2023屆高三年級(jí)下冊(cè)二模數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：—

一、單選題

1.設(shè)集合A=<0集合8={x|x2-4x+3<o},則AB=()

A.{x|-l<x<l)B.(x|l<x<3jC.{x|l<x<2}D.(x|l<x<2j

2.'3>4”是“x>2”成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

4.如圖，是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)畫(huà)出的頻率分布直方圖，若由直方

圖得到的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）分別為

a,h,c,則（）

4s密

a+cb+c

A.b>a>cB.a>b>cC.>bD.>

22

5.已知1.3"=2,2"=3,3c=2則a,Ac的大小關(guān)系為(）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

6.一個(gè)圓錐的表面積為)，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120的扇形，則該圓錐的高為

()

A.1B.y/2C.2D.2y/2

->2

7.已知雙曲線a春■=l(a>0,6>0))過(guò)點(diǎn)(3,26)，且漸近線方程為產(chǎn)土立X,

則雙曲線。的方程為()

8.已知函數(shù)〃x)=2卜inx|cosx+V5cos2x，若/(x)在［0,〃?］上有且僅有2個(gè)最大值點(diǎn),

則加的取值范圍是(

2342523萬(wàn)474)

/FD-[hid

9.已知函數(shù)/(x)=-，若函數(shù)〃x)在[0,+CO)內(nèi)恰有5個(gè)零

x2-（2a+l）x+〃+2,x>a

點(diǎn)，則a的取值范圍是()

二、填空題

10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)?刊的虛部是____.

l+2i一

11.直線/：>=x與圓C:(x—l『+(y-2)2=〃(a>0)交A,B兩點(diǎn)，若ABC為等邊三

角形，則”的值為

12.從8名老師和6名學(xué)生中選出5名代表，要求老師和學(xué)生各至少一名，則不同的選

法共有種.

13.若關(guān)于x的不等式3-卜-。|>/在(—,0)上有解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是—

三、雙空題

3

14.某專業(yè)資格考試包含甲、乙、丙3個(gè)科目，假設(shè)小張甲科目合格的概率為二，乙、丙

4

科目合格的概率均為;，且3個(gè)科目是否合格相互獨(dú)立.設(shè)小張3科中合格的科目數(shù)為X

則P(X=2)=；E(X)=.

15.已知向量AB,AC,AD滿足AC=AB+AD,\AB\=2,|AD|=1,E,F分別是線段BC,CD

的中點(diǎn)，若DE，BF=-?,則陛+AB卜_；若點(diǎn)P為DE上的動(dòng)點(diǎn)，且

x2+y

AP=xAB+yAD,則:~-的最小值為.

四、解答題

16.如圖，在長(zhǎng)方體465-466"中，4?=加/=1,AB=2,點(diǎn)￡在棱四上移動(dòng).

(1)證明：D,EVA,D.

(2)當(dāng)6為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)后到面｛傲的距離.

17.已知函數(shù)/("=4<：0$心布&+看卜.

(1)求“X)的最小正周期和對(duì)稱中心；

TT7T

(2)求.f(x)在區(qū)間最大值和最小值

o4

x

18.已知函數(shù)

e

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若X=0是函數(shù)g(x)=,/(a)-/(x)+sinx的極值點(diǎn).

(i)證明：-21n2<a<0；

(ii)討論g(x)在區(qū)間(-兀,兀)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

19.已知數(shù)列｛%｝滿足：《=3,??=??_,+2M-'(n>2,neN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)；

(2)若2=〃(qT(〃eN")，求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和S“；

⑶設(shè)％7>2j+22c2++2%(〃eN*),求證：^<7；,<|(neN,).

anan+\13J

r22

20.已知橢圓G]+方=l(a>6>0)的焦距為20，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)

端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)0(1,0)且不過(guò)點(diǎn)E(2,l)的直線與橢圓C交于4,6兩點(diǎn)，直線力￡與直線x=3交

于點(diǎn)M.試判斷直線例/與直線龐的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

參考答案：

1.D

【分析】分別解出集合A和集合3,再根據(jù)交集的定義即可得到答案.

【詳解】由題得[(二叱一2)"°則A={x|-1"<2},

Z?=1x|l<x<3},Ac8={x[l<x<2j

故選：D.

2.B

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解：因?yàn)榇?gt;4解得xv—2或x>2,

所以"J〉"是"x>2”成立的必要不充分條件，

故選：B

3.D

【分析】通過(guò)函數(shù)的定義域與零點(diǎn)個(gè)數(shù)排除A、B、C選項(xiàng)，分析D選項(xiàng)符合函數(shù)的性質(zhì).

