高等代數(shù)實(shí)驗(yàn) -

高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系1高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)預(yù)備實(shí)驗(yàn)MATLAB使用練習(xí)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系2高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系3MATLAB是MATrix

LABoratory的

縮寫，它將計(jì)算、可視化和編程功能集成在非常便于使用的環(huán)境中，是一個(gè)交互式的、以矩陣計(jì)算為基礎(chǔ)的科學(xué)和工程計(jì)算軟件。MATLAB的特點(diǎn)可以簡(jiǎn)要地歸納如下：高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系4編程效率高

與Fortran、C等語(yǔ)言相比，它更接近我們通常進(jìn)行計(jì)算時(shí)的思維方

法，用它編程猶如在紙上書寫計(jì)算公式，編程時(shí)間和程序量大大減少。計(jì)算功能強(qiáng)

它以不必指定維數(shù)的矩陣和數(shù)組作為主要數(shù)據(jù)對(duì)象，矩陣和向量計(jì)算功能特別強(qiáng)，庫(kù)函數(shù)也很豐富，非常適用于科學(xué)和工程計(jì)算。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系5使用簡(jiǎn)便

其語(yǔ)言靈活、方便，將編譯、連接、執(zhí)行融為一體，在同一畫面上排除書寫、語(yǔ)法等錯(cuò)誤，加快了用戶編寫、修改、調(diào)試程序的速度，計(jì)算結(jié)果也用人們十分熟悉的數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)。具有初步計(jì)算機(jī)知識(shí)的人幾個(gè)小時(shí)就可以基本掌握它。易于擴(kuò)充

用戶根據(jù)需要建立的文件可以與庫(kù)函數(shù)一樣被調(diào)用，從而提高了使用效率，

擴(kuò)充了計(jì)算功能，它還可以與Fortran、C語(yǔ)言子程序混合編程。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系6此外，它還有很方便的繪圖功能。為了解決各種特殊的科學(xué)和工程計(jì)算問(wèn)題，MATLAB系統(tǒng)提供了許多個(gè)工具箱，如優(yōu)化工具箱、統(tǒng)計(jì)工具箱和符號(hào)運(yùn)算工具箱等。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系7§1概述1.1數(shù)據(jù)術(shù)語(yǔ)矩陣：由m×n個(gè)數(shù)組成的排成m行n列的一個(gè)矩形的數(shù)表，其中0×0矩陣為空矩陣([])。數(shù)表中第i(1≤i≤m)行第j(1≤j≤n)列的數(shù)據(jù)稱為矩陣元素標(biāo)量：1×1的矩陣，即為只含一個(gè)數(shù)的矩陣。向量：1×n或n×1的矩陣，即只有一行的或者一列的矩陣。只有一行的矩陣稱為行向量，只有一列的矩陣稱為列向量。數(shù)表中第i(1≤i≤n)個(gè)數(shù)據(jù)稱為向量元素。數(shù)組：矩陣的延伸，一般指多維數(shù)組，其中標(biāo)量、向量和矩陣都是數(shù)組的特例。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系81.2數(shù)據(jù)類型數(shù)構(gòu)數(shù)構(gòu)據(jù)架據(jù)架類型類型型等型等包。包。括數(shù)括數(shù)數(shù)值數(shù)值值型值型型有型有、單、單字精字精符度符度串型串型型、型、、雙、雙元精元精胞度胞度型、和、和整數(shù)型。整數(shù)型有uint8,uint16,uint32和uint64等無(wú)符號(hào)型和int8，int16，int32和int64等符號(hào)型整數(shù)。數(shù)值型數(shù)據(jù)可以用帶小數(shù)點(diǎn)的形式和科學(xué)計(jì)數(shù)法表示，數(shù)值的表示范圍是10-309～10+309。-20、1.25、2.88e-56(表示2.88×10-56)、7.68e204(表示7.68×10204)都是合法的數(shù)據(jù)表示。。一值一顯般示在格計(jì)式算可時(shí)供采選用擇雙。精度型，在輸出時(shí)有多種數(shù)高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)值顯示格式的設(shè)置通過(guò)format命令，格式如下：f輸f輸o出rmat

