初中數(shù)學(xué)概念PCK內(nèi)涵解析與實(shí)施方法論文

度，將概念分成3類(對象性概念、度量性概念、觀念性概念),其中的對象性概念的獲得(揭示概念本質(zhì)屬性的過程);三是概念的鞏固與運(yùn)用(了解概念的運(yùn)有兩種基本形式---概念的同化和概念的形成(具體見圖1、圖2)。經(jīng)過十多年的新課程改革實(shí)驗(yàn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》倡導(dǎo)的教學(xué)理念已經(jīng)逐步轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為，在概念教學(xué)中，教概念形成的過程，很少出現(xiàn)“一個定義、幾項(xiàng)注意”的概念教學(xué)方式。但是，在“引導(dǎo)學(xué)生探究概念本質(zhì)屬性”的過程中，卻屢屢出現(xiàn)對本質(zhì)屬性理解不準(zhǔn)確的問題。尤其是，初中數(shù)學(xué)教材中很多概念的定義是用“形式化定義”或“發(fā)生式定義”方式給出的，其定義并沒有揭示了概念的本質(zhì)屬性。在這些概念的教學(xué)中，教師就更容易出現(xiàn)將“形式化定義”作為概念本質(zhì)屬性的現(xiàn)象，在課堂上反復(fù)進(jìn)行針對定義的辨析，而忽略引導(dǎo)學(xué)生體會概念所蘊(yùn)含的豐富的問題情境、思想方法，使概念教學(xué)缺少了應(yīng)有的教育價(jià)值。這樣，既不能使學(xué)生深刻理解概念，也不能通過概念教學(xué)的過程發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。例如，在“方程概念”的教學(xué)中，有些教師認(rèn)為“方程”概念的本質(zhì)屬性是“含有未知數(shù)的等式”,由此可見，在課堂上讓學(xué)生大量進(jìn)行“判定下列各式是不是方程”的訓(xùn)練，使方程概念的教學(xué)成為辨析形式化定義的刻板過程，不能體現(xiàn)方程概念的教育價(jià)值。其實(shí)“方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”,其本質(zhì)是：建立已知、未知之間的聯(lián)系，并借助已知求量求出未知量，繼而解決問題“.在方程概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷”用方程刻畫不同情境中的等量關(guān)系的過程“,抽象出”本質(zhì)屬性“,并體會”方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要模型“這一思想，以發(fā)展學(xué)生的抽象思維和模型思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科(二)進(jìn)行初中數(shù)學(xué)概念PCK內(nèi)涵解析可以有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。正確理解概念的本質(zhì)特征是教師進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的必要前提，是通過概念教學(xué)發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)、體現(xiàn)概念教育價(jià)值的保證。那么,在概念教學(xué)中怎樣才能避免出現(xiàn)以上問題，從而體現(xiàn)概念教學(xué)的價(jià)值呢?如二次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，有利于發(fā)展學(xué)生”數(shù)學(xué)抽象“的核心素養(yǎng)，發(fā)展符號意識。抽象是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征之一，也是數(shù)學(xué)最基本的思想之一。在二次函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，學(xué)生將經(jīng)歷從豐富的實(shí)際問題中建立出函數(shù)關(guān)系式，然后分析所得到的函數(shù)關(guān)系的特點(diǎn)，抽象出共性特征，從而建立二次函數(shù)的概念。在這個過程中，學(xué)生最主要的思維活動就是”抽象“,因此，合理設(shè)計(jì)二次函數(shù)概念的教學(xué)將有利于發(fā)展學(xué)生”數(shù)學(xué)抽象“的核心素養(yǎng)，同時(shí)在建立二次函數(shù)一般形式的過程中發(fā)展學(xué)再如，二次函數(shù)概念的教學(xué)，有利于發(fā)展學(xué)生”數(shù)學(xué)建?！