第04講二次函數(shù)的實際應用與綜合（原卷版）

第04講二次函數(shù)的實際應用課程標準學習目標①待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式②二次函數(shù)的實際應用根據(jù)題目的已知條件設二次函數(shù)的不同形式解決求二次函數(shù)解析式的題目。學會利用二次函數(shù)解決實際問題。能夠熟練掌握二次函數(shù)的綜合題目。知識點01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式二次函數(shù)的三種形式：一般式：。頂點式：。兩點式：。待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟：設函數(shù)解析式：根據(jù)已知條件設函數(shù)解析式。特別說明：若已知條件為任意三點則設一般式。若已知條件為頂點坐標或?qū)ΨQ軸則設頂點式。若已知條件為與x軸的交點坐標則設兩點式。找點：找函數(shù)圖像上的點。帶入：把點帶入函數(shù)解析式得到方程。求解方程。反帶入：把求出的字母的值帶入解析式。題型考點：①計算根的判別式的值判斷方程的根的情況。②根據(jù)方程的根的情況求值【即學即練1】1．根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)關系式．（1）已知拋物線的頂點是（﹣1，﹣2），且過點（1，10）；（2）已知拋物線過三點：（0，﹣2），（1，0），（2，3）．【即學即練2】2．求經(jīng)過A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三點的拋物線解析式．知識點02二次函數(shù)的實際應用二次函數(shù)與圖形面積問題：【即學即練1】3．如圖是一個迷宮游戲盤的局部平面簡化示意圖，該矩形的長、寬分別為5cm，3cm，其中陰影部分為迷宮中的擋板，設擋板的寬度為xcm，小球滾動的區(qū)域（空白區(qū)域）面積為ycm2，則下列所列方程正確的是（）A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝（5﹣x）（3﹣x） C．y＝3x+5x D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2【即學即練2】4．某家禽養(yǎng)殖場，用總長為200m的圍欄靠墻（墻長為65m）圍成如圖所示的三塊矩形區(qū)域，矩形EAGH與矩形HGBF面積相等，矩形EAGH面積等于矩形DEFC面積的二分之一，設AD長為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？（3）現(xiàn)需要在矩形EAGH和矩形DEFC區(qū)域分別安裝不同種類的養(yǎng)殖設備，單價分別為40元/平方米和20元/平方米，若要使安裝成本不超過30000元，請直接寫出x的取值范圍．知識點03二次函數(shù)的實際應用二次函數(shù)中的商品銷售問題：【即學即練1】5．某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷一種銷售成本為40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少10千克．設每千克漲x元，月銷售利潤為y元，則y與x的函數(shù)關系式為（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x+40）（10x﹣500） C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）] D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【即學即練2】6．某商場經(jīng)營一種小商品，已知進購時單價是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是30元時，月銷售量為240件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件商品的售價不能高于40元．當月銷售利潤最大時，銷售單價為（）A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元【即學即練3】7．開福車間生產(chǎn)以甲、乙兩種水果為原料的某種罐頭，在一次進貨中得知，花費18000元購進的甲種水果與24000元購進的乙種水果質(zhì)量相同，乙種水果每千克比甲種水果多2元．（1）求甲、乙兩種水果的單價；（2）車間將水果制成罐頭投入市場進行售賣，已知一聽罐頭的總成本為15元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，以28元的定價進行銷售，每天只能賣出3000聽，超市對它進行促銷，每降低1元，平均每天可多賣出1000聽，當售價為多少元時，利潤最大？最大利潤為多少？知識點04二次函數(shù)的實際應用二次函數(shù)在建筑中的實際應用：【即學即練1】8．圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關系式是（）第8題第9題A．y＝﹣2x2 B．y＝2x2 C．y＝﹣x2 D．y＝x2【即學即練2】9．如圖，從某建筑物10m高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直）．如果拋物線的最高點M離墻1m，離地面m，則水流落地點B離墻的距離OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m【即學即練3】10．