short

默認(rèn)設(shè)置，以5位數(shù)字形式f出f出ormat

long

以15位十進(jìn)制數(shù)形式輸f輸f輸o出rmat

short

e

以5位十進(jìn)制數(shù)加指數(shù)形式f式f式o輸rm出at

long

e

以16位十進(jìn)制數(shù)加指數(shù)形fsfsohohroromrmratatte

short

g

從format

short和format中自動(dòng)選擇最佳輸出形式四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系9高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系10format

long

g

從format

long和format

long

e中自動(dòng)選擇最佳輸出形式formathex以16位十六進(jìn)制數(shù)形式輸出format+以正號(hào)、負(fù)號(hào)和零形式輸出formatbank以兩位小數(shù)形式輸出formatrat以近似分?jǐn)?shù)形式輸出format

loose以稀疏格式（變量與執(zhí)行結(jié)果之間有空行）輸出format

compact

以緊湊格式（變量與執(zhí)行結(jié)果之 間無(wú)空行）輸出高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系11§2變量2.1變量的命名變量的命名規(guī)則為:變量名必須以字母開頭，變量名的組成可以是任意 字母、數(shù)字或者下劃線，但不能含有空格和標(biāo)點(diǎn)符 號(hào)。關(guān)鍵字和函數(shù)名不能作為變量名。變量名不能超過(guò)63個(gè)字符。變量名區(qū)分字母的大小寫,即大小寫敏感。大小寫是否區(qū)分可以通過(guò)命令casesenon/off進(jìn)行切換（如果不區(qū)分大小寫，為casesen

off,否則為casesen

on）。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)例2-1

在命令窗口輸入下述語(yǔ)句，并按回車鍵執(zhí)行，分別給變量a、b、c賦值：a=1%a為標(biāo)量b=[0

1]%b為行向量c=[1

2;3

4;5

6]%c為矩陣即二維數(shù)組四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系13高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系142.3特殊變量epsRealmaxRealminPii,

jInfNaNNarginNargoutFlopsMATLAB定義的正的極小值2.2204e-16最大的正實(shí)數(shù)1.7977e+308最小的正實(shí)數(shù)2.2251e-308內(nèi)建的π值虛數(shù)單位i=j=√-1∞無(wú)法定義一個(gè)數(shù)目函數(shù)輸入?yún)?shù)個(gè)數(shù)函數(shù)輸出參數(shù)個(gè)數(shù)浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系152.4內(nèi)存變量的管理1內(nèi)存變量的顯示與刪除1）who2）whos3）clear用于顯示在MATLAB工作空間中已經(jīng)駐留的變量名清單。在給出變量名的同時(shí)，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型等信息。刪除MATLAB工作空間中的變量。注意，特殊變量不能被刪除。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系16例2-2查詢例2-1中語(yǔ)句執(zhí)行后工作空間中的變量情況。在命令窗口輸入who執(zhí)行結(jié)果為：Your

variables

are:a

b

c在命令窗口輸入whos執(zhí)行結(jié)果為：Name

Size1x11x23x2Bytes

Class8

double

array16

double

array48

double

arrayGrand

total

is

10

elements

using

72

bytes高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)2工作空間瀏覽器工作空間瀏覽器窗口用于顯示所有MATLAB工作空間中的變量名、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、類型、大小和字節(jié)數(shù)，也可以對(duì)變量進(jìn)行觀察、編輯、提取和保存。四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系17高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系183內(nèi)存變量文件利用MAT文件可以把MATLAB工作空間中的一些有用變量久地保留下來(lái)。MAT文件的生成和調(diào)入由save和load命令來(lái)完成save的格式為：save文件名

[變量名表]

[-append][-ascii]功能：把工作空間中的變量存入磁盤。其中變量名表指出需存儲(chǔ)的變量，append為數(shù)據(jù)填加方式，ascii為數(shù)據(jù)形式load的格式為：load

文件名

[變量名表]

[-ascii]功能：磁盤上存儲(chǔ)的mat數(shù)據(jù)文件取回到

MATLAB工作空間中。參數(shù)含義同save。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系19例2-3:

例2-1中語(yǔ)句執(zhí)行后，在命令窗口依次輸入下述命令：Save

%變量a，b和c保存在matlab.matSave

mydata1.matsave

mydata2.mat

a%變量a，b和c保存在

mydata2.mat%變量a保存在

mydata2.matsave

mydata3.mat

a

b

%變量a和b保存在mydata3.matsave

mydata4.mat

a

b

c

%變量a，b和c保存在mydata4.mat高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系20§3圖形功能3.1直角坐標(biāo)系的二維圖形Plot：直角坐標(biāo)系的二維圖形的繪制函數(shù)三種調(diào)用格式:1)

plot(y，’s’)功能：當(dāng)y是向量時(shí)，元素的序號(hào)作為x坐標(biāo)，元素值作為y坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)繪制線性直角坐標(biāo)系的二維圖形。當(dāng)y是矩陣時(shí)，元素的所在列號(hào)作為x坐標(biāo)，元素值作為y坐標(biāo)，分別對(duì)應(yīng)繪制線性直角坐標(biāo)系的二維圖形，曲線條數(shù)等于輸入?yún)?shù)矩陣的列數(shù)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系212)

plot(x,y，’s’)功能：當(dāng)x是向量，y是矩陣時(shí)，則繪制出多根不同顏色的曲線。曲線條數(shù)等于y矩陣的另一維數(shù)，x被作為這些曲線共同的橫坐標(biāo)。當(dāng)x,y是同維矩陣時(shí)，則以x,y對(duì)應(yīng)列元素為橫、縱坐標(biāo)分別繪制曲線，曲線條數(shù)等于矩陣的

列數(shù)。當(dāng)輸入?yún)?shù)是實(shí)矩陣時(shí)，則按列繪制每列元素值相對(duì)其下標(biāo)的曲線，曲線條數(shù)等于輸入?yún)?shù)矩陣的列數(shù)。當(dāng)輸入?yún)?shù)是復(fù)數(shù)矩陣時(shí)，則按列分別以元素實(shí)部和虛部為橫、縱坐標(biāo)繪制多條曲線高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系223)plot(x1,y1,’s1’,x2,y2,’s2’…,xn,yn，’sn’)功能：繪制（xi,yi,’si’）對(duì)應(yīng)的二維圖形。S是表示所繪圖形的線形、點(diǎn)型和顏色的字符串。函數(shù)調(diào)用格式中的S是線形、點(diǎn)型和顏色的組合字符，默認(rèn)值為b-.（藍(lán)色實(shí)線實(shí)點(diǎn)標(biāo)記)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系23繪圖函數(shù)的常用的顏色含義類型藍(lán)色(默認(rèn))黃色品紅色(紫色)青色紅色綠色白色黑色符號(hào)b(Blue)y(Yellow)m(Magenta)c(Cyan)r(Red)g(Green)w(White)k(Black)高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系24繪圖函數(shù)的常用的線形含義類型符號(hào)實(shí)線(默認(rèn))-點(diǎn)線:點(diǎn)劃線-.虛線--高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系25繪圖函數(shù)的常用的數(shù)據(jù)點(diǎn)形含義符號(hào).ox*dv^<>類型實(shí)點(diǎn)標(biāo)記（默認(rèn)）圓圈標(biāo)記叉號(hào)形×星號(hào)標(biāo)記＊鉆石形標(biāo)記

向下的三角形標(biāo)記向上的三角形標(biāo)記向左的三角形標(biāo)記向右的三角形標(biāo)記五角星標(biāo)記☆p高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系27text(x,y,txt)功能:在圖形窗口的(x,

y)處寫字符串txt。坐標(biāo)x和y按照與所繪制圖形相同的刻度給出。gtext(txt)功能:通過(guò)使用鼠標(biāo)或方向鍵，移動(dòng)圖形窗口中的十字光標(biāo)，在圖形窗口中添加字符串

txt。legend(str1

,str2

,…)功能:在當(dāng)前圖上輸出圖例，并用說(shuō)明性字符串str1,

str2等作為標(biāo)注。legend

off功能:從當(dāng)前圖形中清除圖例。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系282屏幕控制命令figure(n)功能創(chuàng)建和顯示當(dāng)前序號(hào)為n的圖形窗口。clfclchome清除當(dāng)前圖形窗口的圖形。清除命令窗口的命令。移動(dòng)光標(biāo)到命令窗口的左上角。hold