暗暮诵乃仞B(yǎng)，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。二次函數(shù)在軍事、體育、物理、心理、建筑等現(xiàn)實(shí)世界中都有廣泛應(yīng)用，是一種重要的”數(shù)學(xué)模型“.在二次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要分析不同情境中變量關(guān)系與變化規(guī)律，建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，這個過程就是”建?！?二次函數(shù)概念教學(xué)這一重要概念的教育價(jià)值還體現(xiàn)在”過程與方法“層面。對于學(xué)生而言，獲得二次函數(shù)概念的過程是”從特殊到一般再到特殊“的認(rèn)識事物的過程，而二次函數(shù)所刻畫的問題的復(fù)雜性，更實(shí)現(xiàn)了學(xué)生研究函數(shù)問題經(jīng)驗(yàn)與方法教概念的本質(zhì)，了解這一概念與其他內(nèi)容的聯(lián)系，獲得概念教學(xué)目標(biāo)中的知識技能目標(biāo)。能夠幫助教師理解數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、使學(xué)生在學(xué)習(xí)該知識的過由美國的舒爾曼教授最先提出，將其定義為”特定教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)法的整合與轉(zhuǎn)換，是教師獨(dú)特的知識領(lǐng)域，是他們專業(yè)理解的特殊形式“.通俗地說，就是”使人易于懂得該學(xué)科內(nèi)容的表達(dá)和闡述方式“.是教師關(guān)于一門學(xué)科教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念---關(guān)于學(xué)科性質(zhì)的知識、關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)哪些重要內(nèi)容的知識或觀念；二是關(guān)于學(xué)生對某一課題理解和誤解的知識；三是關(guān)于課程和教材的知識，它主要指關(guān)于教材和其他可用于特定主題教學(xué)的各種教學(xué)媒體和材料的知識，還包括學(xué)科內(nèi)容與其他知識之間的橫向和縱向聯(lián)系的結(jié)構(gòu)的知析概念與其他概念的聯(lián)系；三是解析學(xué)生學(xué)習(xí)概念的經(jīng)驗(yàn)與困惑；在三項(xiàng)解析的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)概念教學(xué)的策略，概念教學(xué)解析的作用在于，解析對確定教學(xué)目標(biāo)、設(shè)計(jì)教學(xué)策略有決定性的作用，解析準(zhǔn)確透徹，目標(biāo)會具體明確，策略也就具有針對首先，要解析數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，即要指出”概念的內(nèi)涵(本質(zhì)屬性)、外延、定義、數(shù)學(xué)符號表示(圖形)、概念的作用“;這項(xiàng)分析能夠使教師明確概念對應(yīng)的”知識技能教學(xué)目標(biāo)“.其次，要解析概念的`教育價(jià)值，即要指出”概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、獲得概念的過程中能夠發(fā)展的數(shù)學(xué)能力、形成的學(xué)科觀念、發(fā)展的學(xué)科基本素養(yǎng)；這項(xiàng)分析能夠使教師獲得本概念對應(yīng)的“過程性教學(xué)目標(biāo)”.再次，要明確《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對此概念的要求，分解出課程標(biāo)準(zhǔn)要求的概念的各要素及其應(yīng)達(dá)到的水平，然后寫出概念教學(xué)的三維教學(xué)目標(biāo)。解析概念的本質(zhì)屬性和教育價(jià)值，決定了本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的確定，實(shí)質(zhì)上，也就地，若兩個變量x、y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成y=式，則稱y是x的反比例函數(shù)”.