【詳解】令/(x)=ln-卜得—=1即，1=0,此有方程有兩根，故“X)有

兩個(gè)零點(diǎn)，排除A選項(xiàng)；

函數(shù)/(x)=ln(x-J)有意義滿足x-J>0解得x>l或一1cx<0,

當(dāng)x<-l時(shí)函數(shù)無(wú)意義，排除B、C選項(xiàng)；

對(duì)D選項(xiàng)：函數(shù)的定義域符合，零點(diǎn)個(gè)數(shù)符合，

又?.?當(dāng)-l<x<0與及x>l時(shí)，函數(shù)y=x-1單調(diào)遞增，

X

結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)/(x)=ln(x-g)單調(diào)遞增，故單調(diào)性也符合，所以

的圖象可能是D；

故選：D

4.B

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖讀出眾數(shù)&計(jì)算中位數(shù)力，平均數(shù)。，再比較大小.

【詳解】由頻率分布直方圖可知：眾數(shù)“=四詈=75；

中位數(shù)應(yīng)落在70-80區(qū)間內(nèi)，則有：0.01x10+0.015x10+0.015x10+0.03x(/2-70)=0.5,

解得：〃2專20=731%

-T71Ar八?1八40+50八八，八50+60八八1八604-70

平均數(shù)c=0.01xlOx------+0.015x10x------F0.015x1Ox------+

222

試卷第5頁(yè)，共16頁(yè)

70+80+0.025xl0x80+904-0.005X10X90+100

0.03xl0x

222

=4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71

所以0>6>c

故選：B

【點(diǎn)睛】從頻率分布直方圖可以估計(jì)出的幾個(gè)數(shù)據(jù)：

(1)眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)平均數(shù)：頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加；

(3)中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標(biāo).

5.A

【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)互化，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷a、6、c的大小.

【詳解】由題設(shè)，2>^=10^3>1>6=—^—>0,X0<log21.3<l<log23,

而則"二冊(cè)>尋―2>6=陶3,

-t，a>b>c.

故選：A

6.B

【詳解】試題分析：設(shè)圓錐底面半徑是1母線長(zhǎng)；，所以-??；-二，即，?：-匚[1，

》

根據(jù)圓心角公式二一==2，即？=A，所以解得，?=±1,，=二3，那么高

3I22

h=｛廣-尸=^2

考點(diǎn)：圓錐的面積

7.A

【分析】由點(diǎn)(3,2百)代入雙曲線和漸近線方程，聯(lián)立得到〃,"c的方程組，求解即可.

【詳解】點(diǎn)(3,20)代入雙曲線，焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為y=土，x,所以

'2上

:，解得《廠，故雙曲線的方程為土-匕=L

2=應(yīng)[b=y/636

.a

故選：A.

8.C

【分析】討論xw[0,句、xw(陽(yáng)2旬時(shí)，取最大值時(shí)x的值，由其周期性找到第三

個(gè)最大值對(duì)應(yīng)x的值，由此確定〃?的取值范圍.

試卷第6頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】當(dāng)xw［O,句時(shí)，/（x）=sin2%+73cos2x=2sin^2x+yj,

當(dāng)x卡時(shí)，第1次取到最大值，

當(dāng)XE（凡2同時(shí)，/（x）=-sin2x+V3cos2x=2cos^2x+^,

當(dāng)》=箸時(shí)，“X）第2次取到最大值，

由/（x+24）=〃可知：當(dāng)工=黃時(shí)，/（可第3次取到最大值.

.23萬(wàn)，254

??------￡m<------.

1212

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：討論X的范圍，通過(guò)確定了（X）第二、三個(gè)最大值對(duì)應(yīng)X的值，進(jìn)

而得到，”的取值范圍.

9.D

【分析】分析可知”>（），對(duì)實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)/（X）在［〃,心）上的

零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后再確定函數(shù)/（X）在［0,4）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式

（組），綜合可得出實(shí)數(shù)”的取值范圍.

t詳解】當(dāng)440時(shí),對(duì)任意的x20,f（x）=x2-伽+l）x+〃+2在［0,+g上至多2個(gè)

零點(diǎn)，不合乎題意，所以，a>Q.

函數(shù)y=d-（2a+l）x+〃+2的對(duì)?稱軸為直線x=a+；,

A=（26/+l）2-4（a2+2）=4<7-7.

