中考數(shù)學(xué)講練 專題13 與圓有關(guān)的計算問題

專題13與圓有關(guān)的計算問題【方法指導(dǎo)】1.垂徑定理：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．2.圓心角與圓周角（1）在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（2）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．3.圓內(nèi)接四邊形：（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．

②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．

（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．4.正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．4.圓的有關(guān)計算：（1）扇形的弧長l＝；扇形的面積S＝＝（2）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.（3）陰影部分的面積計算常通過添加輔助線轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的計算.【題型剖析】【類型1】垂徑定理及應(yīng)用【例1】（2019?泰州一模）如圖，C是以AB為直徑的半圓O上任意一點，AB＝3，則△ABC周長的最大值是（）A．22+3 B．32+3 C．23+3【分析】當(dāng)點C在AB中點時，△ABC周長最大，然后根據(jù)AB＝3計算即可．【解析】∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2＝32＝9，AC＋BC=A當(dāng)S△ABC最大時，AC＋BC最大，∵S△ABC=12AB?CD當(dāng)點C在AB中點時，CD＝CO=12AB此時S△ABC最大，S△ABC=3即AC＋BC最大=9+4×△ABC周長的最大值＝AC＋BC＋AB=32+故選：B．【變式1－1】（2019?濱湖區(qū)一模）如圖，在⊙O中，已知弦AB長為16cm，C為AB的中點，OC交AB于點M，且OM：MC＝3：2，則CM長為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】連接OA，根據(jù)垂徑定理的推論得到OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理求出AM，根據(jù)勾股定理列式計算，得到答案．【解析】連接OA，∵C為AB的中點，∴AC=∴OC⊥AB，∴AM=12AB＝設(shè)OM＝3a，則CM＝2a，∴OC＝5a，由勾股定理得，OA2＝AM2＋OM2，即（5a）2＝82＋（3a）2，解得，a＝2（負(fù)值舍去），則CM＝2a＝4（cm），故選：B．【變式1－2】（2019?吳興區(qū)校級一模）如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，且OM＝3，則⊙O的半徑等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】連接OA，根據(jù)垂徑定理求出OM⊥AB，求出AM長，根據(jù)勾股定理求出OA即可．【解析】連接OA，∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，OM過O，∴AM＝BM＝4，OM⊥AB，∴由勾股定理得：OA=AM故選：C．【類型2】弧弦圓心角之間分關(guān)系【例2】（2019?東臺市模擬）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，D為圓周上一點，若BC的度數(shù)為50°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．50°【分析】利用圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)得到∠BOC＝50°，利用垂徑定理得到AC=BC，然后根據(jù)圓周角定理計算∠【解析】∵BC的度數(shù)為50°，∴∠BOC＝50°，∵半徑OC⊥AB，∴AC=∴∠ADC=12∠BOC＝25故選：B．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理和圓周角定理．【變式2－1】（2019秋?連云港期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，BC＝3．劣弧BC沿弦BC翻折，剛好經(jīng)過圓心O．當(dāng)對角線BD最大時，則弦AB的長是（）A．6 B．23 C．32 D．2【分析】作OH⊥BC于H，連接OB，如圖，利用垂徑定理得到BH=12BC=32，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OH=12OB，則∠OBH＝30°，于是可計算出OH=32，OB=3，接著利用BD為直徑時，即BD＝23時，對角線BD最大，根據(jù)圓周角得到此時∠BAD【解析】作OH⊥BC于H，連接OB，如圖，則BH＝CH=12BC∵劣弧BC沿弦BC翻折，剛好經(jīng)過圓心O，∴OH=12∴∠OBH＝30°，∴OH=33BH∴OB＝2OH=3當(dāng)BD為直徑時，即BD＝23時，對角線BD最大，則此時∠BAD＝90°，∵AB＝AD，∴此時△ABD為等腰直角三角形，∴AB=22BD=2故選：A．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了折疊的性質(zhì)和垂徑定理．