高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系增分練-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎(chǔ)達標(biāo)]1．[2018·福建漳州八校聯(lián)考]已知點P(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)的一點，直線m是以P為中點的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么()A．m∥l，且l與圓相交B．m⊥l，且l與圓相切C．m∥l，且l與圓相離D．m⊥l，且l與圓相離答案C解析∵點P(a，b)(ab≠0)在圓內(nèi)，∴a2＋b2<r2.因圓x2＋y2＝r2的圓心為O(0,0)，故由題意得OP⊥m，又kOP＝eq\f(b,a)，∴km＝－eq\f(a,b)，∵直線l的斜率為kl＝－eq\f(a,b)＝km，圓心O到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>eq\f(r2,r)＝r，∴m∥l，l與圓相離．故選C.2．已知過點P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a等于()A．－eq\f(1,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)答案C解析圓心為C(1,0)，由于P(2,2)在圓(x－1)2＋y2＝5上，∴P為切點，CP與過點P的切線垂直．∴kCP＝eq\f(2－0,2－1)＝2.又過點P的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，∴a＝kCP＝2，選C.3．[2018·湖北武漢調(diào)研]圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為()A．1B．2C．4D．8答案B解析圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線的方程為x－y＋2＝0，它與兩坐標(biāo)軸分別交于(－2,0)，(0,2)，所以直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為eq\f(1,2)×2×2＝2.故選B.4．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8答案B解析由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圓心為(－1,1)，半徑r＝eq\r(2－a).圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2，得2－a＝2＋4，所以a＝－4.5．[2018·安徽模擬]若過點P(－eq\r(3)，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))答案D解析設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x＋eq\r(3))，即kx－y＋eq\r(3)k－1＝0.由d＝eq\f(|\r(3)k－1|,\r(k2＋1))≤1,得0≤k≤eq\r(3)，所以直線l的傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).6．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切線有()A．1條B．2條C．3條D．4條答案D解析圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圓心C1(－1，－1)，半徑r1＝2；圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C2(2,1)，半徑r2＝1.∴兩圓心的距離d＝eq\r(－1－22＋－1－12)＝eq\r(13)，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴兩圓外離，∴兩圓有4條公切線．7．由直線y＝x＋1上的一點向圓x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長的最小值為()A.eq\r(7)B．2eq\r(2)C．3D.eq\r(2)答案A解析如圖，在Rt△PAB中，要使切線PB最小，只需圓心與直線y＝x＋1上的點的距離取得相應(yīng)最小值即可，易知其最小值為圓心到直線的距離，即|AP|min＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，故|BP|min＝eq\r(2\r(2)2－12)＝eq\r(7).8．[2018·太原質(zhì)檢]過點A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于B(2,1)，則圓C的方程為________．答案(x－3)2＋y2＝2解析設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意知：點(a，b)既在直線y－1＝－(x－2)上，又在AB的垂直平分線上，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x－3＝0，))得圓心坐標(biāo)為(3,0)，r＝|AC|＝eq\r(4－32＋12)＝eq\r(2)，所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2.9．[2016·全國卷Ⅰ]設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，則圓C的面積為________．答案4π解析圓C的方程可化為x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圓心的坐標(biāo)為C(0，a)，半徑r＝eq\r(a2＋2)，所以圓心到直線x－y＋2a＝0的距離為eq\f(|－a＋2a|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＋(eq\r(3))2＝(eq\r(a2＋2))2，解得a2＝2，所以圓C的半徑為2，所以圓C的面積為4π.10．[2018·沈陽質(zhì)檢]過點M(1,2)的直線l與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B兩點，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時，直線l的方程是________．答案x＋y－3＝0解析依題意得知，當(dāng)∠ACB最小時，圓心C到直線l的距離達到最大，此時直線l與直線CM垂直，又直線CM的斜率為1，因此所求的直線l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.[B級知能提升]1．已知圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t,0)，(t>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]答案D解析由題意可知，若使圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，即圓C與以原點O為圓心，半徑為t的圓有交點，即|OC|－1≤t≤|OC|＋1，即1≤t≤3，∴t的取值范圍為[1,3]，故選D.2．