4.1指數(shù)（6大題型）精講（原卷版）

指數(shù)重點(diǎn)：1、根式的定義和性質(zhì)；2、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的聯(lián)系；3、正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的聯(lián)系；4、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算．難點(diǎn)：1、指數(shù)冪的含義及其與根式的互化；2、與的區(qū)別與聯(lián)系；3、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義的理解．一、n次方根的定義1、定義：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且2、個(gè)數(shù)：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，的值僅有一個(gè)，記為；（2）當(dāng)n是偶數(shù)，=1\*GB3①時(shí)，的有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，記為；=2\*GB3②時(shí)，不存在二、根式1、定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．2、性質(zhì)：a；（，且）三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義（1）正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（2）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（3）性質(zhì)：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的注意事項(xiàng)：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可理解為個(gè)相乘，它是根式的一種新的寫(xiě)法．在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已．（2）把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時(shí)，不要輕易對(duì)進(jìn)行約分．（3）在保證相應(yīng)的根式有意義的前提下，負(fù)數(shù)也存在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，如有意義，但就沒(méi)有意義．四、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪（，為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無(wú)限逼近的結(jié)果．（2）定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來(lái)的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．五、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．六、指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則1、有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算；2、先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；3、底數(shù)是分?jǐn)?shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化為分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成為假分?jǐn)?shù)。4、若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答。七、條件求值問(wèn)題的解題思路：1、將條件中的式子用待求式表示出來(lái)，進(jìn)而代入化簡(jiǎn)得出結(jié)論；2、當(dāng)直接代入不易時(shí)，可以從總體上把握已知式和所求式的特點(diǎn)，從而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用整體代入法來(lái)求值；3、適當(dāng)應(yīng)用換元法，能使公式的使用更加清晰，過(guò)程更簡(jiǎn)潔。題型一根式的概念理解【例1】（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）若有意義，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式11】（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）若有意義，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【變式12】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式13】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，求的取值范圍．題型二利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值【例2】（2022·全國(guó)·高一期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．B．C．D．【變式21】（2023·徐州·高一期末）化簡(jiǎn)：（）A．1B．C．D．【變式22】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn).【變式23】（2023·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：（1）（，且）；（2）．題型三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【例3】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．B．C．D．【變式31】（2023·廣東·高一階段練習(xí)）設(shè)，將表示成指數(shù)冪的形式，其結(jié)果是（）A．B．C．D．【變式32】（23·24·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其中（1）；（2）；（3）【變式33】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列根式（式中字母都是正數(shù)）：（1）；（2）；（3）．題型四利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)【例4】（2023·浙江·高一期中）化簡(jiǎn)求值：.【變式41】（2023·上?！じ咭黄谥校┗?jiǎn)：.（其中，）【變式42】（2023·湖南·高一期中）計(jì)算.（1），（，）；（2）.【變式43】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算化簡(jiǎn)：（1）；（2）.題型五解簡(jiǎn)單指數(shù)方程【例5】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）方程的解為（）A．2B．﹣2C．﹣1D．1【變式51】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）解下列方程：【變式52】（2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）方程的解集是．【變式53】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）解下列方程：；題型六整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【例6】（2023·福建·高一期中）已知，則等于（）A．7B．9