【變式2－2】（2018秋?邗江區(qū)校級月考）如圖所示，小華從一個圓形場地的A點出發(fā)，沿著與半徑OA夾角為α的方向行走，走到場地邊緣B后，再沿著與半徑OB夾角為α的方向折向行走．按照這種方式，小華第五次走到場地邊緣時處于弧AB上，則α取值范圍是（）A．36°≤α≤45° B．45°≤α≤54° C．54°≤α≤72° D．72°≤α≤90°【分析】在△AOB中，由OA＝OB，∠OAB＝α得∠OBA＝α，∠AOB＝180°﹣2α，分別取各選項的特殊值代入分析即可得解．【解析】∵在△AOB中，OA＝OB，∠OAB＝α∴∠OBA＝α，∠AOB＝180°﹣2α∴當(dāng)α＝36°時，∠AOB＝180°﹣2×36°＝108°108×5＝540°∵轉(zhuǎn)360°恰好位于點A，540°﹣360°＝180°＞108°∴此時不位于弧AB上，A錯誤；當(dāng)α＝60°時，∠AOB＝60°，60×5＝300°∴此時小華還沒到達(dá)點A，故C錯誤；當(dāng)α＝60°時，∠AOB＝60°，60×5＝300°當(dāng)α＝90°時，點B在圓外，不符合題意，故D錯誤；故選：B．【類型3】圓周角定理【例3】（2019秋?濱湖區(qū)期末）在半徑為3cm的⊙O中，若弦AB＝32，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．30°或150° D．45°或135°【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接OA和OB，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出即可．【解析】如圖所示，連接OA，OB，則OA＝OB＝3，∵B＝32，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的度數(shù)是90°，優(yōu)弧AB的度數(shù)是360°﹣90°＝270°，∴弦AB對的圓周角的度數(shù)是45°或135°，故選：D．【變式3－1】（2019秋?海州區(qū)校級期中）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為（）A．13-2 B．2 C．11-2 【分析】首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點P，此時CP最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題．【解析】∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝2，∴OC=O∴CP＝OC﹣OP=13-∴CP最小值為13-2故選：A．【點睛】本題考查點與圓位置關(guān)系、圓周角定理、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是確定點P位置，學(xué)會求圓外一點到圓的最小、最大距離，屬于中考?？碱}型．【變式3－2】（2019秋?廣陵區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB＝30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點，若⊙O的半徑為8，則GE＋FH的最大值為（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理，求出∠AOB＝2∠ACB＝60°，進(jìn)而判斷出△AOB為等邊三角形；然后根據(jù)⊙O的半徑為8，可得AB＝OA＝OB＝8，再根據(jù)三角形的中位線定理，求出EF的長度；最后判斷出當(dāng)弦GH是圓的直徑時，它的值最大，進(jìn)而求出GE＋FH的最大值是多少即可．【解析】連接OA、OB，如圖所示：∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∵⊙O的半徑為8，∴AB＝OA＝OB＝8，∵點E，F(xiàn)分別是AC、BC的中點，∴EF=12AB＝要求GE＋FH的最大值，即求GE＋FH＋EF（弦GH）的最大值，∵當(dāng)弦GH是圓的直徑時，它的最大值為：8×2＝16，∴GE＋FH的最大值為：16﹣4＝12．故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．【變式3－3】．（2019秋?徐州期末）已知圓內(nèi)接正六邊形的邊長是1，則該圓的內(nèi)接正三角形的面積為（）A．433 B．23 C．33【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)出圓的半徑，再由正多邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解析】如圖（二），∵圓內(nèi)接正六邊形邊長為1，∴AB＝1，可得△OAB是等邊三角形，圓的半徑為1，∴如圖（一），連接OB，過O作OD⊥BC于D，則∠OBC＝30°，BD＝OB?cos30°=32×故BC＝2BD=3．OD=12∴圓的內(nèi)接正三角形的面積=1故選：C．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接正三角形及正六邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【類型4】正多邊形和圓的計算問題【例4】．（2019秋?崇川區(qū)校級期中）若同一個圓的內(nèi)接正三角形、正六邊形的邊長分別記作a3，a6，則a3：a6等于（）A．1：3 B．1：3 C．3：1 D．3：1【分析】從中心向邊作垂線，構(gòu)建直角三角形，通過解直角三角形可得．