專題4.6平面直角坐標(biāo)系中的面積問題（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題4.6平面直角坐標(biāo)系中的面積問題（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)1】已知點(diǎn)的坐標(biāo)求圖形面積【考點(diǎn)一】三角形有一邊在坐標(biāo)軸上【例1】（2021秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形OABC各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求這個(gè)四邊形的面積．【答案】．【分析】分別過C點(diǎn)和B點(diǎn)作x軸和y軸的平行線，根據(jù)S四邊形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF結(jié)合三角形面積公式解題．解：分別過C點(diǎn)和B點(diǎn)作x軸和y軸的平行線，如圖，則E（5，3），A（3，0），B（5，2），C（2，3）,所以S四邊形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2=．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，會(huì)運(yùn)用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．【舉一反三】【變式1】（2021秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(5，0)，B(3，0)，C(1，2)，求出△ABC的面積．

【答案】2【分析】首先根據(jù)題意求出AB的長(zhǎng)度和AB邊上的高的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．解：作CD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D．A(5，0)，B(3，0)，C(1，2)，OA=5，OB=3，CD=2，AB=OAOB=53=2．S△ABC=AB·CD=×2×2=2．【點(diǎn)撥】此題考查了網(wǎng)格中三角形面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出AB的長(zhǎng)度和AB邊上的高．【變式2】（2021秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四邊形ABCD的面積．【答案】42【分析】把原圖形分解成一個(gè)三角形加一個(gè)梯形加一個(gè)三角形，再利用面積公式即可求解．解：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E則AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5∴

．【點(diǎn)撥】本題考查平面直角坐標(biāo)系下的不規(guī)則圖形面積計(jì)算，靈活拆解不規(guī)則圖形是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】三角形有一邊平行于坐標(biāo)軸【例2】（2023春·北京朝陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（﹣2，1）、B（3，1）C（2，3），請(qǐng)回答如下問題：（1）在坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn)A、B、C的位置；（2）求出以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積．【答案】（1）5．【分析】（1）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)即可描出點(diǎn)A，B，C的位置；（2）將AB看成底邊，則C到AB的距離為高，根據(jù)圖象得出高為2，再用三角形的面積公式即可得出三角形ABC的面積．解：（1）A，B，C的位置如圖所示，（2）以AB為底邊，則C到AB的距離為AB邊上的高，∵A（2，1），B（3，1），∴AB=3（2）=5，由圖可知C到AB的距離為2，∴三角形ABC的面積為5．

