2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn) 直角三角形（提高篇）

專題5.11直角三角形（提高篇）

一、單選題

1.（2021?新疆?統(tǒng)考中考真題）如圖，在用中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=4,

CDAB于點(diǎn)。，E是AB的中點(diǎn)，則DE的長為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2012?福建漳州?中考真題）將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中

的度數(shù)是【】

A.45°B.60°C.75°D.90°

3.（2022?廣西?中考真題）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等

的兩個三角形不一定全等，如已知△ABC中，ZA=30°,AC=3,/A所對的邊為滿

足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知

條件的三角形的第三邊長為（）

A.26B.2G-3C.26或6D.2也或2&3

4.（2020?廣西賀州?統(tǒng)考中考真題）如圖，將兩個完全相同的R/ZkACB和RtAAC9拼

在一起，其中點(diǎn)H與點(diǎn)8重合，點(diǎn)C在邊AB上，連接BC,若NABC=N49C=30。，AC

=4C=2,則的長為（）

A.2幣B.477C.2GD.4G

5.（2021?廣西貴港?統(tǒng)考中考真題）如圖，在.ABC中，ZABC=90°,AB=S,BC=12,

。為4c邊上的一個動點(diǎn)，連接BD,E為BO上的一個動點(diǎn)，連接AE,CE,當(dāng)NABD=NBCE

時，線段AE的最小值是（）

6.（2015?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在R2ABC中,ZB=90°,ZA=30°,6E垂

直平分斜邊AC,交AB于點(diǎn)。，E是垂足，連結(jié)CZ）,若BO=1,則AC的長是（）

C.4y/3D.4

7.（2020?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖,在△ABC中，點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)連接AF,BF,NAFB=90°,且AB=8,BC=14,則EF

的長是（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2020?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一

個“折竹抵地”問題："今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高

一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根

部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？（）

A.4RB.4.55尺C.5尺D.5.55尺

9.（2021?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC中，NACB=90。,4c=8,BC=6,將

VADE沿OE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)8重合，則CE的長為（）

10.（2017?湖北黃石?中考真題）如圖，△ABC中，E為BC邊的中點(diǎn)，CD±AB,AB=2,

/J

AC-1,DE=——，則/CDE+/ACD=()

2

A.60°B.75°C.90°D.105°

二、填空題

II.（2022.黑龍江哈爾濱.統(tǒng)考中考真題）在ABC中，AO為邊BC上的高，ZABC=3Q°,

ZC4D=20°,則/BAC是度.

12.（2013?山東威海?中考真題）將一副直角三角板如圖擺放，點(diǎn)C在EF上，AC經(jīng)過

點(diǎn)。.已知NA=N￡Z）F=90°,AB=AC.Z￡=30°,NBCE=40°,則NCDF=.

13.（2020.湖南邵陽?中考真題）如圖，在RtABC中，ZACB=90°,斜邊43=夜，

過點(diǎn)C作CT//43,以AB為邊作菱形48EF,若NF=30。，則RtABC的面積為

14.（2019?上海?中考真題）如圖，已知直線//〃6，含30。角的三角板的直角頂點(diǎn)C在

//上，30。角的頂點(diǎn)A在，2上，如果邊AB與//的交點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么/1=

___________________度.

5（2021?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCO中，AB=3,對角線AC,BD交

于點(diǎn)。，DHLAC,垂足為點(diǎn)”，若NADH=2NCDH,則AD的長為.

16.（2013?遼寧盤錦?中考真題）如圖，等腰梯形ABCD,AD〃BC,BD平分NABC,

ZA=120°.若梯形的周長為10,則AD的長為—.

17.（2021?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC,BO相交于

點(diǎn)。，過點(diǎn)。作OE_L3C,垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AFLOB,垂足為點(diǎn)尸.若BC=24尸，

18.（2022.青海西寧.統(tǒng)考中考真題）如圖，AfiC中，A8=6,8c=8,點(diǎn)。，E分別

是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在OE上，且NA尸B=90。，則防=.

19.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=90°,點(diǎn)E是

AC的中點(diǎn)，且AC=AD

（1）尺規(guī)作圖：作NC4Q的平分線4F,交CD于點(diǎn)F,連結(jié)EF、2F（保留作圖痕跡，

不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，若N8AO=45。，RZCAD=2ZBAC,證明：△8ER為等邊

三角形.