所以，函數(shù)/（x）在上單調(diào)遞減，在（“+；,+8）上單調(diào)遞增，且/（“）=2-“.

7

①當(dāng)A=4a—7v0時(shí)，即當(dāng)0<〃<w時(shí)，則函數(shù)/（x）在侄）上無(wú)零點(diǎn)，

所以，函數(shù)〃x）=2sin2乃［-〃+在［0,a）上有5個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)OVxca時(shí)，；一a4x-a+；<g,則(1-24)萬(wàn)4271

X-4+—<)，

2

由題意可得-5%<（1-2a）乃4T乃，解得■|wa<3,此時(shí)。不存在；

②當(dāng)△=（）時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)/（x）在j+oo）上只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)xe0高時(shí)，〃x）=—2cos2mv,則042乃則函數(shù)/（x）在0,j上只有3個(gè)

零點(diǎn),

試卷第7頁(yè)，共16頁(yè)

此時(shí)，函數(shù)在［o,+e）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,不合乎題意；

③當(dāng)=時(shí)，即當(dāng)!<“42時(shí)，函數(shù)“X）在［a,+o））上有2個(gè)零點(diǎn)，

A=4tz-7>04

則函數(shù)〃x）=2sin2乃卜-a+g）］在［0,a）上有3個(gè)零點(diǎn)，

37

則一3萬(wàn)<（1-幼）乃4-2萬(wàn)，解得14a<2,此時(shí)彳<a<2；

④當(dāng)‘!!?；：；：；°時(shí)，即當(dāng)">2時(shí)，函數(shù)f（x）在卜/,+00）上有1個(gè)零點(diǎn)，

則函數(shù)f（x）=2sin2乃+在［0,4）上有4個(gè)零點(diǎn)，

貝-4］<（1—2a）乃4—3乃,解得2Va<5，此時(shí)，2<a<—.

綜上所述，實(shí)數(shù)0的取值范圍是（：2卜（2,|）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】己知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系

中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

10.-2

【分析】由復(fù)數(shù)模的定義和復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算.

【詳解】121^1=（1-2）=5（1-2i）=］_方.虛部為-2.

l+2i（l+2i）（l-2i）5

故答案為：-2.

11.如

33

【分析】結(jié)合幾何關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離即可求解.

【詳解】由條件和幾何關(guān)系可得圓心C到直線/：y=x的距離為匕3=J/-C,解得

-72V4

V6

（I---------?

3

故答案為：述.

3

12.1940

試卷第8頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】間接求，用總數(shù)減去不符合要求的選法即可求解

【詳解】不考慮限制要求，所有不同的選法有C：4=2002

全選教師的選法有C；=56,全選學(xué)生的選法有C：=6

所以至少一名教師一名學(xué)生的選法有C：「C；-C：=1940

故答案為：1940

13.“€(--},3)

4

【分析】將3-|x-a|>Y在(YO,0)上有解轉(zhuǎn)化為3-x2>|x-“|至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，構(gòu)造

/(x)=3-x2,g(x)=|x-a|,畫(huà)出圖像,平移g(x)=U-a|圖像即可.

【詳解】由題知，可將3-|x-a|>x2在(—,0)上有解，

轉(zhuǎn)化為3-丁至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，

構(gòu)造/(x)=3-f,g*)=|x-a,

畫(huà)出圖形，如圖：

要使“X)與g(x)相交于y軸左側(cè),

則需滿足。<3,

在函數(shù)g(x)不斷左移的過(guò)程中，

若與/(x)左側(cè)曲線相切，

則有3-f=x-a,

即x2+x-a-3=0>

對(duì)應(yīng)的△=(),

即44+13=0,

解得4=-1g3

4

試卷第9頁(yè)，共16頁(yè)

則a＞一；,

4

13

故答案為：ae(~,3).

4

一425-1

14.—；—##2一.

91212

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率的公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式進(jìn)行求解即可.

3223223224

【詳解】P(X=2)=(l--)x-x-+-x(l--)x-+-x-x(l--)=-；

4334334339

3221

P(X=0)=(1--)X(1--)X(1--)=—,

43336

n/vix3223223227

3221

P(X=3)=-)x—x—=—,

4333

174125

所以E(X)=Oxh—+2XW+3X1二，

36369312

475

故答案為：—;—

1R歷5

22

【分析】由AC=A3+AD得A3CD是平行四邊形，把。瓦4尸用AB,AQ表示后，由數(shù)

量積的運(yùn)算求得4*AO,同樣用表示OE+AB后平方可求得模，由向量的線性

運(yùn)算得4尸=xA8+yAO=x4E+(-gx+y)A。，利用三點(diǎn)共線得出gx+y=1,代入

2

三士上，化簡(jiǎn)后引入函數(shù)/(X),由導(dǎo)數(shù)求得其最小值.