【解析】設(shè)圓的半徑是r，則多邊形的半徑是r，如圖1，則內(nèi)接正三角形的邊長a3＝2rsin60°=3r如圖2，正六邊形的邊長是a6＝r，因而半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正六邊形的邊長之比a3：a6=3：1故選：D．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．【變式4－1】（2019?六合區(qū)模擬）如圖，⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，P是弧AB上一點，則∠CPD的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．60°【分析】構(gòu)造圓心角，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半求得答案即可．【解析】連接OC，OD，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=360°6=∴∠CPD=12∠COD＝故選：A．【變式4－2】（2019?蘇州模擬）如圖，⊙O的半徑為6cm，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連結(jié)OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，則劣弧BD的長為（）A．4π B．3π C．2π D．1π【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理求出∠A＝60°，得出∠BOD＝120°，再由弧長公式即可得出答案．【解析】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCD＋∠A＝180°，∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，∴2∠A＋∠A＝180°，解得：∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴劣弧BD的長=120?π×6180=故選：A．【類型5】扇形和弧長面積【例5】如圖，邊長為2的正方形ABCD的四個頂點分別在扇形OEF的半徑OE、OF和EF上，且點A是線段OB的中點，則EF的長為（）A．55π B．54π C．【分析】連接OC，求出OB長，根據(jù)勾股定理求出OC，求出∠DOA，根據(jù)弧長公式求出即可．【解析】連接OC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°＝∠DAO，∵A為OB的中點，∴OB＝2AB＝4，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC=BC2∵A為OB的中點，AB＝AD＝2，∴OA＝AD＝2，∵∠DAO＝90°，∴∠DOA＝∠ADO＝45°，∴EF的長為45π×(25)故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，弧長公式，等知識點，能求出OC長和∠DOA的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【變式5－1】（2018?新吳區(qū)二模）把一張圓形紙片半徑為2，按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示祈痕，則劣弧BC的弧長是（）A．4π B．43π C．53π D．【分析】作OH⊥AB，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OH=12OA，AB∥【解析】作OH⊥AB于H，由折疊的性質(zhì)可知，OH=12OA，AB∥∴∠OAH＝30°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，即∠BOC＝150°，∴BC的弧長=150π×2180故選：C．【點睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、弧長的計算，掌握翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、弧長公式l=nπr【類型6】圓錐的有關(guān)計算【例6】（2019?海陵區(qū)校級三模）已知圓錐的底面圓半徑為3cm，高為4cm，則圓錐的表面積為cm2．【分析】首先求得底面的周長、面積，利用勾股定理求得圓錐的母線長，然后利用扇形的面積公式即可求得圓錐的側(cè)面積，加上底面面積就是表面積．【解析】底面周長是2×3π＝6πcm，底面積是：32π＝9πcm2．母線長是：32+則圓錐的側(cè)面積是：12×6π×5＝15πcm則圓錐的表面積為9π＋15π＝24πcm2．故答案是：24π．【點睛】本題考查了圓錐的計算，勾股定理，圓的面積公式，圓的周長公式和扇形面積公式求解．注意圓錐表面積＝底面積＋側(cè)面積＝π×底面半徑2＋底面周長×母線長÷2的應(yīng)用．【變式6－1】（2019?廣陵區(qū)校級二模）如圖，若從一塊半徑是6cm的圓形紙片圓O上剪出一個圓心角為60°的扇形（點A、B、C在圓O上），再將剪下的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓半徑是cm．【分析】連接OA，作OD⊥AB于點D，利用三角函數(shù)即可求得AD的長，則AB的長可以求得，然后利用弧長公式即可求得弧長，即底面圓的周長，再利用圓的周長公式即可求得半徑．【解析】連接OA，作OD⊥AB于點D．在直角△OAD中，OA＝6，∠OAD=12∠BAC＝30則AD＝OA?cos30°＝33．則AB＝2AD＝63，則扇形的弧長是：60π×63180=2設(shè)底面圓的半徑是r，則2π×1＝23π，解得：r=3故答案為：3．【變式6－2】（2019?姑蘇區(qū)校級二模）一圓錐的母線長為3，底面半徑為1，則該圓錐的側(cè)面積為．