是否保持當(dāng)前圖形的切換命令。hold

on命令保持當(dāng)前圖形并加入另一個(gè)圖形，hold

off命令

釋放當(dāng)前圖形窗口（缺省狀態(tài)），ishold命令如果當(dāng)前圖形處于hold

on狀態(tài)，則返回1；否則，返回0。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系29subplot(m,n,p)將圖形窗口分割成m行n列,并設(shè)置p所指定的子窗口為當(dāng)前窗口。子窗口按行由左至右，由上至下進(jìn)行編號(hào)。subplot設(shè)置圖形窗口為缺省模式，即單窗口模式，等價(jià)于subplot(1,1,1)。grid是否畫分格線的雙向切換命令，grid

on設(shè)置為畫分格線，grid

off為不畫分格線。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系303

設(shè)定坐標(biāo)系統(tǒng)axis([xmin

xmax

ymin

ymax])設(shè)定坐標(biāo)系統(tǒng)的最大和最小值。axis

（’auto’）將當(dāng)前圖形的坐標(biāo)系統(tǒng)恢復(fù)到自動(dòng)缺省狀態(tài)。axis

（’square’）將當(dāng)前圖形的坐標(biāo)系統(tǒng)設(shè)置為方形。axis

（’equal’）將當(dāng)前圖形的坐標(biāo)軸設(shè)成相等。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系31axis

（’off’）關(guān)閉坐標(biāo)系統(tǒng)。axis

（’on’）顯示坐標(biāo)系統(tǒng)。box坐標(biāo)形式在封閉式和開啟式之間切換指令。box

on命令使坐標(biāo)形式呈封閉形式box

off命令坐標(biāo)形式呈開啟形式。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系323.3 plotyy函數(shù)Plotyy：用不同標(biāo)度在同一個(gè)坐標(biāo)內(nèi)繪制曲線plotyy(x1,y1,x2,y2)分別繪制（x1，y1）和（x2，y2）的圖形。其中x1和y1、

x2和y2為對(duì)應(yīng)的向量或矩陣。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系343.5對(duì)數(shù)坐標(biāo)繪圖半對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)坐標(biāo)系繪圖函數(shù):semilogx，

semilogy,

loglog格式：semilogx(x,y)功能：在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中繪圖，x軸用

以10為底的對(duì)數(shù)刻度標(biāo)定。這類似于

plot(log10(x),y),但是對(duì)于log10(0)不給出警告信息。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系35semilogy(x,y)功能：在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中繪圖，y軸用以10為底的對(duì)數(shù)刻度標(biāo)定。這類似于

plot(x,log10(y)),但是對(duì)于log10(0)不給出警告信息。loglog(x,y)功能：在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中繪圖。兩個(gè)坐標(biāo)軸均用以1

0為底的對(duì)數(shù)刻度標(biāo)定。這類似于plot(log10(x),log10(y)),但是于log10(0)不能給出警告信息高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系36§4程序設(shè)計(jì)運(yùn)算符優(yōu)先級(jí)MATLAB中各種運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)如下："(矩陣轉(zhuǎn)置)、^(矩陣冪)和."(數(shù)組轉(zhuǎn)置)、.^(數(shù)組冪)~(邏輯非)除*()乘)、/(左除)、\(右除)和.*(點(diǎn)乘)、./(點(diǎn)左除)、.\(點(diǎn)?+、-(加減):(冒號(hào))<、<=、>、>=、~=&(邏輯與)|(邏輯或)&&(先決與)||(先決或)高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系374.2

M文件4.2.1

M文件概述用MATLAB語(yǔ)言編寫的程序，稱為M文件。M文件可以根據(jù)調(diào)用方式的不同分為兩類：命令文件和函數(shù)文件。兩種工作方式：交互式的命令行工作方式和M文件的程序工作方式。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系384.2.2

M文件的建立為建立新的M文件，啟動(dòng)MATLAB文本編輯器有3種方法：菜單操作。命令操作。命令按鈕操作。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系394.3