孫

【詳解】因?yàn)锳C=AB+A￡＞，所以ABCQ是平行四邊形，

由題意OE=QC+CE=AB—gAO,BF=BC+CF=AZ)-gAB,

DEBF=(AB--AD)(--AB+AD)=--AB2+-ABAD--AD2,

22242

即一;=一4*22+二48.40一4*『，ABAD=-1

4242

DE+AB=2AB--AD,

2

22

|DE+Aq=J(2AB-^AD)=-2AB-AD+AD=^4x4-2x(-l)+lxl=乎

AB=AE+-EB=AE--AD,

22

AP=xAB+yAD=x(AE-^AD)+yAD=xAE+(-^x+y)AD,

又E,P,O共線，所以x+(_gx+y)=l,即gx+y=l,

?在線段￡＞E上，因此04x41,

試卷第10頁(yè)，共16頁(yè)

x2+yX"+1~2X2f-x+2c3x+2

——-=-----=—=-2+—

22

時(shí)，/r(x)<0,/(x)遞減，—<x<10*]*,ff(x)>0,/(元)遞增,

所以/(外而.=/(|)=2,

2

所以王r4口-v的最小值為-2+Q9=5g.

xy22

故答案為：叵：.

22

16.(1)證明見(jiàn)解析:

【分析】(1)證明4ELAQ、ACAR,由線面垂直的判定定理可證明平面ARE,

即證；

(2)由勾股定理求出△月以各個(gè)邊長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)E到平面4cA的距離為〃，由

^E-ACDf=%-八CE即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?，平面AORA，平面AORA，

所以A￡_LA?,

因?yàn)樗倪呅蜛。。A是矩形，AD=AA,,

所以四邊形是正方形，

所以AOLA。，

又45iU平面ARE,AEu平面4QE,ADtnAE=A,

所以4。J.平面ARE,又因?yàn)?Eu平面ARE,

所以

試卷第11頁(yè)，共16頁(yè)

(2)因?yàn)锳O=4A=1，AB=2,E為AB的中點(diǎn),

所以AD]=V2>AC=CD1=5/5，CE=y/2，AE=1,

所以S.AS=，必卜-號(hào)=|,SACE=gxlxl=g,

設(shè)點(diǎn)E到平面AC。的距離為〃,

由LACD,=%TCE可得：，

13,

gnr1j-X—/?=—X—x1,

3232

解得：/?=；，

所以點(diǎn)〃到面4微的距離為;.

17.(1)最小正周期7=兀；稱中心為(日哈0),^eZ;(2)/(x)m.n=-l；/(x),im=2.

【分析】(1)先利用三角恒等變換公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形得/(x)=2sin(2x+2；從而可

求出其最小正周期和對(duì)稱中心；

TTTT冗

(2)由xeIT求出-￡42萬(wàn)+JT占429,然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的最

164」663

值

【詳解】(1)/(x)=4cosxsinfx+—'l-l=4cosx|—sinx+icosx-1

I6JI22J

=2>/3sinxcosx+2cos2x-1=石sin2x+cos2x=2sin(2x+^),

所以/(x)的最小正周期7=兀，

TTIciTTT

由題意2x+：=E,kGZ,解得工==——■rkGZ,

6212

所以/'(x)稱中心為'keZ；

(2)'：--<x<~,：.--<2x<-,

6432

.?.」42X+30,

663

???當(dāng)2x+2=4,即x=4,〃％=T；

當(dāng)2x+t=(時(shí)，即x=￡，，(X)3=2.

o2o

18.(1)函數(shù)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+a))上單調(diào)遞減，有極大值工，無(wú)極小值.

e

⑵(i)證明見(jiàn)解析；(ii)2

試卷第12頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間，計(jì)算極值得到答案.