【分析】圓錐的側(cè)面積＝π×底面半徑×母線長；【解析】圓錐的側(cè)面積＝π×3×1＝3π；故答案為：3π．【類型7】圓的有關(guān)性質(zhì)和計算綜合問題【例7】（2019?如皋市一模）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與邊AC，BC分別交于點D，E，且弧DE＝弧BE，設(shè)∠ABD＝α，∠C＝β．（1）用含β的代數(shù)式表示α，并直接寫出β的取值范圍；（2）若AB＝10，BC＝12，求點O到弦BE的距離．【分析】（1）連接AE，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系解答即可；（2）作OF⊥BE，垂足為F，根據(jù)勾股定理解答即可．【解析】（1）連接AE．∵DE=∴∠CAE＝∠BAE＝∠BDE＝∠DBE．∴∠DAB＝2∠DBE．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°．∴∠DAB＋α＝∠DBE＋β＝90°．∴90°﹣α＝2（90°﹣β）．∴α＝2β﹣90°．β的取值范圍為45°＜β＜90°．（2）作OF⊥BE，垂足為F，則BF＝FE．∴OF=12∵∠ABC＝α＋（90°﹣β）＝2β﹣90°＋（90°﹣β）＝β，∴AB＝AC．∴BE＝EC=12在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE=12BC＝∴AE＝8．∴OF＝4．即點O到弦BE的距離為4．【點睛】本題主要考查了圓周角定理以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形進(jìn)行解答．【變式7－1】（2019?海安縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，PD恰好經(jīng)過圓心O，連接PB．（1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的周長；（2）若∠P＝∠D，點E是AB的一個四等分點嗎？為什么？【分析】（1）根據(jù)垂徑定理求出DE，根據(jù)勾股定理求出⊙O的半徑，即可求出答案；（2）求出PC=BC=BD，求出PC、BC、BD的度數(shù)是60°，求出∠P、∠D、∠BFE、∠OFE的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出【解析】（1）設(shè)⊙O的半徑為R，∵AB⊥CD，AB過O，CD＝8，∴∠OED＝90°，CE＝DE＝4，在Rt△OED中，由勾股定理得：OD2＝OE2＋DE2，R2＝（R﹣2）2＋42，解得：R＝5，即⊙O的半徑為5，∴⊙O的周長為2π×5＝10π；（2）若∠P＝∠D，點E是AB的一個四等分點，理由是：設(shè)PB和CD交于F，連接OF，∵AB⊥CD，AB過O，∴BC=∵∠P＝∠D，∴PC=∴PC=∵PD過O，∴PC、BC、BD的度數(shù)是13×180°=60∴∠P＝∠D＝30°，∴∠BFD＝∠P＋∠D＝60°，∵AB⊥CD，∴∠OEF＝∠FEB＝90°，∴∠FBE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠P＝∠D，∴PF＝DF，∵PO＝DO，∴∠PFO＝∠DFO=12×（180°﹣∠P﹣∠D）＝∴∠FOB＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠FBE，∴OF＝BF，∵CD⊥OB，∴OE＝BE，∵AO＝BO，∴點E是AB的一個四等分點，即當(dāng)∠P＝∠D時，點E是AB的一個四等分點．【變式7－2】（2019秋?贛榆區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD=BD，AC為直徑，DE⊥BC，垂足為（1）求證：CD平分∠ACE；（2）若AC＝8，CE＝3，求CD的長．【分析】（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理進(jìn)而得出∠DCE＝∠ACD，即可答案；（2）利用相似三角形的判定方法得出△DCE∽△ACD，進(jìn)而得出CD的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∵∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，∵AD=∴∠BAD＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠ADC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴CECD=CD∴CD=26【達(dá)標(biāo)檢測】1．（2019?鎮(zhèn)江）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，DC=CB．若∠C＝110°，則∠A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】A【解析】連接AC，∵四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵DC=∴∠CAB=12∠DAB＝35∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故選：A．2．（2019?宿遷）如圖，正六邊形的邊長為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個月牙形的面積之和（陰影部分面積）是（）A．63-π B．63-2π C．63+π D．6【答案】A【解析】6個月牙形的面積之和＝3π﹣（22π﹣6×12×2×3）＝故選：A．3．（2019?溫州）若扇形的圓心角為90°，半徑為6，則該扇形的弧長為（）A．