分支語(yǔ)句4.3.1

if結(jié)構(gòu)格式1：

if

條件語(yǔ)句組

end高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系40格式2：

if

條件語(yǔ)句組1else語(yǔ)句組2end高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系41格式3：

if

條件1語(yǔ)句組1elseif

條件2語(yǔ)句組2……elseif

條件m語(yǔ)句組melse語(yǔ)句組m+1end高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系424.3.2 switch-case結(jié)構(gòu)一般switch-case語(yǔ)句格式為：switch表達(dá)式case值1語(yǔ)句組1case值2語(yǔ)句組2……case值m語(yǔ)句組motherwise語(yǔ)句組m+1end高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系434.3.3

try-catch結(jié)構(gòu)

try-catch結(jié)構(gòu)格式為：try…

語(yǔ)句組1catch…

語(yǔ)句組2end高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系444.4

循環(huán)語(yǔ)句4.4.1

while循環(huán)while循環(huán)的一般形式：

while條件表達(dá)式語(yǔ)句組；end高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系454.4.2

for循環(huán)for語(yǔ)句的格式為：for循環(huán)變量=表達(dá)式1：表達(dá)式2：表達(dá)式3循環(huán)體語(yǔ)句

end高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系46for語(yǔ)句的更一般的格式為：for

循環(huán)變量=矩陣表達(dá)式循環(huán)體語(yǔ)句end執(zhí)行時(shí)依次將矩陣的各列元素賦給循環(huán)變量，然后執(zhí)行循環(huán)體語(yǔ)句，直至各列元素處理完畢。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)1矩陣及其運(yùn)算四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系47高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系48§1矩陣1.1

矩陣的建立1．直接輸入法最簡(jiǎn)單的建立矩陣的方法是從鍵盤直接輸入矩陣的元素。具體方法如下：將矩陣的元素用方括號(hào)括起來(lái)，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號(hào)分隔，不同行的元素之間用分號(hào)分隔。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系492．利用M文件建立矩陣對(duì)于比較大且比較復(fù)雜的矩陣，可以為它專門建立一個(gè)M文件。下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明如何利用M文件創(chuàng)建矩陣。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系50例1-1

利用M文件建立MYMAT矩陣。啟動(dòng)有關(guān)編輯程序或MATLAB文本編輯器，并輸入待建矩陣：把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(設(shè)文件名為mymatrix.m)。在MATLAB命令窗口中輸入

mymatrix，即運(yùn)行該M文件，就會(huì)自動(dòng)建立一個(gè)名為MYMAT的矩陣，可供以后使用。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系513.利用冒號(hào)表達(dá)式建立一個(gè)向量冒號(hào)表達(dá)式可以產(chǎn)生一個(gè)行向量，一般格式是：e1:e2:e3其中e1為初始值，e2為步長(zhǎng)，e3為終止值。在MATLAB中，還可以用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量。其調(diào)用格式為：linspace(a,b,n)其中a和b是生成向量的第一個(gè)和最后一個(gè)元素，n是元素總數(shù)。顯然，linspace(a,b,n)與a:(b-a)/(n-1):b等價(jià)

4．建立大矩陣大矩陣可由方括號(hào)中的小矩陣或向量建立起來(lái)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系521.2矩陣的拆分1．矩陣元素通過(guò)下標(biāo)引用矩陣的元素，例如A(3,2)=200采用矩陣元素的序號(hào)來(lái)引用矩陣元素。矩陣元素的序號(hào)就是相應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序。在MATLAB中，矩陣元素按列存儲(chǔ)，先第一列，再第二列，依次類推。例如A=[1,2,3;4,5,6];A(3)ans

=2顯然，序號(hào)(Index)與下標(biāo)(Subscript)是一一對(duì)應(yīng)的以m×n矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號(hào)為(j-1)*m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系532．矩陣拆分(1)利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣①A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；

A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。②A(i:i+m,:)表示取A矩陣第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第k～k+m