A

20.（2022.山東青島.統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形A8CD中，AB//CD,點(diǎn)E,尸在

對角線BZ）上，BE=EF=FD,NBAF=NDCE=9。。.

（1）求證：XABF安ACDE：

（2）連接4E,CF,已知（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），

請判斷四邊形AEC尸的形狀，并證明你的結(jié)論.

條件①：NABO=30。；

條件2：AB=BC.

（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分）

21.（2021?吉林?統(tǒng)考中考真題）如圖①，在RtABC中，ZACS=90°,ZA=60°,CD

是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，將4山汨沿。E折疊，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F.

（1）若直接寫出C。的長（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）若DF1BC,垂足為G,點(diǎn)下與點(diǎn)。在直線CE的異側(cè)，連接CF,如圖②，判

斷四邊形4。尸C的形狀，并說明理由；

（3）若DFLAB,直接寫出的度數(shù).

圖①圖②

22.（2022?西藏?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABC。中，AB=-BC,點(diǎn)F在BC邊的延

長線上，點(diǎn)P是線段BC上一點(diǎn)（與點(diǎn)8,C不重合），連接AP并延長，過點(diǎn)C作CGL4P,

垂足為E.

（1）若CG為“CF的平分線.請判斷8尸與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑵若AB=3,AABPdCEP,求BP的長.

23.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，ZACB=90°,BC=4,點(diǎn)。

在AC上，CD=3,連接08,AT>=D8,點(diǎn)尸是邊AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D,C

重合），過點(diǎn)P作4C的垂線，與相交于點(diǎn)Q,連接OQ,設(shè)=-POQ與△ABO重

疊部分的面積為s.

(1)求AC的長;

(2)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍.

(備用圖)

24.(2022?貴州安順?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在矩形ABCD中，—=10,A￡>=8,E是

AO邊上的一點(diǎn)，連接CE,將矩形ABCD沿CE折疊，頂點(diǎn)。恰好落在A8邊上的點(diǎn)尸處,

延長CE交54的延長線于點(diǎn)G.

(1)求線段AE的長；

(2)求證四邊形ZXVC為菱形；

(3)如圖2,M,N分別是線段CG,OG上的動點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，且=

設(shè)DN=x,是否存在這樣的點(diǎn)N,使是直角三角形？若存在，請求出x的值：若不

存在，請說明理由.

參考答案

1.A

(分析］首先根據(jù)"斜中半''定理求出CE,然后利用三角形的外角性質(zhì)求出NCED=60。.

從而在用CED中，利用“30。角所對的直角邊為斜邊的一半”求解即可.

解：是中斜邊A8的中點(diǎn)，AB=4,

：.AE=BE=CE=LAB=2,

2

，NA=ZACE=30°,

AZC￡D=60°,ZECD=30°

在M_CE￡）中，ZECD=30°,

7.ED=-CE=\,

2

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的基本性質(zhì)，熟記并靈活運(yùn)用與直角三角形相關(guān)的性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

2.C

?*./。=45。+30。=75。.故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形中兩個銳角互余，外角的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵計算細(xì)

致.

3.C

【分析】分情況討論，當(dāng)△A8C是一個直角三角形時，當(dāng)△AB/C是一個鈍角三角形時，

根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可.

解：如圖，當(dāng)AABC是一個直角三角形時，即NC=90。，

NA=30。,8c=6

AB=2BC=28

如圖，當(dāng)△AB/C是一個鈍角三角形時,

c

過點(diǎn)C作CDA.ABI，

.-.ZCDA=90°=ZCDB,

,CB=CB、,

BD=B[D,

ZA=30°,AC=3,

13

:.CD=-AC=-,

22

BC=B

22

BtD=^BtC-CD=與=BD,

:.BB、=6,

：.ABt=AB-BB\=6

綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長為2G或G，

故選：c.

【點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)已知條件作三角形，涉及含30。的直角三角形的性質(zhì)及勾股定

理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得A3=4,4夕=4,NEAC，=60。，再根據(jù)勾股定理

和角的和差可得BC=26,N*BC=90。，最后在RUfi'BC中，利用勾股定理即可得.