32π B．2π C．3π D．6【答案】C【解析】該扇形的弧長=90?π?6180=故選：C．二．填空題（共10小題）4．（2019?淮安）若圓錐的側(cè)面積是15π，母線長是5，則該圓錐底面圓的半徑是．【答案】3【解析】設(shè)該圓錐底面圓的半徑是為r，根據(jù)題意得12×2π×r×5＝15π，解得r＝即該圓錐底面圓的半徑是3．故答案為3．5．（2019?常州）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，∠AOC＝120°，則∠CDB＝°．【答案】30．【解析】∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB=12∠BOC＝30故答案為30．6．（2019?泰州）如圖，⊙O的半徑為5，點P在⊙O上，點A在⊙O內(nèi)，且AP＝3，過點A作AP的垂線交⊙O于點B、C．設(shè)PB＝x，PC＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)表達(dá)式為．【答案】y=30【解析】連接PO并延長交⊙O于D，連接BD，則∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴PBPA∵⊙O的半徑為5，AP＝3，PB＝x，PC＝y(tǒng)，∴x3∴xy＝30，∴y=30故答案為：y=307．（2019?連云港）如圖，點A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，則⊙O的半徑為．【答案】6．【解析】∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等邊三角形∴OB＝BC＝6，故答案為6．8．（2019?泰州）如圖，分別以正三角形的3個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形．若正三角形邊長為6cm，則該萊洛三角形的周長為cm．【答案】6π．【解析】該萊洛三角形的周長＝3×60×π×6180=故答案為6π．9．（2019?鹽城）如圖，點A、B、C、D、E在⊙O上，且AB為50°，則∠E＋∠C＝°．【答案】155°，【解析】連接EA，∵AB為50°，∴∠BEA＝25°，∵四邊形DCAE為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠DEA＋∠C＝180°，∴∠DEB＋∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案為：155．10．（2019?揚州）如圖，AC是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，點B在AC上，且BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，若AB是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n＝．【答案】15．【解析】連接BO，∵AC是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOC＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正十邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15；故答案為：15．11．（2019?南通）已知圓錐的底面半徑為2cm，側(cè)面積為10πcm2，則該圓錐的母線長為cm．【答案】5【解析】設(shè)圓錐的母線長為Rcm，圓錐的底面周長＝2π×2＝4π，則12×4π×R＝10解得，R＝5（cm）故答案為：5．12．（2019?連云港）一圓錐的底面半徑為2，母線長3，則這個圓錐的側(cè)面積為．【答案】6π．【解析】該圓錐的側(cè)面積=12×2π×2×3＝故答案為6π．13．（2019?徐州）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝2cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長l為cm．【答案】6．【解析】圓錐的底面周長＝2π×2＝4πcm，設(shè)圓錐的母線長為R，則：120π×R180=4解得R＝6．故答案為：6．14．（2019?蘇州）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D是弧BC的中點，BC與AD、OD分別交于點E、F．（1）求證：DO∥AC；（2）求證：DE?DA＝DC2；（3）若tan∠CAD=12，求sin∠【解析】（1）因為點D是弧BC的中點，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）∵CD=∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DCA，∴CD2＝DE?DA；（3）∵tan∠CAD=12，連接BD，則BD＝∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE=DE設(shè)：DE＝a，則CD＝2a，而CD2＝DE?DA，則AD＝4a，∴AE＝3a，∴AEDE=而△AEC∽△DEF，即△AEC和△DEF的相似比為3，設(shè)：EF＝k，則CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD=1∴AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA=315．（2019?南京）如圖，⊙O的弦AB、CD的延長線相交于點P，且AB＝CD．求證：PA＝PC．【解答】證明：連接AC，∵AB＝CD，∴AB=∴A