列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第i～i+m行內(nèi)，并在第k～k+m列中的所有元素。此外，還可利用一般向量和end運(yùn)算符來(lái)表示矩陣下標(biāo)，從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標(biāo)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系54(2)利用空矩陣刪除矩陣的元素在MATLAB中，定義[]為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語(yǔ)句為X=[]。注意，X=[]與clear

X不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間中，只是維數(shù)為0。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系551.3

特殊矩陣1．通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：

zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。

ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。

eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣。

randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系56例1-2

分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。建立一個(gè)3×3零矩陣。

zeros(3)建立一個(gè)3×2零矩陣。

zeros(3,2)設(shè)A為2×3矩陣，則可以用zeros(size(A))建立一個(gè)與矩陣A同樣大小零矩陣。%產(chǎn)生一個(gè)2×3階矩陣A%產(chǎn)生一個(gè)與矩陣A同樣大A=[1

2

3;4

5

6];zeros(size(A))小的零矩陣高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系57例1-3

建立隨機(jī)矩陣：在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將

矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系582．用于專門學(xué)科的特殊矩陣(1)魔方矩陣魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、

每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等。

對(duì)于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系59例1-4

將101~125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格中，使其每行每列及對(duì)角線的和均為565。M=100+magic(5)高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系60(2)范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂靡粋€(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB

中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系61(3)伴隨矩陣MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是

compan(p)，其中p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項(xiàng)式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：p=[1,0,-7,6];compan(p)高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系62§2矩陣運(yùn)算2.1算術(shù)運(yùn)算1．基本算術(shù)運(yùn)算MATLAB的基本算術(shù)運(yùn)算有：＋(加)、－(減)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。注意，運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只是一種特例。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系63(1)矩陣加減運(yùn)算假定有兩個(gè)矩陣A和B，則可以由

A+B和A-B實(shí)現(xiàn)矩陣的加減運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則是：若A和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運(yùn)算，A和B矩陣的相應(yīng)元素相加減。如果A與B的維數(shù)不相同，則MATLAB將給出錯(cuò)誤信息，提示用戶兩個(gè)矩陣的維數(shù)不匹配。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系64(2)矩陣乘法假定有兩個(gè)矩陣A和B，若A為m×n矩陣，

B為n×p矩陣，則C=A*B為m×p矩陣。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系65(3)矩陣除法在MATLAB中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：\和/，分別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。A\B等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B，而

B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是

B*inv(A)。對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果

相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，設(shè)a=[10.5,25]，則a/5=5\a=[2.10005.0000]。對(duì)于矩陣來(lái)說(shuō)，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對(duì)

于矩陣運(yùn)算，一般A\B≠B/A。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系66(4)矩陣的乘方一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表示成A^x，要求A為方陣，x為標(biāo)量。2．點(diǎn)運(yùn)算在MATLAB中，有一種特殊的運(yùn)算，因?yàn)槠溥\(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算符前面加點(diǎn)，所以叫點(diǎn)運(yùn)算。點(diǎn)運(yùn)算符有.*、./、.\和.^。兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣

的維參數(shù)相同。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系672.2

關(guān)系運(yùn)算MATLAB提供了6種關(guān)系運(yùn)算符：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)它們的含義不難理解，但要注意其書寫

方法與數(shù)學(xué)中的不等式符號(hào)不盡相同。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系68關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則為：當(dāng)兩個(gè)比較量是標(biāo)量時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為1，否則為0。當(dāng)參與比較的量是兩個(gè)維數(shù)相同的矩陣時(shí)，比較是對(duì)兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系69(3)當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量，而另一個(gè)是矩陣時(shí)，則把標(biāo)量與矩陣的每一個(gè)元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系70例1-5

產(chǎn)生5階隨機(jī)方陣A，其元素為[10,90]區(qū)間的隨機(jī)整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除。生成5階隨機(jī)方陣A。A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)判斷A的元素是否可以被3整除。P=rem(A,3)==0其中，rem(A,3)是矩陣A的每個(gè)元素除以3的余數(shù)矩陣。此時(shí)，0被擴(kuò)展為與A同維數(shù)的零矩陣，P是進(jìn)行等于(==)比較的結(jié)果矩陣。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系72(1)提取矩陣的對(duì)角線元素設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣

