母體平均數(shù)在小樣本下的假設(shè)檢定課件

假設(shè)檢定第10章第一節(jié)假設(shè)檢定原理假設(shè)的種類——一般假設(shè)對(duì)於一群體的未知特性，給予猜測(cè)性的描述，即為一般假設(shè)(generalhypothesis)。譬如：(1)新開發(fā)的燈泡可能品質(zhì)優(yōu)良。(2)新式教學(xué)法可能有助於學(xué)習(xí)。(3)新品種蘋果可能好吃。這些例子是我們常見的假設(shè)性描述，但其內(nèi)容中有些語詞不夠嚴(yán)謹(jǐn)，含意模糊且籠統(tǒng)，譬如燈泡的「品質(zhì)」是否指外型美觀、壽命長(zhǎng)，或光線柔和等；蘋果「好吃」是否指果肉脆或軟、果汁甜或香等，顯然語意交代不清。故，將一般假設(shè)敘述給予明確敘述的假設(shè)，稱之為研究假設(shè)(researchhypothesis)。第一節(jié)假設(shè)檢定原理假設(shè)的種類——研究假設(shè)(1)新開發(fā)的燈泡使用壽命比一般燈泡為長(zhǎng)。(2)新式教學(xué)法能提高全班學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)。(3)新品種蘋果的甜度低於一般蘋果。對(duì)照上一單元的一般假設(shè)，研究假設(shè)的用語不但明確，而且內(nèi)容具有可操作性。因此依此種假設(shè)，所發(fā)展出來的後續(xù)研究?jī)?nèi)容和方向，必然是一致的，不會(huì)再因人而異了。第一節(jié)假設(shè)檢定原理設(shè)立假設(shè)的原則1.對(duì)立假設(shè)是由研究假設(shè)直接發(fā)展而來，而且不含等號(hào)在內(nèi)的假設(shè)。對(duì)立假設(shè)是研究者想要支持的假設(shè)，以H1表示。譬如研究者想探討「新式燈泡平均使用壽命為，可以超過一般燈泡的使用壽命1,000小時(shí)」，其對(duì)立假設(shè)可寫成：

（不含等號(hào)）2.虛無假設(shè)是對(duì)立假設(shè)相反的假設(shè)，亦是研究者想要否定的假設(shè)，它含有等號(hào)在內(nèi)，以H0表示。譬如上述新式燈泡問題的虛無假設(shè)寫成：（含有等號(hào)）第一節(jié)假設(shè)檢定原理建立統(tǒng)計(jì)假設(shè)的參考原則通常研究者會(huì)依照問題的內(nèi)容提出兩個(gè)互斥的假設(shè)敘述，然後分派它們?yōu)樘摕o假設(shè)和對(duì)立假設(shè)。建立假設(shè)的步驟STEP1：依題意提出兩互斥假設(shè)敘述STEP2：分派兩互斥假設(shè)為H1和H0的原則第一節(jié)假設(shè)檢定原理

第一節(jié)假設(shè)檢定原理檢定的決策法則和錯(cuò)誤率假設(shè)檢定的最終目的，是要推斷出統(tǒng)計(jì)假設(shè)（虛無假設(shè)和對(duì)立假設(shè)）的真?zhèn)?。在進(jìn)行檢定工作時(shí)，研究者在心中先選定一個(gè)基準(zhǔn)值（又稱臨界值），並藉之推導(dǎo)出判斷假設(shè)真?zhèn)蔚囊?guī)則，我們稱之為「決策法則」。假設(shè)檢定乃根據(jù)樣本資料的訊息來作判斷，樣本資料是從母體隨機(jī)抽取，具有不確定性（因每一組樣本資料的個(gè)體不相同），抽樣誤差無法避免，此誤差我們稱之為「錯(cuò)誤率」。第一節(jié)假設(shè)檢定原理例2一盒中有A、B兩種外形且重量相同的硬幣各一枚，已知A為公正硬幣，其出現(xiàn)正面的機(jī)率為=0.5，B為不公正硬幣，其出現(xiàn)正面的機(jī)率為=0.7。今甲生從盒中隨意抽一枚硬幣（不知是A或B），連投20次，得到正面次數(shù)=18次。甲生將硬幣放回後，乙生也從盒中隨機(jī)抽取一枚硬幣，連投20次，得到正面次數(shù)=12次。請(qǐng)王老師作以下判斷：檢定甲生所投的硬幣是否公正（即p=0.5）？其錯(cuò)誤率為多少？檢定乙生所投的硬幣是否公正（即p=0.5）？其錯(cuò)誤率為多少？第一節(jié)假設(shè)檢定原理1.投公正硬幣之機(jī)率分配(1)若硬幣為公正，其出現(xiàn)正面的機(jī)率為=0.5，連投20次，令出現(xiàn)正面次數(shù)為X，則X的期望值為：