(2)(i)計(jì)算得至ljg'(x)=??9+cosx,確定e"+a=O,設(shè)尸(x)=e、+x,根據(jù)函

數(shù)的單調(diào)性結(jié)合*0)=1,F(-21n2)<0得到證明；

(ii)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，考慮XW(F,0),x=0,xe(O,兀)三種情況，構(gòu)造

F(x)=e'sinx-x,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)尸(0)=0,/(%)>0,尸⑺<0得到零

點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】(D/?=4>ra)=W，取尸(x)=上/=o得到x=i,

eee

當(dāng)x<l時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)X>1時(shí)，r(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

故函數(shù)在(F,l)上單調(diào)遞增，在(1,一)上單調(diào)遞減，有極大值/(1)=’,無(wú)極小值.

e

(2)(i)g(x)=/(a)?/(x)+sinx=3?二+sinx,g'(x)==?^~^+cosx,

eeee

g'(0)==+1=。，故e"+a=0,

e

設(shè)尸(x)=e、+x,函數(shù)單調(diào)遞增，

尸(0)=1>0,F(-21n2)=e-2M2_21n2=；-ln4<0.

根據(jù)零點(diǎn)存在定理知-21n2vav0.

(ii)g(x)=-^+sinx,g(0)=0,/(x)=/^+cosx,

x—12—x

設(shè)/z(x)=-----+cosx,/?"(%)=---------sinx,

exeA

當(dāng)xe(—兀,0)時(shí)，?>0,sinx<0,故〃(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增，g'(x)<g'(O)=7+1=0,

故函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，g(x)>g(o)=o,

故函數(shù)在(-兀,0)上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)x￡(0,兀)時(shí)，g(x)=--+sinx=二(e"sinx-x),

設(shè)F(^)=evsinx-x,(x)=ev(sinx+cosx)-1,

ig：A:(A)=ex(sinx+cosx)-1,則〃(x)=2e*cosx,

當(dāng)元￡(0,1■卜寸，Z'(x)=2e*cosx>0,當(dāng)XE[?兀)時(shí)，Z'(x)=2e，cosx<0

故心)在由單調(diào)遞增，在生)上單調(diào)遞減，

試卷第13頁(yè)，共16頁(yè)

50）=0,《5）=一一1＞0,A:（7r）=-en-l＜o(jì),

故存在及仁（方,兀）使&（%）=0,

當(dāng)xe（（）,x.）時(shí)，刈刈＞0,F（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)XG（如兀）時(shí),A:（x）＜0,尸（X）單調(diào)遞減.

F（0）=0,故尸（不）＞0,F（兀）=一兀＜0,故函數(shù)在5，兀）上有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：g（x）在區(qū)間（-兀,兀）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性和極值，根據(jù)極值求參數(shù),

零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中分類討論是解題

的關(guān)鍵，三角函數(shù)的有界性和正負(fù)交替是經(jīng)常用到的關(guān)鍵思路.

n+,

19.（1）a?=2"+l;（2）S?=（H-l）-2+2；（3）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）采用疊加法可直接求出

（2）通項(xiàng)為等差乘等比的形式，采用錯(cuò)位相減法可求得

（3）復(fù)雜題型的裂項(xiàng)需要先進(jìn)行試值，經(jīng)檢驗(yàn)

2"（2,,+l+l）-（2n+l）11

"（2』）（2*『（2』）（2］）=對(duì)一藥?符合裂項(xiàng)公式’再采用疊

加法求值即可.

【詳解】（1）因?yàn)??！?41+2”'（鼠22,〃€汽*）,

所以當(dāng)“22時(shí)，％=4+（々-4）+（03-％）++（??_（-a?-2）+（a?=

3+2'++2"-2+2"-'=3+=2"+1；

又q=3=2、l,故a,,=2"+l(〃eN*).

（2）由（1）及題設(shè)知：b?=nx2",

,,

所以S“=1x2】+2x2?+3x23++(n-l)-2"-'+n-2)

所以2s“=1x22+2x23+3x2,++(rt-l)-2n+?-2"+|,

所以S“=〃?2""—(2+22+23++2")=(〃-l>2""+2.

1

(3)由(1)及題設(shè)知：%=(2"+1)(2/+1)'所以

試卷第14頁(yè)，共16頁(yè)

2"c=—2—=（一+1）-（2*）,____

"（2n+l）（2"+l+l）（2n+l）（2"+,+l）2"+12,,+1+r'

=（77T-27+T）+（2y+T-F+T）++G^'+i-F+T）+（F+T-2,,+1+i）'

即7>十一看」一看‘所叱4

又億｝是遞增數(shù)列，所以｛瑁的最小值為1=：-*=[,

即證卷4方與

【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法一定要注意位置對(duì)應(yīng)關(guān)系及兩式相減后的符號(hào)正負(fù).數(shù)列求恒成立

問(wèn)題基本上是通過(guò)疊加法、放縮法、裂項(xiàng)法、構(gòu)造函數(shù)法等相關(guān)方法求得.

