數(shù)學(xué)分析(華東師大版)上第八章8-3

§3

有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分本節(jié)給出了求有理函數(shù)等有關(guān)類型的不定積分的方法與步驟.一、有理函數(shù)的部分分式分解二、有理真分式的遞推公式三、三角函數(shù)有理式的不定積分四、某些無(wú)理函數(shù)的不定積分前頁(yè)后頁(yè)返回一、有理函數(shù)的部分分式分解m

>

n

時(shí)稱為真分式,

m

≤

n

時(shí)稱為假分式.假分式可化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.有理函數(shù)是由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù),其一般形式為:前頁(yè)后頁(yè)返回2.根據(jù)分母各個(gè)因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分前頁(yè)后頁(yè)返回分解步驟稱為部分分式分解.具體步驟簡(jiǎn)述如下:1.對(duì)分母Q(x)在實(shí)數(shù)系內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解:真分式又可化為與之和,其式.

對(duì)應(yīng)于的部分分式是對(duì)應(yīng)于前頁(yè)后頁(yè)返回的部分分式是把所有部分分式加起來(lái),使之等于Q(x),由此確定上述部分分式中的待定系數(shù)Ai

,Bi

,Ci

.3.確定待定系數(shù)的方法前頁(yè)后頁(yè)返回分式分解.把所有分式通分相加,所得分式的分子與原分子P(x)

應(yīng)該相等.

根據(jù)兩個(gè)多項(xiàng)式相等時(shí)同次項(xiàng)系數(shù)必定相等的原則,

得到待定系數(shù)所滿足的線性方程組,由此解出待定系數(shù).例1作部分前頁(yè)后頁(yè)返回比較同次項(xiàng)系數(shù),得到線性方程組解得于是完成了R(x)的部分分式分解:前頁(yè)后頁(yè)返回二、有理真分式的遞推公式下面解這兩類積分.前頁(yè)后頁(yè)返回任何有理真分式的不定積分都可化為如下兩種形式的不定積分之和：前頁(yè)后頁(yè)返回前頁(yè)后頁(yè)返回解得前頁(yè)后頁(yè)返回例2解

由例1,前頁(yè)后頁(yè)返回其中于是前頁(yè)后頁(yè)返回例3解

由于而前頁(yè)后頁(yè)返回由遞推公式前頁(yè)后頁(yè)返回于是前頁(yè)后頁(yè)返回有理函數(shù)的不定積分.

把三、三角函數(shù)有理式的不定積分sin

x,cos

x

及常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算得到的函數(shù)R

(sin

x,cos

x)稱為三角函數(shù)有理式.前頁(yè)后頁(yè)返回代入原積分式，得到前頁(yè)后頁(yè)返回例4解前頁(yè)后頁(yè)返回對(duì)三角函數(shù)有理式的不定積分,在某些條件下還可選用如下三種變換,使不定積分簡(jiǎn)化.前頁(yè)后頁(yè)返回前頁(yè)后頁(yè)返回前頁(yè)后頁(yè)返回前頁(yè)后頁(yè)返回例5解前頁(yè)后頁(yè)返回前頁(yè)后頁(yè)返回例6解前頁(yè)后頁(yè)返回四、某些無(wú)理函數(shù)的不定積分例7解

由于前頁(yè)后頁(yè)返回前頁(yè)后頁(yè)返回例8解前頁(yè)后頁(yè)返回前頁(yè)后頁(yè)返回型不定積分可用多種方法化為三角函數(shù)有理式的不定積分,有時(shí)也可直接化為有理函數(shù)的不定積分.前頁(yè)后頁(yè)返回把它們轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的不定積分.方法2(歐拉變換)前頁(yè)后頁(yè)返回例9解

用方法

1:前頁(yè)后頁(yè)返回前頁(yè)后頁(yè)返回前頁(yè)后頁(yè)返回因此前頁(yè)后頁(yè)返回注1

對(duì)于本題來(lái)說(shuō),方法

2

顯然比方法

1

簡(jiǎn)捷.注2

由以上兩種方法所得的結(jié)果,

形式雖不相同但實(shí)質(zhì)上只相差某一常數(shù)而已.例10解前頁(yè)后頁(yè)返回從而有前頁(yè)后頁(yè)返回注

雖然初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù),從而它們都存