顯然，定義是對其函數(shù)關(guān)系式的一般特征的描述，只是反比例函數(shù)概念描述的兩個變量變化規(guī)律：在變化的過程中，兩個變量x,y的乘積一定，即xy=k.正因?yàn)槠鋬蓚€變量乘積一定的本質(zhì)，才使得其具有的變量關(guān)系的函數(shù)是反比例函數(shù)。其數(shù)學(xué)符號表示可以有三種形式：表達(dá)式、圖象和表格；其作用是：分析現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型后，利用反比例函數(shù)的表達(dá)式和圖象、性質(zhì)可以解決相應(yīng)反比例函數(shù)概念的教育價(jià)值是要抽象出反比例函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，其教學(xué)的中的變量關(guān)系，從表達(dá)式的共同特征獲得y=kx的形式特征；二是用表格表示各個情境中的變量關(guān)系，讓學(xué)生體會變量之間乘積一定的相依變化關(guān)系。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)注意發(fā)展學(xué)生的分析能力和符號意識；同時(shí)，要對不同情境下的變量關(guān)系(表格和表達(dá)式)進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納。反比例函數(shù)是一個觀念性概念，建立概念的過程，也是讓學(xué)生形成觀念的過程，即在研究問題中分析出具有兩個變量乘積一定的規(guī)律時(shí)，就能夠有建立反比例函數(shù)模型的意識和觀念，并借此《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對反比例函數(shù)概念的要求是：“結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式”.這一要求與概念內(nèi)涵解析的結(jié)果具有一致性：反比例函數(shù)的意義即概念的本質(zhì)，包括表達(dá)式和變化規(guī)律；要求在“具體情境中體會”就要有抽象本質(zhì)、建立模型的過程，確定反比例函數(shù)的表達(dá)式則是在理解概念基礎(chǔ)上的技能。基于上述分析，可以確定反比例函數(shù)概念的教學(xué)目標(biāo)是：經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象反比例函數(shù)概念的過程，體會反比例函數(shù)所描述的變化規(guī)律，能說出反比例函數(shù)的定義并能確定其表達(dá)式；在抽象反比例函數(shù)概念的過程中，發(fā)展符號意識、推理能力和抽象思維，體會數(shù)學(xué)建模的必要性。反比例函數(shù)概念教學(xué)的主干思路是提供問題情境，讓學(xué)生用表達(dá)式和表格兩種形式表示其中的變量關(guān)系---對兩種形式表示的變量關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，歸納其共同特征，抽象概念的本質(zhì)(表達(dá)式和乘積一定的變化規(guī)律),得到其形式化定義，明晰概念---進(jìn)行概念辨析、舉出概念的正例和反例---反比例函數(shù)概念的教學(xué)策略是：設(shè)置三個貼近學(xué)生生源的問題情境，并讓學(xué)生分析這些問題情境。讓學(xué)生用表格表示問題情境中的變量關(guān)系，然后回答以下問(1)兩個變量的關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系?(2)當(dāng)自變量均值變化時(shí)，因變量是否呈現(xiàn)均值變化的規(guī)律?因變量隨自變(3)用表達(dá)式表示兩個變量的關(guān)系。之后，教師要幫助學(xué)生抽象概念的本質(zhì)(1)以上三個問題情境中，變量的變化規(guī)律有什么特征?(2)它們的表達(dá)式在形式上有什么共同特征?在這個過程中，學(xué)生在問題的引導(dǎo)下經(jīng)歷“問題情境-建立模型-解釋、應(yīng)用”的過程，發(fā)展抽象思維與推理能力，體會模型思想。概念體系結(jié)構(gòu)圖；二是要分析此概念與其他概念間的橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系及其研究方法之間的關(guān)系。