第七章 埃爾米特多項(xiàng)式

西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系第七章埃爾米特（Hermite）多項(xiàng)式－－－－－－特殊函數(shù)之三西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系§7.1

Hermite多項(xiàng)式的定義1.n階Hermite方程的解n階Hermite方程用冪級(jí)數(shù)法求解該方程，設(shè)方程的解為代入方程，整理，得從而有由上式知西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系從而得方程的解為西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系其中

是任意常數(shù)，又性無關(guān)的解，故上式是方程的通解。是方程的兩個(gè)線兩個(gè)級(jí)數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)收斂。西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系考察系數(shù)遞推關(guān)系式2.Hermite多項(xiàng)式當(dāng)n是正整數(shù)（包括零）時(shí)，進(jìn)一步知，當(dāng)n是偶數(shù)（包括零）時(shí)，變成了多項(xiàng)式，變成了多項(xiàng)式，

仍仍為無窮級(jí)數(shù)；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，為無窮級(jí)數(shù)。為了了解上述多項(xiàng)式的系數(shù)形式，改寫遞推關(guān)系式為則西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系則西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系取則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有系數(shù)，對應(yīng)多項(xiàng)式為關(guān)于x的偶次方的多項(xiàng)式當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有系數(shù)為關(guān)于x的奇次方的多項(xiàng)式，對應(yīng)多項(xiàng)式n次Hermite多項(xiàng)式西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系統(tǒng)一寫法，有前幾次Hermite多項(xiàng)式西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系§7.2

Hermite多項(xiàng)式的母函數(shù)與遞推公式令將其展開成變量t的Taylor級(jí)數(shù)，則有則是n次Hermite多項(xiàng)式。證明：西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系比較同次冪系數(shù)有即西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系即比較同次冪系數(shù)有即西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系是Hermite方程的解，故是Hermite多項(xiàng)式。定義：稱

是Hermite多項(xiàng)式的母函數(shù)。Hermite多項(xiàng)式的微分形式：西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系Hermite多項(xiàng)式的微分形式：Hermite多項(xiàng)式的遞推公式：西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系證明從略。§7.3

Hermite多項(xiàng)式的正交性及其應(yīng)用結(jié)論：Hermite多項(xiàng)式

在

上關(guān)于權(quán)函數(shù)

正交，即上的函數(shù)，且滿足結(jié)論：設(shè)f(x)為定義在（1