解：ZACB=ZA'C'B'=90°,ZABC=ZA'B'C=30°,AC=AC'=2,

二AB=4,A'B'=4,ZB'A'C=60°,

???BC=《AB?-AC?=26，^B'BC=ZABC+ZB7VC=90°,

則在RzB'BC中，B'C=5/仕C?+=J(2百f+4?=2近,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握含

30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.B

【分析】如圖，取3C的中點(diǎn)T,連接AT,ET.首先證明NC￡B=90。，求出AT,ET,

根據(jù)可得結(jié)論.

解：如圖，取8c的中點(diǎn)T，連接AT,ET.

ZABC=90°,

.?.ZABD+/CBD=90。,

ZABD=NBCE,

ZCBD+ZBCE=90°9

:"CEB=90。,

CT=TB=6,

2222

:.ET=^BC=6fAT=yjAB+BT=78+6=10，

AENAT—EI',

/.AE>4,

.:AE的最小值為4,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是求出A7,

ET的長，屬于中考?？碱}型.

6.A

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明AO=CQ,求得/ACO=NA=30。，再利用含30

度角的直角三角形的性質(zhì)求得CZ）的長，利用勾股定理求得8c的長，在RA48C中，再利

用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

解：?.,在aAABC中，NB=90。，N4=30°,

,NACB=60°,

?；￡>￡垂直平分斜邊AC,

：.AD=CD,

：.NACZ)=/A=30。，

，ZDCB=60o-30°=30°,

在中,N8=90°,ZDCB=30°,BD=l,

：.CD=2BD=2,

由勾股定理，得8c=正-F=6，

在RgA8c中，NB=90°,NA=30°,8C=百，

:.AC=2BC=2也.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的

直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出8c的長，注意：在直角三角形中，如果有一

個角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

7.B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=4,根據(jù)BC=14,由三角形中位線定理得到

DE=7,解答即可.

解：?../AFB=90。，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

/.DF=yAB=4,

VBC=14,D、E分別是AB,AC的中點(diǎn),

.?.DE=1BC=7,

，EF=DE-DF=3,

故選：B

【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和中位線性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺,則斜邊為(10-x)

尺.利用勾股定理解題即可.

解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為(10-x)尺，

根據(jù)勾股定理得：X2+32=(10-X)2,

解得：x=4.55.

所以，原處還有4.55尺高的竹子.

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從

而運(yùn)用勾股定理解題.

9.D

【分析】先在放ABC中利用勾股定理計算出AB=10,再利用折疊的性質(zhì)得到

AD=BD=5,設(shè)則CE=AC-AE=8-x,BE=x,在8CE中根據(jù)勾股定理可得到/=6?+

(8-x)2,解得x,可得CE.

解：VZACB=90°,4c=8,BC=6,

.,.AB=7AC2+BC2=IO.

?.?△4DE沿力E翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，

；.AE=BE,AD=BI”3AB=5,

設(shè)AE-x,則CE-AC-AE=S-x,BE=x,

在/?/△BCE中

BE2=BC2+CE2,

25

/.x2=62+(8-x)2,解得廣一，

4

.o257

44

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖象全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.也

考查了勾股定理.

10.C

解：VCD1AB,E為BC邊的中點(diǎn)，

ABC=2CE=V3,

VAB=2,AC=1,

AAC2+BC2=124-（蘇）2=4=22=AB2,

.??ZACB=90°,

BC

*.*tanNA=XC=

/.ZA=60°,

AZACD=ZB=30°,

???ZDCE=60°,

VDE=CE,

/.ZCDE=60°,

/.ZCDE+ZACD=90°,故選C.

【點(diǎn)撥】勾股定理的逆定理；直角三角形斜邊上的中線.

11.40或80##80或40

【分析】根據(jù)題意，由于ABC類型不確定，需分三種情況：高在：.角形內(nèi)部、高在三

角形邊上和高在三角形外部討論求解.

