基本初等函數(shù)歸納總結(jié)

函數(shù)的概念1.映射設(shè)A，B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法那么f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有惟一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的單值對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的映射〔mapping〕，記作f:A→B.給定一個(gè)集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．學(xué)習(xí)映射時(shí)需注意：映射只要求“對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有惟一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)〞，即對(duì)于Ａ中的每一個(gè)原象在Ｂ中都有象，至于Ｂ中的元素在Ａ中是否有原象，以及有原象時(shí)原象是否惟一等問題是不需要考慮的。例、給出以下四個(gè)對(duì)應(yīng)，其中構(gòu)成映射的是〔〕A．只有①，②B．只有①，④C．只有①，②，④D．只有④分析:對(duì)于集合Ａ到集合Ｂ的映射，集合Ａ中的每一個(gè)原象在Ｂ中都有象，至于Ｂ中的元素在Ａ中是否有原象，以及有原象時(shí)原象是否惟一等問題是不需要考慮的。簡(jiǎn)單來說，可以一對(duì)一，多對(duì)一，但是不能一對(duì)多。故只有①和④滿足映射的定義，應(yīng)選Ｂ〔2000年江西〕設(shè)集合A和B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集，映射把集合A中的元素映射成集合B中的元素，那么在映射下，象〔2，1〕的原象是〔〕A.〔3，1〕B.〔〕C.〔〕D.〔1，3〕解析：象為集合B中的元素，所以有，解得：，應(yīng)選B。2.函數(shù)一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法那么f,對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng),這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)(function),通常記為y=f(x),x∈A.A稱為函數(shù)的定義域(domain),y的集合稱為函數(shù)的值域(range).即函數(shù)是由一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集的映射.注意：定義域、對(duì)應(yīng)法那么是函數(shù)的兩大要素,值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法那么所確定的第三要素.對(duì)應(yīng)法那么是函數(shù)的核心。3.函數(shù)的表示法：下面三種表示方法都有各自的優(yōu)點(diǎn)，要根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)。解析法：簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系；還可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.列表法：直觀形象地表示自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢(shì).圖象法：不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.4.分段函數(shù)在定義域的不同局部上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。重難點(diǎn)歸納對(duì)于函數(shù)的概念，必須明白以下兩點(diǎn)：①定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是決定函數(shù)的三要素，這是一個(gè)整體。②函數(shù)記號(hào)y=f(x)的內(nèi)涵。同時(shí)也應(yīng)用具體的函數(shù)說明符號(hào)“y=f(x)〞為“y是x的函數(shù)〞這句話的數(shù)學(xué)表示，它僅僅是函數(shù)符號(hào)，并不表示“y等于f與x的乘積〞；符號(hào)f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系，f(a)表示當(dāng)自變量x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)。在一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值。2.求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些根本函數(shù)通過四那么運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各局部都有意義的x的值組成的集合.(6)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.b.下面四組函數(shù)f(x)與g(x)中，表示同一函數(shù)的是〔〕A．B．C．D．分析：當(dāng)兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)法那么與定義域都相同時(shí)，兩函數(shù)表示同一函數(shù)，而與表示變量的字母無關(guān).A不是，f(x)的定義域?yàn)镽，g(t)的定義域?yàn)閇0，＋∞〕；B不是，f(x)的定義域?yàn)閇1，＋∞〕，g(x)的定義域?yàn)閇－∞，－1]∪[1，＋∞〕.C不是，定義域、值域雖都相同，但對(duì)應(yīng)法那么不同.應(yīng)選Ｄ.c.設(shè)M={0|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，給出以下4個(gè)圖形，其中能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有〔〕ABCD解析：函數(shù)必須是一對(duì)一對(duì)應(yīng)，并且定義域、值域必須在給定的集合內(nèi)取值。按照函數(shù)定義分析可得：A中使M中的元素x(1≤x≤2)無象；C中使M中的元素2的象不在N中；而D中使M中的元素x(1≤x≤2)的象不唯一.應(yīng)選B.d.求函數(shù)的定義域.分析：對(duì)于函數(shù)⑴，當(dāng)g(x)≠0時(shí)，分式有意義；當(dāng)h(x)≥0時(shí)，二次根式有意義；當(dāng)p(x)≠0時(shí)，(p(x))0有意義.因此，求函數(shù)定義域問題可轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集問題來處理.解：要使函數(shù)f(x)有意義，有∴原函數(shù)的定義域?yàn)椤玻?，0〕.