20.（l）J+y2=l；

（2）直線5M與直線小平行，理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)題意建立方程組，進(jìn)而解出a,。，然后得到答案；

（2）討論直線16的斜率不存在和存在兩種請(qǐng)，若斜率存在，設(shè)其方程為

y=進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后將直線方程代入橢圓并化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合

根與系數(shù)的關(guān)系得到。,并化簡(jiǎn)，進(jìn)而解得問(wèn)題.

（1）

>/a2+b2=2/7,

由已知可得｛,------「

2c==2夜，

解得4=3,82=1,所以橢圓6l的標(biāo)準(zhǔn)方程是不+/=1.

3

（2）

直線與直線原平行.

證明如下：當(dāng)直線力6的斜率不存在時(shí)，則乎],8“，-手），

所以直線加■的方程為y-i=1-用（x-2）,

所以妁3,2-9），所以原“=1.

1-0

又因?yàn)橹本€班的斜率的后=有=1,所以BM〃DE.

當(dāng)直線用的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=%（》-1）儀豐1）.

試卷第15頁(yè)，共16頁(yè)

設(shè)A（XQJ,8（々,必），則直線熊的方程為，-1=晨（尢-2）.

令X=3,得點(diǎn)”3,%+%;3

1%-2

X2+3y2=3w心，

由,7二：得（1+3/）/一622%+3々2_3=0,易知△＞（），所以玉

y=A（x-l）,'71+3K

弘+.-3

中2=售!，直線囪/的斜率“_芭一2一一%.

1+弘K，BM--

3-^2

人（F一1）+再一3-左（&-1）（玉一2）2Mx+%2）-公徑+X1-3（左+1）

（3一4）（七一2）—玉/+2（須+/）+玉一6

33

12k3k-3k”,n

=1+3%2―]+3/+、—（+）=%—3=l=k

-3/_312H,演-3DE，

~U3k^+Mi^+X'~6

所以〃DE.綜上，直線例/與直線應(yīng)平行.

【點(diǎn)睛】本題第（2）問(wèn)運(yùn)算量較大，但根據(jù)題意容易想到應(yīng)當(dāng)判斷兩條直線的斜率關(guān)

系，于是設(shè)出直線方程并代入橢圓方程化簡(jiǎn)，進(jìn)而運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題.

2023屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名:班級(jí)：

一、單選題

1.已知集合4=k|一2＜》41/€2},集合8={-1,0,1,2},貝IJA8=（）

A.{0,1}B.{-1,0}C.H,0,I}D.{-1,0,1,2）

2.設(shè)xeR,貝ij"x＞l”是“》＞一工”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3函數(shù)y=G'二l》n（c°sf）的部分圖象大致為（）

-3x+l

試卷第16頁(yè)，共16頁(yè)

7

4.設(shè)a=3°,Z?=（；）,c=log070.8,則。也c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

5.為普及冬奧知識(shí)，某校在各班選拔部分學(xué)生進(jìn)行冬奧知識(shí)競(jìng)賽.根據(jù)參賽學(xué)生的成

績(jī)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若要對(duì)40%成績(jī)較高的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，則獲獎(jiǎng)

學(xué)生的最低成績(jī)可能為（）

A.65

B.75

C.85

D.95

6.如圖所示的糧倉(cāng)可近似為一個(gè)圓錐和圓臺(tái)的組合體，旦圓錐的底面圓與圓臺(tái)的較大

底面圓重合.已知圓臺(tái)的較小底面圓的半徑為1,圓錐與圓臺(tái)的高分別為6-1和3,則

此組合體的外接球的表面積是（）

試卷第17頁(yè)，共16頁(yè)

A.164B.204C.24萬(wàn)D.284

7.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線E的離心率為2,右頂點(diǎn)為A,過(guò)E的左焦點(diǎn)尸作x軸的

垂線/,且/與E交于M,N兩點(diǎn)，若AMN的面積為9,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A」一.

B.C.=1D.

412

8.將函數(shù)/(x)=cos(s+0)(3>0,網(wǎng)<熱的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度得到如圖所示

的奇函數(shù)g(x)的圖象，且g(x)的圖象關(guān)于直線x=q對(duì)稱，則下列選項(xiàng)不正確的是()

A./(x)在區(qū)間—上為增函數(shù)

C.佃>〃。)

D./(-1)+/(0)<0

9.已知函數(shù)/(力=］卜：；)；(一2

函數(shù)g(x)=〃-”2-x),其中bcR,若函數(shù)

2-|x|,x>-2

y=/(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則8的取值范圍是()

7D.D

A.B.-,4-00C.2

-卜4-?