（次）X的可能值為0,1,2,…,20，其機(jī)率分配如表10-1所示：表10-1

p=0.5,n=20下之機(jī)率分配（查附表一）第一節(jié)假設(shè)檢定原理(2)表10-1和圖10-1是基於一枚公正硬幣(p=0.5)，連投20次的機(jī)率分配之結(jié)果。令P是投出正面次數(shù)17次或以上（即X≥17）的累積機(jī)率為：

P(X≥17｜p=0.5)=0.001反之，投出正面次數(shù)在17次以下（不含17，即X<17）的累積機(jī)率為：

P(X<17｜p=0.5)=1-P(X≥17)

=1-0.001

=0.999圖10-1在p=0.5時(shí),p(X<17)和p(X≥17)的機(jī)率第一節(jié)假設(shè)檢定原理(3)連投公正硬幣20次，出現(xiàn)正面17次或以上的累積機(jī)率P(X≥17)=0.001，僅千分之一而已，機(jī)率值非常低，不過，如果我們因其機(jī)率低，就因而推斷此硬幣不是公正的（即p≠0.5），顯然這樣的推論是錯(cuò)誤的，其錯(cuò)誤率為0.001，請(qǐng)讀者注意之。2.投不公正硬幣之機(jī)率分配(1)若硬幣為不公正，其出現(xiàn)正面的機(jī)率為pB=0.7，連投20次。令出現(xiàn)正面次數(shù)為X，則X的機(jī)率分配如表10-2，其期望值為：

E(X)=μ=n×pB=20×0.7=14第一節(jié)假設(shè)檢定原理(2)表10-2和圖10-2是基於一枚不公正硬幣(p=0.7)，連投20次的機(jī)率分配表，令投出正面次數(shù)在17次以下（不含17，即X<17）的累積機(jī)率為：

P(X<17｜p=0.7)=P(X≤16｜p=0.7)=0.893連投20次得到正面次數(shù)在17次或以上(X≥17)的累積機(jī)率為：

P(X≥17｜p=0.7)=1-P(X<17)=1-0.893=0.107表10-2

p=0.7,n=20下之機(jī)率分配第一節(jié)假設(shè)檢定原理3.決策的臨界點(diǎn)和規(guī)則圖10-2在p=0.7時(shí),p(X<17)和p(X≥17)的機(jī)率第一節(jié)假設(shè)檢定原理4.決策錯(cuò)誤的機(jī)率計(jì)算(1)王老師基於硬幣公正的角度，看到甲生投出正面18次，因大於臨界值C（17次正面），故王老師依他預(yù)定的決策法則，拒絕H0成立，所以他判斷硬幣不公正，換句話說，拒絕硬幣的參數(shù)（機(jī)率p）等於0.5。而此判斷的錯(cuò)誤率為：

P(X≥17｜p=0.5)=0.001(2)當(dāng)王老師基於硬幣公正的角度看到乙生投出12次正面，因小於臨界值C，因此推論乙生所投的硬幣是公正的，接受虛無假設(shè)p=0.5成立。反之，若乙生所持硬幣是不公正的，即pB=0.7，那麼王老師所作的判斷就錯(cuò)誤了，此時(shí)的錯(cuò)誤率為：