【點(diǎn)撥】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系和三角形的面積公式，關(guān)鍵是要牢記三角形的面積公式，能恰當(dāng)?shù)恼业饺切蜛BC的底邊和高．【舉一反三】【變式1】（2022春·黑龍江牡丹江·七年級(jí)校考期末）如圖在直角坐標(biāo)系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三點(diǎn)，若a，b，c滿足關(guān)系式：＝0．（1）求a，b，c的值．（2）求△ABC的面積．（3）是否存在點(diǎn)P（x，2x），使△BCP的面積為△AOB的面積的兩倍？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)a，b，c的值分別為2，3，4；(2)△ABC的面積為6；(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），（6，12）【分析】（1）根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)的值均為0”解出a,b,c的值；（2）由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可得△ABC的面積；（3）設(shè)存在點(diǎn)P（x，2x），使△BCP的面積為△AOB的面積的兩倍，根據(jù)面積列出方程，解方程即可．（1）解：∵，∴，∴，（2）∵A（0，2），B（3，0），C（3，4）；∴（3）設(shè)存在點(diǎn)P（x，2x），使△BCP的面積為△AOB的面積的兩倍，∵，∴，，即，解得或，∴P的坐標(biāo)為（0,0），（6,12）．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知四邊形．（1）分別寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）試求四邊形的面積．（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）．【答案】(1),,,；(2)【分析】（1）根據(jù)各點(diǎn)所在的象限，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，分別寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）首先把四邊形分割成規(guī)則圖形，再求其面積和即可．解：（1）,,,（2）【點(diǎn)撥】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，以及求不規(guī)則圖形的面積，關(guān)鍵是把不規(guī)則的圖形正確的分割成規(guī)則圖形．【考點(diǎn)三】三角形沒有一邊平行于坐標(biāo)軸【例3】（2022春·重慶榮昌·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，3），B（5，1），C（﹣2，﹣3）．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)．（2）求△ABC的面積．【答案】(1)圖見詳解，（﹣3，3），（﹣5，1），（2，﹣3）；(2)11【分析】（1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面積看成矩形面積減去周圍三個(gè)三角形面積即可．（1）解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．并直接寫出點(diǎn)A1（﹣3，3），B1（﹣5，1），C1（2，﹣3）．故答案為：（﹣3，3），（﹣5，1），（2，﹣3）；（2）解：S△ABC＝6×7×6×5﹣×2×2﹣×7×4＝11．【點(diǎn)撥】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，學(xué)會(huì)用分割法求三角形面積．【舉一反三】【變式1】（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）中，A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、．（1）求的面積；（2）若B、C點(diǎn)坐標(biāo)不變，A點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?，則的面積為______．【答案】（1）；（2）8．【分析】（1）分別過點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn)，并反向延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則的面積為長(zhǎng)方形面積減去三個(gè)直角三角形的面積，即可求解；（2）分別過點(diǎn)作的垂線，分別相交于點(diǎn)，則的面積為長(zhǎng)方形面積減去三個(gè)直角三角形的面積，即可求解．解：（1）分別過點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn)，并反向延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如下圖：則：、、、、、由圖形可得：所以，（2）分別過點(diǎn)作的垂線，分別相交于點(diǎn)，如下圖：則：、、、、由圖形可得：所以，【點(diǎn)撥】此題考查了平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，割補(bǔ)法求解三角形面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角坐標(biāo)系的性質(zhì)構(gòu)造出矩形求解三角形面積．【變式2】（2021秋·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第一二六中學(xué)?？计谥校┤鐖D是由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）圖中線段BC的長(zhǎng)為；（3）ABC的面積為；【答案】（1）A（3，4），B（0，2）；（2）；（3）；（4）（0，）或（0，）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的位置直接寫出坐標(biāo)；（2）利用勾股定理結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算；（3）利用割補(bǔ)法計(jì)算即可；解：（1）由圖可知：A（3，4），B（0，2）；（2）BC==；（3）S△ABC==；【知識(shí)點(diǎn)2】已知圖形面積求點(diǎn)的坐標(biāo)【考點(diǎn)四】由圖形的面積求點(diǎn)的坐標(biāo)【例4】（2022秋·新疆塔城·七年級(jí)塔城地區(qū)第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b滿足|a+1|+=0．（1）填空：___________，___________；（2）若在第三象限內(nèi)有一點(diǎn)M（2，m），請(qǐng)用含m的式子表示△ABM的面積；（3）在（2）條件下，當(dāng)時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（不與點(diǎn)A重合），使得，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，不存在說明理由．【答案】(1)1，3；(2)2m；(3)存在，P（7，0）【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得a、b的值；（2）根據(jù)三角形面積公式列式整理即可；（3）先根據(jù)（2）計(jì)算，根據(jù)=列方程求解可得．（1）解：∵|a+1|+=0，∴a+1=0且b3=0，解得：a=1，b=3，故答案為：1，3；（2）解：過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，由（1）得：A（1，0），B（3，0），∴AB=1+3=4，又∵點(diǎn)M（2，m）在第三象限，∴MN=|m|=m，∴=AB?MN=×4×（m）=2m；（3）解：當(dāng)m=時(shí)，M（2，），∴=2×（）=3，=×PB×，由題意得×PB×=3，解得PB=4，∵P不與A重合∴P（7，0）．【點(diǎn)撥】本題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，第3問根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023春·湖北荊州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，（1）求點(diǎn)C到x軸的距離；（2）求的面積；（3）點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)?shù)拿娣e為6時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)3；(2)18；(3)或【分析】（1）點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值就是點(diǎn)C到x軸的距離解答；（2）根據(jù)三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)△ABP的面積為6，，整理得，所以或，即可解答．（1）解：∵，∴，∴點(diǎn)C到x軸的距離為3；（2）解：∵，∴，點(diǎn)C到邊的距離為：，∴的面積為：．（3）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵的面積為6，，∴，∴，∴或，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，以及一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想．【變式2】（2023春·廣東湛江·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，點(diǎn)．且點(diǎn)A在x軸上，（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）若點(diǎn)C坐標(biāo)為，求的面積．（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且的面積為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)2；(3)或【分析】（1）由點(diǎn)A在x軸上可得其縱坐標(biāo)為0，求出a即可得到答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（3）根據(jù)題意可求出，再分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在y軸