A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線的元素。(2)構(gòu)造對(duì)角矩陣設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量

V的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)n×n(n=m+)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素即為向量V的元素。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系73例1-6

先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,12,19,21,3;...11,18,25,2,19];D=diag(1:5);D*A

%用D左乘A，對(duì)A的每行乘以一個(gè)指定常數(shù)高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系75(1)上三角矩陣求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是

triu(A)。triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例

如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，

形成新的矩陣B。(2)下三角矩陣在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系763.2

矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1．矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(’)。

2．矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當(dāng)k為1時(shí)可省略。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系773．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。4．矩陣的上下翻轉(zhuǎn)MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系783.3

矩陣的逆與偽逆1．矩陣的逆對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：A·B=B·A=I(I為單位矩陣)則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)

inv(A)。例1-7

用求逆矩陣的方法解線性方程組。Ax=b其解為：x=A-1b高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系792．矩陣的偽逆如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿秩的方陣時(shí)，矩陣A沒(méi)有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：

A·B·A=AB·A·B=B此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系803.4方陣的行列式把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是

det(A)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系813.5

矩陣的秩與跡1．矩陣的秩矩陣線性無(wú)關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。2．矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是

trace(A)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系823.6向量和矩陣的范數(shù)矩陣或向量的范數(shù)用來(lái)度量矩陣或向量在某種意義下的長(zhǎng)度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系831．向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算向量V的2—范數(shù)。norm(V,1)：計(jì)算向量V的1—范數(shù)。norm(V,inf)：計(jì)算向量V的∞—范數(shù)。2．矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其

函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系843.7

矩陣的條件數(shù)在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：cond(A,1)

計(jì)算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。cond(A)或cond(A,2)

計(jì)算A的2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。cond(A,inf)

計(jì)算A的∞—范數(shù)下的條件數(shù)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系853.8

矩陣的特征值與特征向量在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系86(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對(duì)A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)2多項(xiàng)式四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系87高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)§1多項(xiàng)式的表示MATLAB中多項(xiàng)式的表示方法：例如：行向量

p=[1

-12

0

25

116]對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式為：四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系88高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)§2多項(xiàng)式的算術(shù)運(yùn)算1加減運(yùn)算四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系89高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系90高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)2

乘法運(yùn)算MATLAB支持多項(xiàng)式乘法，函數(shù)格式為：函數(shù)conv(P1,P2)

求多項(xiàng)式P1和P2的乘積。這里，P1，P2是兩個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)向量。例 2-2

計(jì)算c=conv([1

2

2],[1

5

4])執(zhí)行結(jié)果如下：c

=1

7

16

18

8由執(zhí)行結(jié)果可知:四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系91高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系923除法運(yùn)算

[Q,r]=deconv(P1,P2)對(duì)多項(xiàng)式P1和P2作除法運(yùn)算。其中Q返回多項(xiàng)式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。注意deconv是conv的逆函數(shù)，即有

P1=conv(P2,Q)+r。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)例2-3

計(jì)算Q=deconv([1

8

0

0

-10],[2

-1

3])Q

=0.5000

4.2500

1.3750[Q,r]=deconv([1

8

0

0

-10],[2

-1

3])執(zhí)行結(jié)果如下：Q

=0.5000

4.2500

1.3750r

=0

0

0

-11.3750

-14.1250由執(zhí)行結(jié)果可知商是:余式是:四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系93四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)§3

多項(xiàng)式求根x=roots(P)其中P為多項(xiàng)式的系數(shù)向量，求得的根賦給向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分別代表多項(xiàng)式的n個(gè)根。給出一個(gè)多項(xiàng)式的根，可以構(gòu)造相應(yīng)的多項(xiàng)式。若已知多項(xiàng)式的全部根，則可以用

poly函數(shù)建立起多項(xiàng)式，其調(diào)用格式為：P=poly(x)x為具有n個(gè)元素的向量，poly(x)為以x為其根的多項(xiàng)式，且將該多項(xiàng)式的系數(shù)賦給向量P。94高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)例2-4