P(X≤16｜p=0.7)=0.893第一節(jié)假設(shè)檢定原理(3)由此可知，當(dāng)投出硬幣的X值大於或等於臨界值C，則拒絕虛無假設(shè)，可能錯(cuò)誤率為0.001，我們稱之為型Ⅰ錯(cuò)誤(typeⅠerror)；當(dāng)X值小於臨界值C，則接受虛無假設(shè)，可能錯(cuò)誤率為0.893，我們稱之為型Ⅱ錯(cuò)誤(typeⅡerror)。第一節(jié)假設(shè)檢定原理5.歸納和結(jié)論(1)假設(shè)檢定是在虛無假設(shè)為真的前提下，發(fā)展出機(jī)率分配。(2)決策法則：假設(shè)檢定是以臨界值C作為判斷的基點(diǎn)。當(dāng)X大於或等於臨界值C的區(qū)域，即X落入拒絕域(rejectionregion)內(nèi)，則拒絕H0為真，此時(shí)的可能犯錯(cuò)稱為型Ⅰ錯(cuò)誤；當(dāng)X小於臨界值C，即X落入接受域(acceptanceregion)內(nèi)，則接受H0為真，此時(shí)的可能犯錯(cuò)稱為型Ⅱ錯(cuò)誤。

(3)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把型Ⅰ錯(cuò)誤的錯(cuò)誤率，稱為顯著水準(zhǔn)(significantlevel)，又稱作α；而把型Ⅱ錯(cuò)誤的錯(cuò)誤率，稱作β。第一節(jié)假設(shè)檢定原理型Ⅰ錯(cuò)誤率α和型Ⅱ錯(cuò)誤率β的關(guān)係表10-3第一節(jié)假設(shè)檢定原理α值和β值之決定決定α值、β值的原則是：先選定型Ⅰ錯(cuò)誤率α值在可容忍的水準(zhǔn)內(nèi)，然後再選型Ⅱ錯(cuò)誤率β值，並讓?duì)轮涤∮?。?yīng)用在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，α值通常分為三級(jí)：(1)α=0.01，稱極顯著。(2)α=0.05，稱很顯著。(3)α=0.10，稱顯著。第一節(jié)假設(shè)檢定原理假設(shè)檢定的三種形式1.右尾檢定(right-tailedtest)譬如某校宣稱新的英文訓(xùn)練課程使學(xué)生平均成績(jī)?chǔ)谈哽兑话銓W(xué)生平均（300分），則對(duì)立假設(shè)為：圖10-4右尾檢定第一節(jié)假設(shè)檢定原理2.左尾檢定(left-tailedtest)譬如新降血壓藥有效，即能使病人血壓降低。假設(shè)未服藥病人之血壓μ0=120，服藥後之血壓為μ，則對(duì)立假設(shè)為：圖10-4左尾檢定第一節(jié)假設(shè)檢定原理3.雙尾檢定(two-tailedtest)譬如工廠新機(jī)器製造的工件長(zhǎng)度等於0.001m，則對(duì)立假設(shè):H1：μ≠0.001是屬於雙尾檢定，如圖10-6所示：圖10-5雙尾檢定第一節(jié)假設(shè)檢定原理假設(shè)檢定的過程一般而言，我們可以應(yīng)用下列五步驟來進(jìn)行假設(shè)檢定的工作：(1)擬定虛無假設(shè)和對(duì)立假設(shè)。(2)選擇合適的檢定統(tǒng)計(jì)量（式）。(3)選定顯著水準(zhǔn)和臨界值，並擬定決策法則。(4)依據(jù)樣本資料，計(jì)算檢定統(tǒng)計(jì)量值。(5)比較與結(jié)論：比較檢定統(tǒng)計(jì)量值和決策法則，判斷拒絕或接受虛無假設(shè)。第一節(jié)假設(shè)檢定原理母體平均數(shù)μ假設(shè)檢定的原理和決策法則Z值檢定(Z-test)的原理是：第一節(jié)假設(shè)檢定原理Z值檢定的臨界值和決策法則1.左尾檢定圖10-7左尾檢定的左邊為拒絕域第一節(jié)假設(shè)檢定原理2.右尾檢定圖10-8右尾檢定的右邊為拒絕域第一節(jié)假設(shè)檢定原理3.雙尾檢定圖10-9雙尾檢定的兩邊為拒絕域第二節(jié)母體平均數(shù)在大樣本下的假設(shè)檢定