解：根據(jù)題意，分三種情況討論：

①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：

，在A48D中，AO為邊8c上的高，ZABC=30°,

ZBAD=90°-ZABC=90°-30°=60。,

ZCAD=20°f

??.ZBAC=/BAD+ZCAD=60。+20°=80°；

②高在三角形邊上，如圖所示：

可知ZC4￡>=0°,

ZC4￡>=20°,

故此種情況不存在，舍棄；

③高在三角形外部，如圖所示:

在AABD中，AO為邊2c上的高，ZABC=30°,

ABAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ZCAD=20°,

ABAC=ABAD-ACAD=60°-20°=40°；

綜上所述：N84C=80°或40。，

故答案為：40或80.

【點(diǎn)撥】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況,

根據(jù)題意分情況討論是解決問題的關(guān)鍵.

12.25°

【分析】先根據(jù)等邊對等角算出/AC8=/B=45。，再根據(jù)直角三角形中兩個銳角互余算

出/尸=60。，最后根據(jù)外角的性質(zhì)求解即可.

解："：AB=AC,N4=90°,

ZACB=ZB=45°.

VZ￡DF=90°,ZE=30°,

ZF=90°-NE=60°.

'：/ACE=NCDF+ZF,ZBCE=40°,

：.NCDF=NACE-NF=NBCE+NACB-/尸=45°+40°-60°=25°.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是要合理的運(yùn)用外角和計算的時候要細(xì)致認(rèn)真.

13.；

【分析】如下圖，先利用直角三角形中30。角的性質(zhì)求出HE的長度，然后利用平行線

間的距離處處相等，可得CG的長度，即可求出直角三角形ABC面積.

解：

如圖，分別過點(diǎn)E、C作EH、CG垂直AB,垂足為點(diǎn)H、G,

???根據(jù)題意四邊形ABEF為菱形，

AB=BE=0,

又；/ABE=30°

在RTABHE中，EH=—,

2

根據(jù)題意，AB〃CF,

根據(jù)平行線間的距離處處相等，

萬

/.HE=CG=—,

2

二RtAfiC的面積為lx忘x4l=，.

222

【點(diǎn)撥】本題的輔助線是解答本題的關(guān)鍵，通過輔助線，利用直角三角形中的30。角所

對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，求出HE,再利用平行線間的距離處處相等這一知識點(diǎn)得到

HE=CG,最終求出直角三角形面積.

14.120

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到ZM=OC，則NDC4=ND4c=30。，

再利用三角形外角性質(zhì)得到N2=60。，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求N1的度數(shù).

解：￡）是斜邊的中點(diǎn)，

DA=DC,

ZDCA=ZDAC=30°,

Z2=ZDC4+ZmC=60°,

////,,

Zl+Z2=180°,

Zl=180°-60°=120°.

故答案為120.

B

【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形斜邊上的中線：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜

邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)），也考查了平行線的性質(zhì).

15.3出

【分析】由矩形的性質(zhì)得CD=45=3,ZADC=90°,求出NCD〃=30。，利用30。角

的直角三角形的性質(zhì)求出CH的長度，再利用勾股定理求出力”的長度，根據(jù)NAZW=60。求

出zmC=3O°,然后由含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

解：四邊形A8CQ是矩形，

:.CD=AB=3,ZADC=90°,

.ZADH=2NCDH,

:.NCDH=30°,ZADH=60°,

13

：.CH=-CD=-

22

在RT中,

DH±ACf

ZDHA=90°,

ZDAC=90?！?0。=30。，

:.AD=2DH=3g，

故答案為：36.

【點(diǎn)撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)以及直角三角形30。的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形30。

的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

16.2

解：VAD//BC,BD平分NABC,

AZABD=ZCBD,ZADB=ZCBD.

AZABD=ZADB.AAD=AB.

VZA=120°,.,.ZABD=ZCBD=30°.

???梯形ABCD是等腰梯形，?.ZC=ZABC=60°,AB=CD.

AZBDC=180°-ZCBD-ZC=90°,AB=CD=AD.ABC=2CD=2AD,

;梯形的周長為10,AAB+BC+CD+AD=IO,即5AD=10.

???AD=2.

17.3g

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得AO=CO=BO=DO=6,再證明二AF噲BEO,從而得一430

是等邊三角形，進(jìn)而即可求解.

