高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修一）：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-重難點(diǎn)題型精講（學(xué)生版）

專題3.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-重難點(diǎn)題型精講1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.

(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：3．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問(wèn)題：一是分類討論，分別就焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.4．橢圓的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，,為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)三角形——焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式

①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③設(shè)，，則.【題型1曲線方程與橢圓】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給曲線方程表示橢圓，結(jié)合橢圓的標(biāo)椎方程進(jìn)行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲線C:x24a+y23a+2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-1】（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）“1<m<5”是“方程x2m?1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程x225?m+y2m+9=1A．?9<m<25 B．?8<m<25C．9<m<25 D．8<m<25【變式1-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若方程x225?k+y2k?9=1A．9,25 B．?∞,9∪25,+【題型2橢圓的定義】【方法點(diǎn)撥】利用橢圓的定義解決涉及焦點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算：一般地，遇到有關(guān)焦點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)考慮用定義來(lái)解題，如題目中有橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離可考慮用定義解題，另外，對(duì)定義的應(yīng)用也應(yīng)有深刻理解，知道何時(shí)應(yīng)用、怎樣應(yīng)用.【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P為橢圓4x2+y2=16上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)A．13 B．1 C．7 D．5【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P為橢圓C:x216+y212=1上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)A．32 B．2 C．56【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x29+y23A．13 B．12 C．9 D．6【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓x29+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,A．30° B．60° C．120° D．150°【題型3橢圓方程的求解】 【方法點(diǎn)撥】(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)所給條件設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)，即可得解.【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【變式3-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是?22,0和22,0，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．x216+C．x224+【變式3-2】（2022·寧夏二模（文））已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F（0，-5），P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|=|OF|,|PF|=4則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y215+C．y212+【變式3-3】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣5，0)和(5，0），橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26，則橢圓的方程為（

）A．x2169+y2144＝1 B．x2144+y2169＝1 C．【題型4動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法】【方法點(diǎn)撥】解橢圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題主要有以下兩種思路：(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法：若動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量.【例4】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(0，－1)，B(0，1)兩點(diǎn)，△ABC的周長(zhǎng)為6，則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程是（

）A．x24+B．y24+C．x24+D．y24+【變式4-1】（2021·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)Mx,y始終滿足關(guān)系式x2+(y+2)2A．x216+y212=1 B．【變式4-2】（2022·江蘇·高二開(kāi)學(xué)考試）已知圓C的方程為x?12+y2=16，B?1,0，A為圓C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段AB的垂直平分線與直線A．x216+y29=1 B．【變式4-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知△ABC的周長(zhǎng)等于10，BC=4，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，頂點(diǎn)A的軌跡方程可以是（

A．x29+C．x236+【題型5橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】①關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，可結(jié)合橢圓的定義列出=2a，利用這個(gè)關(guān)系式便可求出結(jié)果，因此回歸定義是求解橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的常用方法.②在橢圓中，焦點(diǎn)三角形引出的問(wèn)題很多，在處理這些問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用定義結(jié)合正弦定理、余弦定理及勾股定理等來(lái)解決，還經(jīng)常用到配方法、解方程及把看成一個(gè)整體等.【例5】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓x216+y24=1上，F(xiàn)1與A．43 B．63 C．83【變式5-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若F為橢圓C：x225+y216=1的右焦點(diǎn)，A，B為A．4 B．8 C．10 D．20【變式5-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓x24+y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)FA．2 B．4 C．6 D．8【變式5-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)P為橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)，F(xiàn)A．△PF1F2為銳角三角形C．△PF1F2為直角三角形 D．P，【題型6橢圓中的最值問(wèn)題】【例6】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知F是橢圓C:x24+y23=1的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A．3 B．5 C．41 D．13【變式6-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）F1，F(xiàn)2分別為橢圓x24+y23=1的左?A．4?102 B．2?1