〔2006高考陜西卷〕函數(shù)f(x)=(x∈R)的值域是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]分析：可以用排除法，首先f(x)不可能等于0，所以排除C、D，在當(dāng)x等于0時(shí)f(x)=1，排除A。也可以直接求解，，所以，故，應(yīng)選B。函數(shù)的根本性質(zhì)一、重難點(diǎn)知識(shí)歸納1、函數(shù)的單調(diào)性〔1〕定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳：區(qū)間，如果對(duì)于區(qū)間I上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù).區(qū)間I稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間;如果對(duì)于區(qū)間I上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間I稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上可能是減函數(shù)，因此函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).〔2〕圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.〔3〕判定方法①定義法：1)取值：對(duì)任意，且；2)作差：；3)變形:把差化為乘積或平方和的形式4)判定差的正負(fù)；5)根據(jù)判定的結(jié)果作出相應(yīng)的結(jié)論.②圖象法例1、假設(shè)函數(shù)f(x)=ax2＋2(a－1)x＋b在區(qū)間〔－∞，4〕上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕A．[0，＋∞〕B．{}C．〔0，]D．[0，]例2、〔2000年高考題〕設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題：①假設(shè)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，那么-單調(diào)遞增②假設(shè)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，那么-單調(diào)遞增③假設(shè)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，那么-單調(diào)遞減④假設(shè)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，那么-單調(diào)遞減其中，正確的命題是〔〕A．②③B．①④C．①③D．②④分析：假設(shè)，同增，那么+在其定義域上為增；假設(shè)，同減，那么+在其定義域上為減；而它們的差那么不能判定，那么可以排除①④；對(duì)于②，假設(shè)單調(diào)遞減，那么-單調(diào)遞增，那么遞增；同理可知③也正確。應(yīng)選A.2、函數(shù)的最值〔1〕定義：一般地，設(shè),如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的，都有②存在，使得那么，我們稱M是函數(shù)的最大值同理，設(shè),假設(shè)存在實(shí)數(shù)M滿足:①對(duì)于任意的，都有②存在，使得我們稱M是函數(shù)的最小值〔2〕注意：①函數(shù)最大〔小〕首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在，使得；②函數(shù)最大〔小〕應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大〔小〕的，即對(duì)于任意的，都有．〔3〕求函數(shù)最值的常用方法有：①配方法：即將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的最值．②換元法：通過變量式代換轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值．③數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法求出最值例3、某商品在最近30天內(nèi)的價(jià)格f(t)與時(shí)間t〔單位：天〕的函數(shù)關(guān)系是f(t)=t＋10〔0<t≤30，t∈N〕，銷售量g(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)=－t＋35〔0<t≤30，t∈N〕，那么這種商品的日銷售金額的最大值是______________.例4、函數(shù)的最大值是_______.〔99年上?！撤治觯捍撕瘮?shù)為一分段函數(shù)，可以分三步進(jìn)行，分別求出三段解析式的最大值再比擬取之。因?yàn)椋杂?，，所以有而綜合得，函數(shù)的最大值為4。3、函數(shù)奇偶性〔1〕定義:如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(evenfunction).如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(oddfunction).如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).〔2〕圖象特點(diǎn)：偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〔3〕判定方法：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，假設(shè)不對(duì)稱那么函數(shù)是非奇非偶函數(shù).假設(shè)對(duì)稱，①再根據(jù)定義判定;②有時(shí)判定比擬困難，可考慮根據(jù)是否有或來判定;③利用定理或借助函數(shù)圖象判定.例5、假設(shè)y=f(x)是奇函數(shù)，那么以下坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在y=f(x)圖象上的是〔〕A．(a，-f(a))B．(-a，-f(a))C．(-a，-f(-a))D．(a，f(-a))例6．函數(shù).〔1〕用定義證明該函數(shù)在上是減函數(shù)；〔2〕判斷該函數(shù)的奇偶性.例7、函數(shù)是奇函數(shù)，且.〔1〕求函數(shù)f(x)的解析式；〔2〕判斷函數(shù)f(x)在〔0，1]上的單調(diào)性，并加以證明.1、在區(qū)間〔－∞，0〕上為增函數(shù)的函數(shù)是〔〕A．y=|x＋1|B．y=－x2－2x＋2C．D．2、函數(shù)f(x)=4x2－mx＋5在[－2，＋∞〕上是增函數(shù)，在〔－∞，－2]上是減函數(shù)，那么f(1)的值為〔〕A．－7B．1C．17D3、二次函數(shù)f(x)=ax2＋bx＋c〔a>0〕滿足，那么f(x)在[－2，3]上有〔〕A．最大值f(－2)，最小值B．最大值，最小值f(－2)C．最大值f(3)，最小值D．最大值，最小值f(3)4、以下函數(shù)中，不是偶函數(shù)的是〔〕A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x5、假設(shè)f(x)在[－5，5]上是奇函數(shù)，且f(3)＜f(1)，那么〔〕A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、重難點(diǎn)知識(shí)歸納1．