依樣本平均數(shù)的抽樣分配為：第二節(jié)母體平均數(shù)在大樣本下的假設(shè)檢定(1)路徑①：母體分配型態(tài)不拘，在大樣本(n≥30)下，當(dāng)已知，則樣本平均數(shù)可標(biāo)準(zhǔn)化成標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配。因此μ的

假設(shè)檢定是，以作為檢定統(tǒng)計(jì)量，稱之為「

Z檢定」。

(2)路徑②：母體分配型態(tài)不拘，在大樣本(n≥30)下，當(dāng)未知，則以樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替，此時(shí)照樣可標(biāo)準(zhǔn)化成Z，因此μ的假設(shè)檢定是以作為檢定統(tǒng)計(jì)量，此時(shí)也稱為「Z檢定」。第三節(jié)P值檢定P值檢定的概念樣本平均數(shù)值、標(biāo)準(zhǔn)值Z值和顯著水準(zhǔn)α值，三者的尺度單位不同，所以我們是無法比較、Z和α三者的大小關(guān)係。不過，如果能把它們轉(zhuǎn)化成同一單位，就可以比較其大小了。

(1)把轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)值Z。

(2)已知顯著水準(zhǔn)α，再透過查表獲得臨界值。

(3)因?yàn)橛?jì)算的Z值和查表的臨界值，兩者是同樣的尺度單位，故可比較它們的大小。

(4)最後藉由比較Z和之差距，然後作決策。第三節(jié)P值檢定另一種檢驗(yàn)法「P值檢定」，也是應(yīng)用上述「相同單位才能比較的原理」，來比較和α的大小關(guān)係，其作法是：圖10-12將轉(zhuǎn)化成Z值、α值查表得Zα值，再比較大小第三節(jié)P值檢定

(1)把樣本平均數(shù)，轉(zhuǎn)化成Z值，再把Z值透過查表轉(zhuǎn)化成機(jī)率P值。

(2)原訂的顯著水準(zhǔn)值α，因?qū)贆C(jī)率值，維持不變。(3)因?yàn)檗D(zhuǎn)化的P值和α值是一樣的單位尺度，故可以比較兩者的大小關(guān)係。圖10-13把轉(zhuǎn)化成p值，再與α值比較第三節(jié)P值檢定P值檢定的原理1.左尾檢定在H1:μ<μ0下，把轉(zhuǎn)化成P值：

P值=P()（為樣本平均值）圖10-14把轉(zhuǎn)化成p值第三節(jié)P值檢定2.右尾檢定在H1:μ>μ0下，把轉(zhuǎn)化成P值：P值=P()（為樣本平均值）圖10-15把轉(zhuǎn)化成p值第三節(jié)P值檢定3.雙尾檢定在H1:μ≠μ0下，把轉(zhuǎn)化成P值：(1)當(dāng)時(shí)，在右尾，P()=，則：P值=2×P()(2)當(dāng)時(shí)，在左尾，P()=，則：

P值=2×P()圖10-16把轉(zhuǎn)化成p值第四節(jié)母體平均數(shù)在小樣本下的假設(shè)檢定母體常態(tài)且小樣本第四節(jié)母體平均數(shù)在小樣本下的假設(shè)檢定(1)路徑①：在常態(tài)母體、小樣本、已知等三必要條件下，轉(zhuǎn)換成Z值：所以μ的假設(shè)檢定，將以作為檢定統(tǒng)計(jì)量，稱之為Z值檢定。第四節(jié)母體平均數(shù)在小樣本下的假設(shè)檢定(2)路徑②：在常態(tài)母體、小樣本、未知等三必要條件下，轉(zhuǎn)換成t值：所以μ的假設(shè)檢定，將以作為檢定統(tǒng)計(jì)量，稱之為Z值檢定。第四節(jié)母體平均數(shù)在小樣本下的假設(shè)檢定綜合結(jié)論母數(shù)μ之樣本檢定統(tǒng)計(jì)量的抽樣分配：第四節(jié)母體平均數(shù)在小樣本下的假設(shè)檢定