這一分析過程，為設(shè)計(jì)教學(xué)策略提供重要的依據(jù)，尤其是在“引入”概念這個環(huán)節(jié)中，分析能夠讓學(xué)生體會研究新概念的必要性，并獲得研究思橫向聯(lián)系：因式分解是將多項(xiàng)式化成整式的乘積形式，是研究分式的化簡、運(yùn)算的工具，在分式的通分、約分中，常常需要把分子、分母中的多項(xiàng)式化成乘積形縱向聯(lián)系：從小學(xué)階段的分解質(zhì)因數(shù)到初中階段的分解因式。小學(xué)學(xué)過的分解質(zhì)因數(shù)與初中的分解因式具有類似的作用，前者是為了研究分?jǐn)?shù)的通分、約分，需要把一個整數(shù)化成幾個因數(shù)的乘積形式；而后者是為了研究分式的通分、約分，需要把一個整式化成積的形式，反映出從“數(shù)”到“式”的發(fā)展過程。根據(jù)上述分析，在引入“因數(shù)分解”的概念時(shí)，可以采用從“數(shù)”到“式”的類比，指出引入“因式分解”的概念的必要性，促進(jìn)概念的形成。教師要突破概念學(xué)習(xí)的難點(diǎn)解析學(xué)生學(xué)習(xí)概念的經(jīng)驗(yàn)與困惑時(shí)，這個解析越具體、越有價(jià)值。具體的分析能夠“突破難點(diǎn)”具有很強(qiáng)的針對性，有利于促進(jìn)目標(biāo)例如：學(xué)習(xí)反比例函數(shù)概念的經(jīng)驗(yàn)與困惑分析。經(jīng)驗(yàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)“變量之間的關(guān)系”時(shí)，通過大量實(shí)例體會變量之間的關(guān)系，并會用表格、圖象、表達(dá)式表示變量間的關(guān)系；能理解用符號(表格、圖象、表達(dá)式)表示的變量關(guān)系，并借助這些符號研究變量變化的對應(yīng)關(guān)系和變化趨勢；通過一次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，積累了探究一次函數(shù)概念時(shí)，既關(guān)注抽象表達(dá)式的共同特征，又注重用表格體會變量間均值變化的規(guī)律的活動經(jīng)驗(yàn)，有助于抽象反比例函困惑：首先，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)表達(dá)式具有的共同特征，但不容易理解“兩個變量的乘積一定”的變化規(guī)律；其次，在抽象出函數(shù)概念本質(zhì)時(shí)，提供的現(xiàn)實(shí)情境往往會讓學(xué)生認(rèn)為“一個變量增大而另一個變量減小”是反比例函數(shù)的本質(zhì)屬性，因此排除這一非本質(zhì)屬性是學(xué)生認(rèn)識的一個難點(diǎn)?；谏鲜龇治鲈O(shè)計(jì)的教學(xué)策略是：對第一個困惑，前文已給出具體的策略。即設(shè)計(jì)幾個問題情境，通過用表格表示變量關(guān)系，讓學(xué)生在觀察、分析中體會“乘積型”的變化規(guī)律，然后抽象表達(dá)式的共同特征，可以獲得概念本質(zhì)，這里用“表格”來表征問題情境中兩個變量的關(guān)對于學(xué)生認(rèn)為“一個變量總隨著另一個變量增大而減小”是反比例函數(shù)本質(zhì)屬性的問題，可以給出一個y隨x的增大的反比例函數(shù)如下表。讓學(xué)生思考：以上變量y隨x的增大怎樣變化?這個例子可以讓學(xué)生體會：當(dāng)x從-5到-1的不斷增大的過程中，y也從4/5到4在不斷地增大，即比例中的y并不是隨著x的增大而減小，其本質(zhì)是“x與y的乘積不變”,這樣，學(xué)生就能排除“反比例函數(shù)是一個變量隨著另一個變量的增大而減小”這一非本質(zhì)屬性，獲得概念的本質(zhì)：兩個變量的乘積一定。由此可見，在概念學(xué)習(xí)中，對學(xué)生困難的具體分析，是獲得突破難點(diǎn)的教學(xué)策教學(xué)策略設(shè)計(jì)與前三項(xiàng)分析有良好的針對性，概念形成方式的選擇也決定于前三項(xiàng)分析的結(jié)果。其中，第一項(xiàng)分析---概念本質(zhì)屬性和教育價(jià)值分分析，是PCK內(nèi)涵分析的核心，這一分析決定了概念教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，給出了概念教學(xué)的方向，基本決定了獲得概念的方式，也在很大程度上決定了概念教學(xué)的過程能否體現(xiàn)這個概念承載的學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展和知識技能的落實(shí)，對整節(jié)課的教學(xué)效果有著決