高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題8.13 空間直線、平面的垂直（二）（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題8.13空間直線、平面的垂直（二）（重難點(diǎn)題型精講）1．二面角(1)二面角的定義

①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

(2)二面角的表示

①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角-l-，如圖(1).②若在，內(nèi)分別取不在棱上的點(diǎn)P，Q，這個(gè)二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).(3)二面角的平面角①自然語(yǔ)言在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②圖形語(yǔ)言③符號(hào)語(yǔ)言∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.(4)二面角大小的度量①二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

②當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小是；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.2．面面垂直的定義及判定定理(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面與垂直，記作⊥.(2)兩個(gè)平面互相垂直的畫(huà)法

如圖，畫(huà)兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫(huà)成垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理①自然語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.②圖形語(yǔ)言③符號(hào)語(yǔ)言.該定理可簡(jiǎn)記為“若線面垂直，則面面垂直”.3．平面與平面垂直的性質(zhì)定理(1)平面與平面垂直的性質(zhì)定理①自然語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.②圖形語(yǔ)言③符號(hào)語(yǔ)言.(2)性質(zhì)定理的作用①證明線面垂直、線線垂直；

②構(gòu)造面的垂線.4．直線、平面位置關(guān)系中的相關(guān)結(jié)論及其轉(zhuǎn)化(1)判定直線與直線垂直的方法

①定義法：兩條直線所成的角為，則這兩條直線互相垂直.

②利用直線與平面垂直的性質(zhì)來(lái)判定.

③若一條直線垂直于兩平行直線中的一條，則該直線也垂直于另一條.

(2)判定直線與平面垂直的方法

①定義法：一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則該直線與這個(gè)平面垂直.

②利用直線與平面垂直的判定定理來(lái)判定.

③利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理來(lái)判定.

④如果兩平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面，即a∥b，a⊥b⊥.

⑤如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么該直線也垂直于另一個(gè)平面，即∥，a⊥a⊥.(3)平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論

①如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).②如果兩個(gè)平面互相垂直，那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面.③如果兩個(gè)平面互相垂直，那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi).④如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面.⑤三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.(4)線、面垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化(5)平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化【題型1求二面角】【方法點(diǎn)撥】求二面角的關(guān)鍵是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來(lái)作平面角，即過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)不在棱上的一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.【例1】（2022秋·貴州遵義·高二期末）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)H為線段PB上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），平面AHC⊥平面PAB．(1)證明：PB⊥AC；(2)若AB=AC=1，四棱椎P－ABCD的體積為13，求二面角P－BC－A【變式1-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為45°(1)二面角B?PC?D的大??；(2)直線PB與平面PCD所成的角的大小．【變式1-2】（2023春·江蘇常州·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，平行于BC的直線分別交線段AB,AC于點(diǎn)M,N.將△AMN沿著MN折起至△A1MN(1)若平面A1MN∩平面A1(2)若三棱錐A1?AMN的體積為1，求二面角【變式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二階段練習(xí)）已知三棱錐P?ABC的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，∠PCA=45°，點(diǎn)M為線段PC上一動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)M為PC中點(diǎn)時(shí)，證明：BM⊥AC；(2)當(dāng)平面ABC與平面ABM所成二面角為60°時(shí)，試確定點(diǎn)M的位置.【題型2面面垂直判定定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過(guò)作輔助線來(lái)證明.【例2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．(1)證明：平面PBC⊥平面PCD；(2)求四棱錐E?ABCD的體積；【變式2-1】如圖，四棱錐P?ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E為PC中點(diǎn)．(1)求證：直線BE//平面PAD；(2)平面PBC⊥平面PDC．【變式2-2】（2023春·河南·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6(1)求證：平面BED⊥平面BCC(2)求三棱錐E?BCD的體積.【變式2-3】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分別為CD，PD的中點(diǎn)，AC與BM交于點(diǎn)E，AB=62，AD=6，K為PA上一點(diǎn)，PK=(1)證明：K，E，M，N四點(diǎn)共面；(2)求證：平面PAC⊥平面BMNK．【題型3面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒(méi)有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直.【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD,Q,M分別為AD,PC的中點(diǎn).(1)求證：直線BC⊥平面PQB；(2)求三棱錐A?BMQ的體積.【變式3-1】（2023春·青海西寧·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，D為BC的中點(diǎn)，AA(1)證明：C1(2)求三棱錐B1【變式3-2】（2023·四川南充·四川模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求證：NF//平面C1(2)試求三棱錐N?C【變式3-3】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，四邊形ABB1A1是邊長(zhǎng)為2的菱形，△ABC(1)若AB1//平面PDE，請(qǐng)確定點(diǎn)P(2)若點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，求三棱錐C?PDE的體積．【題型4垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化】【方法點(diǎn)撥】在有關(guān)垂直問(wèn)題的證明過(guò)程中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理應(yīng)用是證明垂直問(wèn)題的關(guān)鍵.【例4】（2023秋·四川內(nèi)江·高二期末）如圖，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，F(xiàn)A⊥AC，AB=2，EF=FA=1(1)求證：BE⊥平面DEF；(2)求直線BD與平面BEF所成角的大?。咀兪?-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，AB為圓O的直徑，E是圓O上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)．(1)求證：OF//平面BCE(2)求證：平面ADE⊥平面BCE．【變式4-2】（2022秋·河南·高三階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=2，∠BAC=90°．以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，E,F分別為(1)證明：AC⊥EF；(2)設(shè)EF=3，求BD【變式4-3】（2022秋·江蘇南通·高二期中）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知(1)求證：A1(2)求A1E與平面【題型5點(diǎn)、線、面的距離問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離、線面距、面面距的定義，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2023·陜西咸陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，直三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)證明：平面A1BD⊥平面(2)若∠ACB=90°,AB=2，求點(diǎn)B【變式5-1】（2023秋·重慶巫山·高二期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=2，PD的中點(diǎn)為(1)求證：PB//平面ACF；(2)求直線PB到面ACF的距離.【變式5-2】（2023·河南·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥BC，PA=PB，∠APC=∠BPC．(1)證明：PC⊥AD；(2)若AB∥CD，PD⊥AD，PC=3，且點(diǎn)C到平面PAB的距離為62，求【變式5-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA//BF，(1)證明：平面EAC⊥平面EFC；(2)求點(diǎn)B到平面CEF的距離.【題型6平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)線、面平行的判定和性質(zhì)、線、面垂直的判定和性質(zhì)等知識(shí)，結(jié)合具體問(wèn)題，進(jìn)行求解即可.【例6】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，BD與AC相交于O點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).(1)求證：MO//平面PAD(2)若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD.【變式6-1】（2023秋·四川遂寧·高二期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形，PD=DC