專題1.4 求二次函數(shù)解析式?？碱愋停箢}型）（原卷版）

專題1.4求二次函數(shù)解析式?？碱愋停箢}型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1開放型】【題型2一般式】【題型3頂點(diǎn)式】【題型4兩根式】【題型5平移變換型】【題型6對(duì)稱變換型】【題型1開放型】【典例1】（2023?上海）一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是．【變式1-1】（2023?錫山區(qū)校級(jí)模擬）寫出一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）且開口向下的拋物線的解析式．【變式1-2】（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）請(qǐng)寫出一個(gè)以直線x＝3為對(duì)稱軸，且在對(duì)稱軸左側(cè)部分是下降的拋物線，這條拋物線的表達(dá)式可以是．（只要寫出一個(gè)符合條件的拋物線表達(dá)式）【題型2一般式】【方法點(diǎn)撥】當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個(gè)三元一次方程組，以求得a，b，c的值；【典例2】一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【變式2-1】（春?大連期末）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【變式2-2】（秋?埇橋區(qū)期末）二次函數(shù)圖象過A，C，B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB＝OC，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【變式2-3】（秋?荔城區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，過點(diǎn)A、C，D作拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），（0，4），求拋物線的解析式．【題型3頂點(diǎn)式】【方法點(diǎn)撥】若已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式．這頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對(duì)稱軸直線x=h，最值為當(dāng)x=h時(shí)，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).【典例3】（2022秋?澄海區(qū)期末）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣3），且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），則該拋物線的解析式為．【變式3-1】（2022秋?濟(jì)南期末）已知二次函數(shù)的最小值為﹣3，這個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2），且對(duì)稱軸為x＝2，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為．【變式3-2】（2023?肅州區(qū)校級(jí)開學(xué)）拋物線和y＝2x2的圖象開口方向、開口大小都相同，對(duì)稱軸平行于y軸，頂點(diǎn)為（﹣1，3），則該拋物線的解析式為．【變式3-3】（2022秋?黃驊市校級(jí)期中）若某二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝3x2相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），則它的表達(dá)式為．【題型4兩根式】【方法點(diǎn)撥】已知圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．【典例4】（2022秋?雄縣期末）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），（3，0）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，y的最大值與最小值的差；（3）若點(diǎn)P（﹣3，y1），Q（q，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，請(qǐng)直接寫出q的取值范圍．【變式4-1】（2023?荔灣區(qū)校級(jí)一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過D作x軸垂線交直線BC于E．（1）求此二次函數(shù)解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)．（2）連接CD，求三角形CDE的面積．（3）ax2+bx+c＞0時(shí)，x的取值范圍是．【變式4-2】（2023?南山區(qū)三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），且OB＝OC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，求△BCD的面積．【變式4-3】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線L：y＝ax2+x+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線L表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線L'與L關(guān)于x軸對(duì)稱．平移線段OC，使得點(diǎn)O恰好平移至拋物線L上一點(diǎn)P，點(diǎn)C恰好平移至拋物線L'上一點(diǎn)Q，請(qǐng)求出此時(shí)P、Q的坐標(biāo)．【題型5平移變換型】【方法點(diǎn)撥】將一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個(gè)新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當(dāng)圖像向左（右）平移n個(gè)單位時(shí)，就在x–h上加上（減去）n；當(dāng)圖像向上（下）平移m個(gè)單位時(shí)，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負(fù)，右、左移；k值正負(fù)，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．【典例5】將拋物線y＝x2﹣6x+5向上平移兩個(gè)單位長度，再向右平移一個(gè)單位長度后，求平移后的拋物線解析式．【變式5-1】（秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）將拋物線y＝2x2先向下平移3個(gè)單位，再向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，5），求新拋物線的表達(dá)式及新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式5-2】已知a+b+c＝0且a≠0，把拋物線y＝ax2+bx+c向下平移一個(gè)單位長度，再向左平移5個(gè)單位長度所得到的新拋物線的頂點(diǎn)是（﹣2，0），求原拋物線的表達(dá)式．【變式5-3】拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸正半軸交于A點(diǎn)，M（﹣2，m）在拋物線上，AM交y軸于D點(diǎn)，拋物線沿射線AD方向平移2個(gè)單位，求平移后的解析式．【題型6對(duì)稱變換型】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．【典例6-1】（2022秋?上城區(qū)月考）已知y＝﹣3（x﹣2）2﹣7將它的圖象沿著x軸對(duì)折后的函數(shù)表達(dá)式是．【典例6-2】（2022秋?漢陽區(qū)校級(jí)月考）拋物線y＝x2﹣6x+7繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線y＝ax2+bx+c，則a＝，b＝，c＝．【變式6-1】（2022秋?蕭山區(qū)月考）拋物線y＝（x+3）2﹣4關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線解析式為．【變式6-2】（2022秋?漢川市月考）若拋物線y＝ax2+c與y＝﹣4x2+3關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+c＝．【變式6-3】（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）把二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱后得到的圖象的函數(shù)關(guān)系式為．【變式6-4】（2021秋?閩侯縣期中）二次函數(shù)y＝2（x﹣3）2+1圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得新圖象的解析式為．【變式6-5】（202