求多項(xiàng)式的根A=[1,8,0,0,-10];x=roots(A)執(zhí)行結(jié)果如下：x

=-8.01941.0344-0.5075+0.9736i-0.5075-0.9736i由結(jié)果可以看出，方程的根為兩個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛復(fù)根四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系95高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)例2-5

求方程的根。p=roots(r);r=[1

-7

2

40];執(zhí)行結(jié)果如下：p

=5.00004.0000-2.0000由結(jié)果可以看出，方程的根均為實(shí)根

5.000，4.0000和-2.0000。四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系96高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)例 2-6已知計(jì)算由方程的全部根。的根構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式并與

進(jìn)行對(duì)比。P=[3,0,4,-5,-7.2,5];X=roots(P)G=poly(X)%求方程f(x)=0的根%求多項(xiàng)式G(x)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系97高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系99§4

多項(xiàng)式估值1代數(shù)多項(xiàng)式求值

Y=polyval(P,x)求代數(shù)多項(xiàng)式的值。若x為一常數(shù)，則求多項(xiàng)式P在該點(diǎn)的值，Y

=

P(1)×x

^

N

+

P(2)

×

x

^(N-1)+

...

+

P(N)

×

x

+

P(N+1)若x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求多項(xiàng)式P的值，返回值為與自變量同型的向量或矩陣。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系1012矩陣多項(xiàng)式求值polyvalm函數(shù)用來(lái)求矩陣多項(xiàng)式的值，要求以方陣x為自變量求多項(xiàng)式的值。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)例2-8

當(dāng)x取時(shí)求的值。p=[1

-5

0

8];a=[2

3

5

;5

8

1;7

6

9];polyvalm(p,a)執(zhí)行結(jié)果：ans

=552548114869068614225625381154四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系102高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系103polyval(p,a)執(zhí)行結(jié)果：ans

=-4-1088200410644332高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系104例2-9

當(dāng)x=8時(shí)求(x-1)(x-2)

(x-3)(x-4)的值。p=poly([1

2

3

4])，

polyvalm(p,8)執(zhí)行結(jié)果如下：p

=1

-10

35

-50

24ans

=840高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)3線性方程組的解法四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系105高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系106§１直接解法1．利用左除運(yùn)算符的直接解法對(duì)于線性方程組Ax=b，可以利用左除運(yùn)算符“\”求解：x=A\b高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系107例３-1

用直接解法求解下列線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,b=[13,-9,6,0]";x=A\b高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系1082．利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。常見(jiàn)的矩陣分解有LU分解、QR分解、

Cholesky分解，以及Schur分解、

Hessenberg分解、奇異分解等。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系109(1)LU分解矩陣的LU分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣A是非奇異的，LU分解總是可以進(jìn)行的。MATLAB提供的lu函數(shù)用于對(duì)矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格式為：[L,U]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。[L,U,P]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣L以及一個(gè)置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系110例３-2

用LU分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]";[L,U]=lu(A);x=U\(L\b)或采用LU分解的第2種格式，命令如下：

[L,U,P]=lu(A);x=U\(L\P*b)高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系111(2)QR分解對(duì)矩陣X進(jìn)行QR分解，就是把X分解為一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積形式。

QR分解只能對(duì)方陣進(jìn)行。MATLAB的函數(shù)qr可用于對(duì)矩陣進(jìn)行QR分解，其調(diào)用格式為：

[Q,R]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R，使之滿足X=QR。[Q,R,E]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q、一個(gè)上三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣E，使之滿足XE=QR。實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解

x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系112例３-3

用QR分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]";[Q,R]=qr(A);x=R\(Q\b)或采用QR分解的第2種格式，命令如下：

[Q,R,E]=qr(A);x=E*(R\(Q\b))高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系113(3)Cholesky分解如果矩陣X是對(duì)稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個(gè)下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=R"R。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對(duì)矩陣X進(jìn)行Cholesky分

解，其調(diào)用格式為：R=chol(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣R，使R"R=X。若X為非對(duì)稱正定，則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。[R,p]=chol(X)：這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息。當(dāng)X為對(duì)稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個(gè)正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個(gè)階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足R"R=X(1:q,1:q)實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組Ax=b變成R‘Rx=b，所以x=R\(R’\b)。高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系114例３-4

用Cholesky分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0