第四節(jié)母體平均數(shù)在小樣本下的假設(shè)檢定路徑②：t分配的必要條件是：(1)母體為常態(tài)分配或母體為非常態(tài)分配在大樣本下，樣本為常態(tài)分配。(2)未知。(3)大樣本時(shí)，因?yàn)?，以取代，因此?biāo)準(zhǔn)化成Z，趨近於標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配，故t分配和Z分配相接近。路徑④：當(dāng)小樣本時(shí)，和相差大，所以必須採(cǎi)用t分配。第五節(jié)母體比率的假設(shè)檢定母體比率p的假設(shè)檢定大樣本從一母體中抽取含樣本數(shù)n的一組樣本，令其含有某一特質(zhì)的個(gè)數(shù)為X，則形成樣本比率為：當(dāng)樣本數(shù)夠大，即np>5且n(1-p)>5時(shí)，的抽樣分配為常態(tài)分配，即：其中。第五節(jié)母體比率的假設(shè)檢定標(biāo)準(zhǔn)化之後，就成為Z值，是標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配：由以上可得，當(dāng)檢定母體p時(shí)，可採(cǎi)用Z值檢定，而其檢定統(tǒng)計(jì)量為：第六節(jié)母體變異數(shù)的假設(shè)檢定樣本變異數(shù)的抽樣分配為何呢？依單元8-78所述，若母體是常態(tài)分配時(shí)，即：從中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本數(shù)的一組樣本，求得樣本標(biāo)準(zhǔn)差，經(jīng)轉(zhuǎn)化成統(tǒng)計(jì)量，則成為卡方分配，如下：以此統(tǒng)計(jì)量作為檢定統(tǒng)計(jì)量，就可以進(jìn)行母體變異數(shù)的假設(shè)檢定。茲以下一單元的例子來說明的假設(shè)檢定過程。第七節(jié)應(yīng)用SPSS求單一樣本

平均數(shù)的假設(shè)檢定

例12由某校隨機(jī)抽取10名學(xué)生，測(cè)其身高與體重，得資料如表10-4。試檢定全校學(xué)生體重在α=0.1之下，是否不同於一般學(xué)生體重46公斤。解1.擬定統(tǒng)計(jì)假設(shè)表10-4

第七節(jié)應(yīng)用SPSS求單一樣本

平均數(shù)的假設(shè)檢定2.SPSS操作步驟(1)開啟SPSS，進(jìn)入「變數(shù)檢視」工作表（圖10-24）。然後定義各「變數(shù)」的所有屬性。(2)性別變數(shù)：在「名稱」格輸入「sex」；在「類型」格選擇「字串」；在「標(biāo)記」格輸入「性別」；在「數(shù)值」格輸入「1」為「男生」，「2」為「女生」。身高變數(shù)：在「名稱」格輸入「height」；在「標(biāo)記」格輸入「身高」。體重變數(shù)：在「名稱」格輸入「weight」；在「標(biāo)記」格輸入「體重」。

未經(jīng)設(shè)定的屬性，則採(cǎi)用系統(tǒng)「內(nèi)定值」。(3)按左下角切換標(biāo)籤（圖10-24

），轉(zhuǎn)換叫出「資料檢視」工作表（圖10-25）。第七節(jié)應(yīng)用SPSS求單一樣本

平均數(shù)的假設(shè)檢定

圖10-24界定各變數(shù)的屬性

第七節(jié)應(yīng)用SPSS求單一樣本

平均數(shù)的假設(shè)檢定STEP2：輸入資料把例11中表10-4的數(shù)值資料，輸入「資料檢視」表內(nèi)的儲(chǔ)存格（圖10-25）。圖10-25輸入數(shù)值資料

第七節(jié)應(yīng)用SPSS求單一樣本

平均數(shù)的假設(shè)檢定STEP3：點(diǎn)選分析法：?jiǎn)我粯颖綯檢定(1)在功能表列，依圖10-26所示，點(diǎn)選「分析」→「比較平均數(shù)法」→「單一樣本T檢定」。(2)開