二、填空題

10.若復(fù)數(shù)z=上工為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為

2-a\

ii.二項(xiàng)式(9-2］的展開(kāi)式中，僅有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值，則展開(kāi)式中

I2X)

6項(xiàng)的系數(shù)是

試卷第18頁(yè)，共16頁(yè)

12.過(guò)圓f+V—2x+4y-4=0內(nèi)的點(diǎn)M(3,0)作一條直線/,使它被該圓截得的線段最

短，則直線/的方程是.

13.已知b>\,且lga=l-21g。，則log^+logM的最小值為.

三、雙空題

14.一個(gè)袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出2個(gè)球，

至少得到一個(gè)白球的概率是(，則袋中的白球個(gè)數(shù)為，若從袋中任意摸出3個(gè)球，

記得到白球的個(gè)數(shù)為列則隨機(jī)變量f的數(shù)學(xué)期望.

15.如圖在..ABC中，ZABC=90,8c=8,AB=\2,尸為AB中點(diǎn)，E為CF上一點(diǎn).

若CE=3,則以.殖=；^CE=ACF(O<A<1),則次.破的最小值為_(kāi)____.

C

四、解答題

16.已知sina=W,ae\

1312

(1)求sin2a的值;

⑵求cos(a-2的值.

17.在如圖所示的多面體中，43〃8,"_1e,4后，平面488,。/_1平面4"》,

AB=AE=CF=\,AD^CD=2,M,N分別是8尸,￡>E的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面CDF；

(2)求￡)/與平面8EF所成角的正弦值;

試卷第19頁(yè)，共16頁(yè)

(3)設(shè)平面8EFI平面C￡^=/,求二面角B-1-C的正弦值.

22

18.設(shè)橢圓。:京+a=1(。＞人＞。)的右焦點(diǎn)為尺右頂點(diǎn)為力，已知橢圓離心率為g，

過(guò)點(diǎn)尺且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線1與橢圓C交于點(diǎn)B(5不在x軸上)，垂直于1的直線與1交于點(diǎn)

M,與y軸交于點(diǎn)"若以掰為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，設(shè)直線/的斜率為4，直線Q"的斜

率為九，且Z+《＜(),求直線/斜率A的取值范圍.

19.已知數(shù)列｛%｝是公比大于1的等比數(shù)列，5“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，$3=7,且q+3,

3-，4+4成等差數(shù)列.等差數(shù)列也｝滿足4=%，&=4-2.

⑴求數(shù)列｛叫，包｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)%

①求fG的值；

k=\

②設(shè)4=㈠)°")〃+")?21,數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為7“，求T”的最大值和最小

%*Cn+\

值.

20.已知函數(shù)f(x)=lnx-ar+a(aeR).

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)若“X)在(1,一)上有零點(diǎn)％,

①求a的取值范圍；

O—Z7—

②求證：----＜x＜ea.

a()

試卷第20頁(yè)，共16頁(yè)

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】由4={目-2<犬41,犬€2}={-1,0,1},B={-1,0,1,2),故A8={-1,0,1},

故選：C

2.A

【分析】由集合的包含關(guān)系結(jié)合充分必要條件的定義判斷.

【詳解】1〉一』可化為x+，>0,即:^>0,

因?yàn)?+1>0,所以不等式X>—的解集為{小>0}

因?yàn)閧x|x>l}是卜k>0}的真子集，所以“x>l”是的充分不必要條件.

故選：A

3.B

【分析】通過(guò)函數(shù)的奇偶性可排除AC,通過(guò)x-0?時(shí)函數(shù)值的符號(hào)可排除D,進(jìn)而可得結(jié)

果.

【詳解】令小)=，-1";),其定義域?yàn)?-、+2E，5+2而)&eZ關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

、(3-A-l)ln(cos-x)(l-3v)lncosx

/(t)==1+3，=一小)’

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，即圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除AC,

當(dāng)x-0+時(shí)，3A-1>0,3v+1>0,lncosx<0,即/(x)vO,故排除D,

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】y=3"是單調(diào)遞增函數(shù)，a=307,。=6「=3。8,

Q>=bggX是單調(diào)遞減函數(shù)

c=log。70.8<log。70.7=1,

:.h>a>c,

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖分別求出成績(jī)?cè)冢?0,100］,［80,90］的頻率，進(jìn)而得解.