如圖，某城區(qū)公園有直徑為7m的圓形水池，水池邊安有排水槽，在中心O處修噴水裝置，噴出水呈拋物線狀，當水管OA高度在6m處時，距離OA水平距離1m處噴出的水流達到最大高度為8m．（1）求拋物線解析式，并求水流落地點距離O點的距離；（2）若不改變（1）中拋物線的形狀和對稱軸，若使水流落地點恰好落在圓形水池邊排水槽內(nèi)（不考慮邊寬），則如何調(diào)節(jié)水管OA的高度？知識點05二次函數(shù)的實際應用二次函數(shù)與動點問題：【即學即練1】11．正方形ABCD中，AB＝4，P為對角線BD上一動點，F(xiàn)為射線AD上一點，若AP＝PF，則△APF的面積最大值為（）A．8 B．6 C．4 D．2【即學即練2】12．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6mm，BC＝12mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過（）秒，四邊形APQC的面積最小． C．3 D．4【即學即練3】12．如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是邊AB上的動點，過點P作PQ⊥AB交射線AD于點Q，連接CP，CQ，則△CPQ面積的最大值是（）A． B． C． D．題型01二次函數(shù)的實際應用【典例1】某商場銷售A、B兩種商品，每件進價均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元．（1）求A、B兩種商品的銷售單價；（2）經(jīng)市場調(diào)研，A種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；B種商品的售價不變，A種商品售價不低于B種商品售價．設A種商品降價m元，如果A、B兩種商品銷售量相同，求m取何值時，商場銷售A、B兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？【典例2】過山車（圖1）是一項富有刺激性的娛樂工具，那種風馳電掣，有驚無險的快感令不少人著迷，同時也成為了很多青少年進游樂場的首選項目之一、過山車在軌道上運行的過程中有一段路線可以近似看作是拋物線的一部分，過山車在這段路線上運行時，某個位置距離地面的豎直高度y（單位；m）與該段路線最初位置的水平距離x（單位：m，以下簡稱“水平距離”）之間的函數(shù)圖象如圖2所示，頂點坐標為（3，10），根據(jù)圖象解答下列問題：（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）在這段路線中，當車尾的水平距離為5米時，求此時車尾距離地面的高度；（3）已知過山車最中間部分到達該段路線最高點時，車尾的水平距離為2米，求此時車頭距離地面的高度．【典例3】植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為6米的墻，現(xiàn)準備用20米的籬笆圍一間矩形花圃，小俊設計了如圖甲和乙的兩種方案：方案甲中AD的長不超過墻長；方案乙中AD的長大于墻長．（1）按圖甲的方案，設BC的長為xm，矩形ABCD的面積為ym2．①求y與x之間的函數(shù)關系式；②求矩形ABCD的面積y（m2）的最大值．（2）甲、乙哪種方案能使圍成的矩形花圃的面積最大，最大為是多少？請說明理由．【典例4】如圖是一個宣傳廣告牌，其上部是拋物線的一部分AED，下部是一個矩形支架ABCD，矩形支架的長BC為4m，高ABmm，以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線所在的直線為y軸，建立如圖的平面直角坐標系．（1）直接寫出拋物線的解析式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）現(xiàn)需要在廣告牌上張貼一幅矩形MNPQ宣傳畫，邊MN在廣告牌矩形支架的邊AD上，頂點Q在拋物線AED上；①宣傳畫按如圖（2）方式張貼，頂點P也在拋物線AED上．若宣傳畫剛好是一個正方形，求宣傳畫的周長；②宣傳畫按如圖（3）方式張貼，頂點P在y軸上，點M到點Am，求宣傳畫周長l的取值范圍．?【典例5】某商貿(mào)公司購進某種商品，經(jīng)過市場調(diào)研，整理出這種商品在第x（1≤x≤48）天的售價與日銷售量的相關信息如表：時間x（天）1≤x＜3030≤x≤48售價x+3060日銷售量（kg）﹣2x+120已知這種商品的進價為20元/kg，設銷售這種商品的日銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關系式；（2）第幾天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？（3）公司在銷售的前28天中，每銷售1kg這種商品就捐贈n元利潤（n＜9）給“希望工程，若每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間x的增大而增大，求n的取值范圍．【典例6】某公司投入研發(fā)費用120萬元（120萬元只計入第一年成本），成功研發(fā)出一種產(chǎn)品，產(chǎn)品正式投產(chǎn)后，生產(chǎn)成本為8元/件．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)年銷售量y（萬件）與售價x（元/件）有如表對應關系．x（元/件）135y（萬件）393735（1）直接寫出y關于x的函數(shù)關系式：y＝﹣x+40．（2）若物價部門規(guī)定每件商品的利潤率不得超過150%，當?shù)谝荒甑漠a(chǎn)品的售價x為多少時，年利潤W最大，其最大值是多少？