解：???在矩形43co中，

：.AO=CO=BO=DO=6,

?：OE1BC,

：.BC=2BE,

,:BC=2AF,

：.BE=AF,

ZOBE+ZABF=ZABF+ZBAF=90°,

/OBE二/BAF,

、:AF±OB

又丁/AFB=/BEO=900,

???AF噲BEO,

."8二8。，

.\AB=BO=AOf

...ABO是等邊三角形，

???ZABO=60°,

???ZOBE=30°,

,**OE=3>BE=Vfi2_32=3A/5'

故答案是：3g.

【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等：角形

的判定和性質(zhì)，掌握矩形的對角線相等且平分是解題的關(guān)鍵.

18.1

【分析】首先根據(jù)三角形中位線的定理，得出OE的長，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線

等于斜邊的一半，得出。尸的長，最后根據(jù)跖即可算出答案.

解：：點(diǎn)O，尸分別是A8,AC的中點(diǎn)

:.DE為ABC的中位線

DE=-BC

2

又：BC=8

：.DE=4

又丁ZAFB=90°

在用ABF

點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)

/.DF=-AB

2

又：AB=6

DF=3

又：EF=DE-DF

：.￡尸=4-3=1

故答案為：1.

【點(diǎn)撥】本題考查三角形中位線定理即應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵在熟

練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.

19.（I）圖見分析；（2）證明見分析.

【分析】（1）根據(jù)基本作圖一角平分線作法，作出/C4O的平分線4尸即可解答；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到8E=14C并求出NBEC=ABAC+ZABE=30°,

再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出B=。尸，從而得到E尸為中位線，進(jìn)而可證BE=EF,

ZBEF=60°,從而由有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論.

解：（1）如圖，AF平分NC4D,

A

(2)VZfiAZ>=45°,iLZCAD=2ZBAC,

NCW=30。，ZBAC=15°,

VAE=EC,ZABC=90°,

：.BE=AE=-AC,

2

ZABE=ZBAC=\5°,

：.ZBEC=ABAC+ZABE=30°,

又平分NC4D,AC=AD,

：.CF=DF,

XVAE=EC,

：.EF=-AD=-AC,EF//AD,

22

...ZCEF=ZCAD^30°,

：.ZBEF=乙BEC+Z.CEF=60°

又：BE=EF=-AC

2

...△BE尸為等邊三角形.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了基本作圖和等腰三角形性質(zhì)以及與三角形中點(diǎn)有關(guān)的兩個定理,

解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半以及三角形中

位線定理.

20.(1)證明見分析(2)見分析

【分析】(1)利用AAS即可證明△AB/WZkCOE；

(2)若選擇條件①：先證明四邊形AEC尸是平行四邊形，利用直角三角形斜邊上的中

線性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)證得4E=AF,即可證明平行四邊形AECF是菱形.

若選擇條件②：先證明四邊形AECF是平行四邊形，得到AO=C。，再根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)即可證明平行四邊形AECF是菱形.

解：（1）證明：,:BE=FD,

：.BE+EF=FD+EF,

即BF=DE,

'：AB//CD,

，NABF=NCDE,

又；/&4尸=/。?￡=90°,

二4ABF空ACDE（AAS）；

（2）解：若選擇條件①：

四邊形AECF是菱形，

由（1）得，NABF仝XCDE,

：.AF=CE,NAFB=NCED,

：.AF//CE,

二四邊形AECF是平行四邊形,

VZBAF=90°,BE=EF,

：.AE^-BF,

2

VZBAF=90°,ZABD=30°,

：.AF^-BF,

2

：.AE=AF,

???平行四邊形AECF是菱形.

若選擇條件②：

四邊形AECF是菱形，

連接4C交8。于點(diǎn)0,

AD

BC

由(1)得，△ABF絲△(7￡)￡：,

:.AF=CE,NAFB=NCED,

：.AF//CE,

.?.四邊形AECF是平行四邊形，

：.AO=CO,

，：AB=BC,

：.BO^AC,

即EF1AC,

...平行四邊形AECF是菱形.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

21.(1)-?；(2)菱形，見分析；(3)/班出=45?；?￡>回=135。

2

【分析】(1)根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半''得C￡>=：A3=《a；

(2)由題意可得。尸〃AC,DF=^AB,由“直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜

邊的一半"，得AC=；A3,得=AC,則四邊形WC是平行四邊形，再由折疊得

DF=BD=AD，于是判斷四邊形AOFC是菱形；

(3)題中條件是“點(diǎn)E是射線BC上一點(diǎn)”，因此_LA3乂分兩種情況，即點(diǎn)尸與點(diǎn)。

在直線CE的異側(cè)或同側(cè)，正確地畫出圖形即可求出結(jié)果.