【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)冢?0,100］的頻率為0.018x10=0.18

成績(jī)?cè)冢?0,90］的頻率為0.044x10=0.44,0.044x10=^=0.22

又0.18+0.22=0.4,所以40%成績(jī)較高的學(xué)生的分?jǐn)?shù)在［80,100］之間，且最低分?jǐn)?shù)為85

故選：C

6.B

【解析】設(shè)外接球半徑為此球心為。，圓臺(tái)較小底面圓的圓心為。-根據(jù)球的性質(zhì)。。|與

圓臺(tái)的上下底面垂直，從而有OO；+/=R2,且球心在上下底面圓心的連線上，

OO,=75+2-7?,即可求出R,得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)外接球半徑為花球心為。，圓臺(tái)較小底面圓的圓心為。一

則OO：+F=R2,而。01=石+2—R,

故於=1+(石+2-R)2=R=后nS=4;rR2=20萬(wàn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查組合體外接球的表面積，利用球的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【分析】設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)離心率可得c=2tz,根據(jù)題意求出點(diǎn)雙川的坐標(biāo)，進(jìn)而

求得|MV|,結(jié)合三角形的面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出a,b.

22

【詳解】設(shè)雙曲線的方程為二-4=1(。>0,人>0),則A(a,0)，F(xiàn)(—C,O),

a"b~

由離心率為2,得￡=2,則c=2a,

a

因?yàn)橹本€1過(guò)點(diǎn)尸(-c，。)且垂直于x軸交￡于點(diǎn)M、N,

所以點(diǎn)材、N的橫坐標(biāo)都為-c,有R-￡=1,解得y=±Q,

ab~a

所以M(-c,Z),N(-c,--),所以|MN|=五，

aaa

又AF=a+c,AF工MN,貝I」

SAMN=^\AF\\MN\=^-(a+c)--=(a+c)--~-=(a+c)--~—=9a=9,

122aaa

所以a=1,故c=2。=2,得b=7c2-a2=百，

所以雙曲線的方程為：x2-^=\,

3

故選：A

8.D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可知g(x)=cos,x+50+0)；根據(jù)圖象、g(x)的對(duì)

稱軸和對(duì)稱中心可確定最小正周期T,從而得到。；由g(x)為奇函數(shù)可知三。+。=5+桁，

由此可得夕，從而確定/(x)的解析式；利用代入檢驗(yàn)法可確定A正確；根據(jù)特殊角三角函

數(shù)值可知B正確；結(jié)合y=cosx的單調(diào)性可判斷出CD正誤.

【詳解】由題意知：8(洋=1卜+1)=?(5+10+可,

由圖象可知：:則x=-：與(。，0)是相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,

.?.7'=4x(0+?)=7r,即0=/=2,

g(x)為奇函數(shù)，.,.g0+*=^+*='|+E(/eZ),

解得：<p=~+kn(keZ),又倒

62

對(duì)于A,當(dāng)xc煞時(shí),2＞臺(tái)上干,則“X)在箓上為增函數(shù)，A正確;

對(duì)于B,

對(duì)于C,f(；)=cosn

/(0)=coscos—,

6

一=88》在?上單調(diào)遞減，1￡哈.?.嗎卜/⑼，C正確；

對(duì)于D,/(-l)=cos^-2—^J=cos^2+^,〃0)=cos(q)=cos器，

y=cosx在兀］上單調(diào)遞減，—<2+—<,

12)266

0>cos|2H—I>cos—=—cos—,cos|2H—|+cos->0,即/(-1)+/(0)>0,D錯(cuò)誤.

\6766\6/6

故選：D.

9.C

【分析】由題知〃x)+〃2—x)=b有4個(gè)實(shí)數(shù)根，進(jìn)而令力(力=〃司+〃27),則函數(shù)

〃(x)圖像與y=b圖像有4個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn),

所以〃x)-g(x)=O恰有4個(gè)實(shí)數(shù)根，即〃力+〃2-x)=6有4個(gè)實(shí)數(shù)根,

令MX)=〃X)+〃2—X),則函數(shù)/i(x)圖像與y=b圖像有4個(gè)交點(diǎn),

〔黑匕\所以小人(4-X)2,X>4

因?yàn)?，〃x)=

2-12-

(x+2)?+2-12--2

所以,/2(X)=/(X)+/(2-X)=-4-|x|-12-x|,-2<x<4,

2-|x|+(4-x)2,x>4