（3）為了提高利潤，第二年該公司將第一年的最大利潤再次投入研發(fā)（此費用計入第二年成本），使產(chǎn)品的生產(chǎn)成本降為5元/件，但規(guī)定第二年產(chǎn)品的售價漲幅不能超過第一年售價的20%，在年銷售量y（萬件）與售價x（元/件）的函數(shù)關系不變的情況下，若公司要求第二年的利潤不低于166萬元，求該公司第二年售價x（元/件）應滿足的條件．【典例7】“五一”前夕，某超市銷售一款商品，進價每件75元，售價每件140元，每天銷售40件，每銷售一件需支付給超市管理費5元．從五月一日開始，該超市對這款商品開展為期一個月的“每天降價1元”的促銷活動，即從第一天（5月1日）開始每天的售價均比前一天降低1元．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量y（件）與第x天（1≤x≤31，且x為整數(shù)）之間存在一次函數(shù)關系，x，y之間的部分數(shù)值對應關系如下表：第x天5101520日銷售量y（件）50607080（1）直接寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）設第x天的利潤為W元，試求出W與x之間的函數(shù)關系式，并求出哪一天的利潤最大？最大利潤是多少元？（3）銷售20天后，由于某種原因，該商品的進價從第21天開始每件下降4元，其他條件保持不變，求超市在這一個月中，該商品的日銷售利潤不低于3430元的共有多少天？1．在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點是（1，3），當x＞1時，y隨x的增大而增大，則拋物線解析式可以是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+32．已知拋物線y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低點的縱坐標為﹣4，則拋物線的表達式是（）A．y＝x2﹣6x+5 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2+5x﹣6 D．y＝x2+4x﹣53．若二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（2，﹣1），且拋物線過（0，3），則二次函數(shù)的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣14．小英在用“描點法”探究二次函數(shù)性質(zhì)時，畫出了以下表格，不幸的是，部分數(shù)據(jù)已經(jīng)遺忘（如表所示），小英只記得遺忘的三個數(shù)中（如M，R，A所示），有兩個數(shù)相同．根據(jù)以上信息，小英探究的二次函數(shù)解析式可能是（）x…﹣10123…y…MR﹣4﹣3A…A．y＝x2﹣3x﹣2 B． C．y＝2x2﹣5x﹣1 D．5．如圖1，質(zhì)量為m的小球從某高度處由靜止開始下落到豎直放置的輕彈簧上并壓縮彈簧（已知自然狀態(tài)下，彈簧的初始長度為10cm）．從小球剛接觸彈簧到將彈簧壓縮至最短的過程中（不計空氣阻力，彈簧在整個過程中始終發(fā)生彈性形變），得到小球的速度v（cm/s）和彈簧被壓縮的長度Δl（cm）之間的關系圖象如圖2所示．根據(jù)圖象，下列說法正確的是（）A．小球從剛接觸彈簧就開始減速 B．當小球下落至最低點時，彈簧的長度為4cm C．當彈簧被壓縮至最短時，小球的速度最大 D．當小球的速度最大時，彈簧的長度為2cm6．農(nóng)特產(chǎn)品展銷推薦會在楊凌舉行．某農(nóng)戶銷售一種商品，每千克成本價為40元．已知每千克售價不低于成本價，不超過80元．經(jīng)調(diào)查，當每千克售價為50元時，每天的銷量為100千克，且每千克售價每上漲1元，每天的銷量就減少2千克．為使每天的銷售利潤最大，每千克的售價應定為（）A．20 B．60 C．70 D．807．在羽毛球比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線y＝﹣x2+x+1的一部分（如圖所示，水平地面為x軸，單位：m），則下列說法不正確的是（）A．出球點A離點O的距離是1m B．羽毛球橫向飛出的最遠距離是3m C．羽毛球最高達到m D．當羽毛球橫向飛出m時，可到達最高點8．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°AB＝12cm，AD＝36cm，BC＝40cm，點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度向點D運動：點Q從點C同時出發(fā)，以1cm/s的速度向點B運動．規(guī)定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為t秒，下列結(jié)論錯誤的是（）A．當t＝9時，PQ∥DC B．當t＝10時，PQ⊥BC C．當t＝9或11.5時，PQ＝CD D．當t＝12時，四邊形ABQP的最大面積為384cm29．東方商廈將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元一個售出時，每天能賣出20個，若這種商品的零售價在一定范圍內(nèi)每降價1元，其日銷量就增加1個，為了獲取最大利潤，則應降價元．10．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c．當﹣1≤x≤1時，y的取值范圍是﹣1≤y≤1，該二次函數(shù)的對稱軸為x＝m，則m的取值范圍是．11．為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓練，在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處A距離地面的高度是1.68米，當鉛球運行的水平距離為2米時，達到最大高度2米的B處，則小丁此次投擲的成績是米．12．如圖①