冪的概念的推廣，對(duì)于指數(shù)式來說，當(dāng)指數(shù)x取各種不同的有理數(shù)時(shí)，式子的定義如下〔m，n∈N，n>1〕；〔1〕正整數(shù)指數(shù)冪〔2〕零指數(shù)冪：〔a≠0〕；〔3〕負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：〔4〕分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：2．實(shí)數(shù)的指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)〔其中a>0，b>0，m、n為實(shí)數(shù)〕；〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕3．根式(1)定義假設(shè)〔，n>1〕，那么稱x為a的n次方根當(dāng)n=2，n=3時(shí)，上述定義就是我們?cè)诔踔袑W(xué)過的平方根、立方根．假設(shè)n為奇數(shù)，用符號(hào)表示a的n次方根，這時(shí)．假設(shè)n為偶數(shù)，那么要求a≥0，用符號(hào)表示a的n次方根．(2)性質(zhì)①②③〔n為大于1的奇數(shù)〕④〔n是不等于零的偶數(shù)〕4.指數(shù)函數(shù)定義一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量．函數(shù)的定義域是R，指數(shù)函數(shù)的值域是．5．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地，指數(shù)函數(shù)在底數(shù)a>1及0<a<1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示：a>10<a<1圖象性質(zhì)〔1〕定義域：R〔2〕值域：〔0，+∞〕〔3〕過點(diǎn)〔0，1〕，即x=0時(shí),y=1〔4〕在R上是增函數(shù)〔4〕在R上是減函數(shù)6.利用函數(shù)單調(diào)性比擬兩實(shí)數(shù)大小，首先要通過觀察分析，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來，對(duì)于冪形數(shù)，假設(shè)同指數(shù)不同底數(shù)，那么考慮冪函數(shù)，假設(shè)同底數(shù)不同指數(shù)，那么考慮指數(shù)函數(shù)；其次比擬大小時(shí)不僅要注意函數(shù)的單調(diào)性，還要注意冪形數(shù)比大小的兩數(shù)是否都在同一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，否那么無法比擬大?。?.

(1)化簡(jiǎn).(2)計(jì)算.解：(1)原式(2)原式.a.化簡(jiǎn)的結(jié)果為〔〕A．5B．C．－D．－5例2．假設(shè)的值．分析：先由求得x再代入所求式子，可以求出值，但較為麻煩，能否不求x，利用整體代換呢？觀察所求式子的特點(diǎn)，可由兩邊平方，三次方求出所求式子分母、分子的值．解：由兩邊平方得，再平方得，由兩邊立方得，∴，∴例3．如圖是指數(shù)函數(shù)〔1〕〔2〕，〔3〕〔4〕的圖象，那么a,b,c,d與1的大小關(guān)系是〔〕A．B．C．D．分析：可先分兩類：〔3〕、〔4〕的底數(shù)一定大于1，〔1〕、〔2〕的底數(shù)小于1，然后再由〔3〕〔4〕中比擬c,d的大小，由〔1〕〔2〕中比擬a,b的大?。夥?：當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖象向上越靠近于y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近于x軸．解法2：令x=1，由圖知：∴b<a<1<d<c．應(yīng)選B.例4．，求函數(shù)的最大值和最小值.分析：此函數(shù)為一個(gè)指數(shù)函數(shù)和一個(gè)二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，處理這類問題的根本方法是用換元法轉(zhuǎn)化為區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題．解：設(shè)∵∴且，∴當(dāng)t=3,即x=1時(shí)，f(x)取最大值12，當(dāng)t=9,即x=2時(shí)，f(x)取最小值－24.b．如果函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么有〔〕A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)<bC．a(chǎn)b=1D．a(chǎn)與b無確定關(guān)系c．假設(shè)=__________．d．函數(shù)y=的定義域是〔－∞，0］，那么a的取值范圍是__________．對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)一、重難點(diǎn)知識(shí)歸納1．對(duì)數(shù)〔1〕對(duì)數(shù)的定義：如果，那么數(shù)x叫做以a為底Ｎ的對(duì)數(shù)，記作．其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．〔2〕指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系：〔a＞0，a≠1，N＞0〕.兩個(gè)式子表示的a、x、N三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是一樣的，并且可以互化.〔3〕對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，且a1，b>0，且b≠1，M>0，N>0，那么：①②③④對(duì)數(shù)換底公式：⑤⑥⑦⑧2．對(duì)數(shù)函數(shù)〔1〕定義：一般地，我們把函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是.〔2〕對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式定義域值域函數(shù)值變化情況當(dāng)a>1時(shí)當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)a>1時(shí)當(dāng)0<a<1時(shí)，單調(diào)性當(dāng)a>1時(shí)，是增函數(shù)當(dāng)0<a<1時(shí)，是減函數(shù)當(dāng)a>1時(shí)，是增函數(shù)當(dāng)0<a<1時(shí)，是減函數(shù)圖象的圖象與的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱例1．對(duì)于a>0，a≠1，以下說法中，正確的選項(xiàng)是〔〕①假設(shè)M＝N，那么；②假設(shè)，那么M＝N；③假設(shè)，那么M＝N；