山東省濱州市高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)

2023－2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)科質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A B.C D.2.不等式：成立的一個必要不充分條件是（）A B.C. D.3.關(guān)于函數(shù)，其中，，給出下列四個結(jié)論：甲：6是該函數(shù)的零點(diǎn)；乙：4是該函數(shù)的零點(diǎn)；丙：該函數(shù)的零點(diǎn)之積為0；丁：方程有兩個根.若上述四個結(jié)論中有且只有一個結(jié)論錯誤，則該錯誤結(jié)論是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.如圖，，是半徑為的圓上的兩點(diǎn)，且若是圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.5.已知，，，則（）A B. C. D.6.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到直線距離的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.47.如圖，單位圓上角的始邊為軸正半軸，終邊射線交單位圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，將點(diǎn)到射線的距離表示為的函數(shù)，則在上的圖象大致為（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.若，則 D.若，則二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的模長為B.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C.為純虛數(shù)D.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程的一個解10.已知，，且，則（）A. B. C. D.11.某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（）A.該圓臺軸截面面積為；B.與的夾角60°；C.該圓臺的體積為；D.沿著該圓臺側(cè)面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5cm.12.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線（且）交與、兩點(diǎn)，直線、分別與的準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），下列選項(xiàng)錯誤的有（）A.且，B.且，C且，D.且，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)在上的最大值為6，則實(shí)數(shù)__________．14.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為________.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則_____.16.四棱錐的底面ABCD是矩形，側(cè)面底面ABCD，，，則該四棱錐外接球的表面積為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，.（1）求；（2）若，且，求邊上的高.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是公比大于0的等比數(shù)列，且滿足.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；（3）對任意的正整數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?請說明理由．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，求函數(shù)的值域；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍．21.已知橢圓G：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓G的方程；（2）若過點(diǎn)M（1，0）的直線與橢圓G交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)，求的范圍．22.已知函數(shù)．（1）若對任意時(shí)，成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，求證：；（3）若存在，使得成立，求證：．

2023－2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)科質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集和一元二次不等式解法化簡集合，再根據(jù)交集運(yùn)算法則求解答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B2.不等式：成立的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合零點(diǎn)分布、的解判斷各項(xiàng)是否為必要不充分條件.【詳解】由，即，對應(yīng)為，而必有，當(dāng)不一定，所以是成立的一個必要不充分條件；對于，則且開口向上，對稱軸，所以由兩個異號零點(diǎn)，故、、不是成立的必要不充分條件.故選：A3.關(guān)于函數(shù)，其中，，給出下列四個結(jié)論：甲：6是該函數(shù)的零點(diǎn)；乙：4是該函數(shù)的零點(diǎn)；丙：該函數(shù)的零點(diǎn)之積為0；?。悍匠逃袃蓚€根.若上述四個結(jié)論中有且只有一個結(jié)論錯誤，則該錯誤結(jié)論是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】由已知函數(shù)的單調(diào)性判斷甲?乙中有一個錯誤，由其中一個正確，結(jié)合丙正確求得與的值，得到函數(shù)解析式，再判斷丁是否正確，則答案可求.【詳解】當(dāng)，時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，為減函數(shù)，故6和4只有一個是函數(shù)的零點(diǎn)，即甲乙中有一個結(jié)論錯誤，一個結(jié)論正確，而丙?丁均正確.由兩零點(diǎn)之積為0，則必有一個零點(diǎn)為0，則，得，若甲正確，則，即，，可得，由，可得或，解得或，方程有兩個根，故丁正確.故甲正確，乙錯誤.若乙正確，甲錯誤，則，則，，可得，由，可得或，解得或（舍去），方程只有一個根，則丁錯誤，不合題意．.故選：B.4.如圖，，是半徑為的圓上的兩點(diǎn)，且若是圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算可得，由數(shù)量積的定義可得，，當(dāng)取最大值時(shí)，取得最大值當(dāng)與同向時(shí)，取得最大值為，代入求解即可．【詳解】因?yàn)椋?，，所以即?dāng)取最大值時(shí)，取得最大值．當(dāng)與同向時(shí)，取得最大值為，此時(shí)，取得最大值．故選：C．