解：(1)如圖①，在RlABC中，NACB=90。，

：C。是斜邊A及上的中線，AB=a,

CD=-AB=-a.

22

(2)四邊形4?；谻是菱形.

理由如下：

如圖②???。尸13C于點(diǎn)G,

???ZZX7S=Z4CB=9O°,

:.DF//AC；

由折疊得，DF=DB，

DB=-AB

2f

：.DF=-AB；

2

VZACB=90°,ZA=60°,

???ZB=90°-60°=30°,

???AC=-AB,

2

:.DF=AC,

???四邊形ADFC是平行四邊形;

??,AD=-AB,

2

：.AD=DF,

???四邊形A。尸C是菱形.

(3)如圖③，點(diǎn)尸與點(diǎn)O在直線CE異側(cè)，

,:DFJLAB,

：./BDF=90。；

由折置得，/BDE=/FDE,

，ZBDE=ZFDE=-/BDF」x90。=45°；

22

如圖④，點(diǎn)尸與點(diǎn)。在直線CE同側(cè),

,:DF1.AB,

；?NBDF=90。,

：.ZBDE+/FDE=360°-90°=270°,

由折疊得，/BDE=/FDE,

：.ZBDE+ZBDE=270°,

:.ZBDE=\35°.

綜上所述，NBDE=45?；騈BDE=135。.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形及特殊平行四

邊形的判定等知識與方法，在解第(3)題時，應(yīng)進(jìn)行分類討論，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地畫出

圖形，以免丟解.

9

22.(V)BP=PC,證明見分析(2)BP=~.

4

【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求NB4P=NAP8=45。，可得

AB=BP,即可得結(jié)論；

(2)由全等得到在△A8P中應(yīng)用勾股定理可求解.

(1)解：BP=CP,理由如下：

???CG為NDCF的平分線，

工NDCG=NFCG=45。,

：.NPCE=45。,

VCG1AP,

.,.ZE=ZB=90°,

.??ZCPE=45°=ZAPB,

：.ZBAP=ZAPB=45\

:?AB=BP,

\9AB=-BC

2f

：.BC=2ABf

：.BP=PC；

(2)解：?:△ABPmXCEP,

:?AP;CP,

VAB=3,

9：BC=2AB=6,

AP2=AB2+BP2^

(6-BP)2=9+8下，

9

：.BP=~.

4

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些

性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

5r—r2

——(0<x<5)

23.(1)8(2)S=,

5尸65SO/、

--------AH--------X---------1D<.A<oI

12123'7

【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求出BZ）的長，進(jìn)而求得AO的長;

（2）利用相似可求出0P的長，然后利用三角形面積公式可求出關(guān)系式,注意分P在線

段AD和尸在線段DCI二分別討論.

(1)解：：ZAC8=90°,BC=4,8=3,

?*-BD=-^CDT+BC-=5，

,:AD=DB,

，AD=DB=5,

，AGAO+￡)C=5+3=8；

(2)解：由(1)得AD=5,

：.PD=5-xf

???過點(diǎn)P作AC的垂線，與43相交于點(diǎn)Q,

ZAPQ=90°,

?/ZACB=90%

QP//BC,即ZAQP=ZABC,

在ZVI。尸和/BC中

"ZA=ZA

<ZAQP=ZABCf

ZAPQ=ZACB

：.AQPsABC,

.PQ=AP_

*BC-AC

x

；3=萬

?；..PDQ與AABD用疊部分的面枳為S

二一PDQ的面積為S

1Sf—j*2

即S=；XPDxQP=-^

CD=3,4C=8

:.AD=5

?.?點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D,C重合,

0<x<5,

g[JS=5v-V(0<x<5).

4

當(dāng)P在。。上運(yùn)動時，如圖，設(shè)PQ交6。于點(diǎn)E，

則砂〃8c

/.DPEsDC