)＋eq\f(12×11,2)×1＝54.15．設函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，f(3)＝0，且g(x)＝f(x＋1)為偶函數(shù)，則不等式g(2－2x)<0的解集為________．答案(0,2)解析依題意得f(－x＋1)＝f(x＋1)，因此f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．又f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，因此f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)．又g(x)＝f(x＋1)為偶函數(shù)，因此g(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，在(－∞，0]上為減函數(shù)，且g(2)＝f(2＋1)＝f(3)＝0，g(－2)＝0，不等式g(2－2x)<0，即g(|2－2x|)<g(2)，所以|2－2x|<2，－2<2－2x<2，0<x<2，所以不等式g(2－2x)<0的解集是(0,2)．16．[2016·陜西質檢]已知曲線y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線為l，若l與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.答案8解析本題考查導數(shù)的幾何意義、數(shù)形結合思想的應用．函數(shù)f(x)＝x＋lnx的導函數(shù)為f′(x)＝1＋eq\f(1,x)，則f′(1)＝1＋eq\f(1,1)＝2，所以切線l的方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，因為直線l與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以方程ax2＋(a＋2)x＋1＝2x－1，即ax2＋ax＋2＝0有兩個相等的實數(shù)根，顯然a≠0，則Δ＝a2－4×2a＝0，解得a＝8.(四)一、選擇題1．已知(eq\x\to(z)－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)是z的共軛復數(shù))，則z的虛部為()A．1 B．－1C．i D．－i答案A解析因為eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,2－i)＋1－3i＝eq\f(4＋3i2＋i,2－i2＋i)＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，所以z＝2＋i，z的虛部為1，故選A.2．若集合A＝{x|(x＋1)(3－x)>0}，集合B＝{x|1－x>0}，則A∩B等于()A．(1,3) B．(－∞，－1)C．(－1,3) D．(－1,1)答案D解析∵A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．3.一次數(shù)學考試后，某老師從自己所帶的兩個班級中各抽取5人，記錄他們的考試成績，得到如圖所示的莖葉圖．已知甲班5名同學成績的平均數(shù)為81，乙班5名同學成績的中位數(shù)為73，則x－y的值為()A．2 B．－2C．3 D．－3答案D解析由題意得，eq\f(72＋77＋80＋x＋86＋90,5)＝81?x＝0，易知y＝3，∴x－y＝－3，故選D.4．已知l，m，n為不同的直線，α，β，γ為不同的平面，則下列判斷正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，則m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，則l⊥α答案C解析A項，m，n可能的位置關系為平行，相交，異面，故A錯誤；B項，根據面面垂直與線面平行的性質可知B錯誤；C項，根據線面平行的性質可知C正確；D項，若m∥n，根據線面垂直的判定可知D錯誤，故選C.5．△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若cosA＝eq\f(7,8)，c－a＝2，b＝3，，則a＝()A．2 B.eq\f(5,2)C．3 D.eq\f(7,2)答案A解析由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA?a2＝9＋(a＋2)2－2×3×(a＋2)×eq\f(7,8)?a＝2，故選A.6．[2016·東北三省聯(lián)考]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是線段CD的中點，則三棱錐P－A1B1A的側視圖為()答案D解析如圖，畫出原正方體的側視圖，顯然對于三棱錐P－A1B1A，B(C)點均消失了，其余各點均在，從而其側視圖為D.7．[2016·合肥質檢]執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的n的值為()A．10 B．11C．1024 D．2048答案C解析該程序框圖共運行10次，S＝1＋2＋22＋…＋210＝2047，輸出的n＝210＝1024，選項C正確．8．[2016·河南六市一聯(lián)]實數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy≥0，,|x＋y|≤1，))使z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個，則z1＝ax＋y＋1的最小值為()A．0 B．－2C．1 D．－1答案A解析畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，∵z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個，∴－a＝1，a＝－1，∴當x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1時，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，∴ax＋y＋1的最小值是0，故選A.9．已知a，b都是實數(shù)，命題p：a＋b＝2；命題q：直線x＋y＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，則p是q的()A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析由直線x＋y＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，得eq\f(|a＋b|,\r(2))＝eq\r(2)，即a＋b＝±2，∴p是q的充分但不必要條件．10．[2016·山西質檢]若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象關于直線x＝eq\f(π,12)對稱，且當x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，x1≠x2時，f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．1答案C解析由題意得，2×eq\f(π,12)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴φ＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴k＝0，φ＝eq\f(π,3)，又x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，∴2x1＋eq\f(π,3)，2x2＋eq\f(π,3)∈(0，π)，∴eq\f(2x1＋\f(π,3)＋2x2＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,2)，解得x1＋x2＝eq\f(π,6)，∴f(x1＋x2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，故選C.11．[2016·云南統(tǒng)檢]已知雙曲線M的焦點F1、F2在x軸上，直線eq\r(7)x＋3y＝0是雙曲線M的一條漸近線，點P在雙曲線M上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，如果拋物線y2＝16x的準線經過雙曲線M的一個焦點，那么|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝()A．21 B．14C．7 D．0答案B解析設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵直線eq\r(7)x＋3y＝0是雙曲線M的一條漸近線，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(7),3)①，又拋物線的準線為x＝－4，∴c＝4②，又a2＋b2＝c2③，∴由①②③得a＝3.設點P為雙曲線右支上一點，∴由雙曲線定義得||eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))||＝6④，又eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴在Rt△PF1F2中|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝82⑤，聯(lián)立④⑤，解得|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝14.12．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零點依次為a，b，c，則()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c答案A解析