[2017·河南洛陽二模]已知圓C的方程為x2＋y2＝1，直線l的方程為x＋y＝2，過圓C上任意一點P作與l夾角為45°的直線交l于點A，則|PA|的最小值為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\r(2)－1D．2－eq\r(2)答案D解析解法一：由題意可知，直線PA與坐標(biāo)軸平行或重合，不妨設(shè)直線PA與y軸平行或重合，設(shè)P(cosα，sinα)，則A(cosα，2－cosα)，∴|PA|＝|2－cosα－sinα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))，∴|PA|的最小值為2－eq\r(2).故選D.解法二：由題意可知圓心(0,0)到直線x＋y＝2的距離d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，∴圓C上一點到直線x＋y＝2的距離的最小值為eq\r(2)－1.由題意可得|PA|min＝eq\r(2)(eq\r(2)－1)＝2－eq\r(2).故選D.3．[2017·江蘇高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2＋y2＝50上．若eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))≤20，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．答案[－5eq\r(2)，1]解析解法一：因為點P在圓O：x2＋y2＝50上，所以設(shè)P點坐標(biāo)為(x，±eq\r(50－x2))(－5eq\r(2)≤x≤5eq\r(2))．因為A(－12,0)，B(0,6)，所以eq\o(PA,\s\up16(→))＝(－12－x，－eq\r(50－x2))或eq\o(PA,\s\up16(→))＝(－12－x，eq\r(50－x2))，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(－x，6－eq\r(50－x2))或eq\o(PB,\s\up16(→))＝(－x,6＋eq\r(50－x2))．因為eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))≤20，先取P(x,eq\r(50－x2))進行計算，所以(－12－x)(－x)＋(－eq\r(50－x2))(6－eq\r(50－x2))≤20，即2x＋5≤eq\r(50－x2).當(dāng)2x＋5≤0，即x≤－eq\f(5,2)時，上式恒成立；當(dāng)2x＋5≥0，即x≥－eq\f(5,2)時，(2x＋5)2≤50－x2，解得－5≤x≤1，故x≤1.同理可得P(x，－eq\r(50－x2))時，x≤－5.又－5eq\r(2)≤x≤5eq\r(2)，所以－5eq\r(2)≤x≤1.故點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5eq\r(2)，1]．解法二：設(shè)P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up16(→))＝(－12－x，－y)，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(－x，6－y)．∵eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))≤20，∴(－12－x)·(－x)＋(－y)(6－y)≤20，即2x－y＋5≤0.如圖，作圓O：x2＋y2＝50，直線2x－y＋5＝0與⊙O交于E，F(xiàn)兩點，∵P在圓O上且滿足2x－y＋5≤0，∴點P在eq\o\ac(EDF,\s\up17(︵))上．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝50，,2x－y＋5＝0))得F點的橫坐標(biāo)為1.又D點的橫坐標(biāo)為－5eq\r(2)，∴P點的橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5eq\r(2)，1]．4．[2017·全國卷Ⅲ]已知拋物線C：y2＝2x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．(1)證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．解(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,y2＝2x))可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4.又x1＝eq\f(y\o\al(2,1),2)，x2＝eq\f(y\o\al(2,2),2)，故x1x2＝eq\f(y1y22,4)＝4.因此OA的斜率與OB的斜率之積為eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(－4,4)＝－1，所以O(shè)A⊥OB.故坐標(biāo)原點O在圓M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)，圓M的半徑r＝eq\r(m2＋22＋m2).由于圓M過點P(4，－2)，因此eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BP,\s\up16(→))＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).當(dāng)m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為eq\r(10)，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.當(dāng)m＝－eq\f(1,2)時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，－\f(1,2)))，圓M的半徑為eq\f(\r(85),4)，圓M的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＝eq\f(85,16).5．[2015·全國卷Ⅰ]已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．(1)求k的取值范圍；(2)若eq\o(OM,\s\up16(→))·eq\o(ON,\s\up16(→))＝12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|.解(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1.因為l與C交于兩點，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3)，所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)