5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間值法進(jìn)行比較即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所?故選：B.6.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到直線距離的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先求得圓心的軌跡方程，然后結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】由于半徑為1圓（設(shè)為圓）經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的圓心的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，到直線距離為，所以圓的圓心到直線距離的最大值為.故選：C7.如圖，單位圓上角的始邊為軸正半軸，終邊射線交單位圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，將點(diǎn)到射線的距離表示為的函數(shù)，則在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義、三角形的面積結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可判定.【詳解】由三角函數(shù)定義及的面積可得：，由正弦函數(shù)的圖象可知B項(xiàng)正確.而對于A、C項(xiàng)，顯然可排除；對于D項(xiàng)，顯然當(dāng)時(shí)，M與O重合，此時(shí)，可排除.故選：B.8.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性概念判斷A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷B，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷C，利用特例法排除選項(xiàng)D.【詳解】對于A，函數(shù)定義域?yàn)?，，所以，錯誤；對于B，因?yàn)椋?，由知，錯誤；對于C，因?yàn)椋?，所以在上遞增，時(shí)，，故對，，由不等式的性質(zhì)可得，正確；對于D，，，，取，則，，此時(shí)，，錯誤.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的模長為B.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C.為純虛數(shù)D.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程的一個解【答案】BCD【解析】【分析】化簡，利用共軛復(fù)數(shù)的概念及模長公式判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；利用純虛數(shù)的概念判斷C；解方程判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，A錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第四象限，B正確；為純虛數(shù)，C正確；，得，即，則是方程的一個解，D正確.故選：BCD.10.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式，以及代入特殊值，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，故B錯誤；C.，當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故C正確；D.當(dāng)時(shí)，，故D錯誤.故選：AC11.某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（）A.該圓臺軸截面面積為；B.與的夾角60°；C.該圓臺的體積為；D.沿著該圓臺側(cè)面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5cm.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)已知條件求出圓臺的下底面半徑和高，利用梯形的面積公式即可求解；對于B，根據(jù)已知條件及圖形，結(jié)合向量夾角的定義即可求解；對于C，利用圓臺的體積公式即可求解；對于D，將圓臺補(bǔ)成圓錐，得到展開圖，求得圓心，利用勾股定理即可求解.【詳解】對于A，由，且，得，圓臺高為，∴圓臺軸截面面積為，故A正確；對于B，由已知及題圖知，且，∴，與的夾角120°，故B錯誤；對于C，圓臺的體積，故C正確；對于D，將圓臺一半側(cè)面展開，如下圖中，且為中點(diǎn)，而圓臺對應(yīng)的圓錐體側(cè)面展開為扇形，且，∵，∴在中，，即到中點(diǎn)的最短距離為5cm，故D正確.故選：ACD12.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線（且）交與、兩點(diǎn)，直線、分別與的準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），下列選項(xiàng)錯誤的有（）A.且，B.且，C.且，D.且，【答案】ACD【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，得，設(shè),，,，由韋達(dá)定理可得，，,，,，，，再由向量的數(shù)量積逐一判斷．【詳解】由，可得，設(shè),，,，則，，，，直線的方程為，由，可得，同理可得，所以,，,，，，對于A，,,，,,，只有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線與軸垂直，不存在斜率，不滿足題意，所以，，故A錯誤；對于B，因?yàn)?,，,，故B正確；對于C，由B得，而，所以，故C錯誤；對于D，由C可知不存在且，使成立，故D錯誤．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)在上的最大值為6，則實(shí)數(shù)__________．【答案】1【解析】【分析】由于函數(shù)定區(qū)間不定軸，可根據(jù)對稱軸相對于區(qū)間的位置關(guān)系討論對稱軸，進(jìn)而求出相應(yīng)的最大值,進(jìn)而求出.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，又，故不成立.綜上,.故答案為：1.14.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為________.【答案】##【解析】【分析】按公比是否為1分類討論，在時(shí)，用表示出，再列式并借助二次函數(shù)最值求解作答.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，于是，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，于是有，由余弦定理可知：，故答案為：16.四棱錐的底面ABCD是矩形，側(cè)面底面ABCD，，，則該四棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】由題意，作圖，分別找出側(cè)面與底面ABCD外接圓的圓心，計(jì)算其半徑，根據(jù)球的性質(zhì)，作平面垂線，找出球心，根據(jù)勾股定理，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：在矩形中，連接對角線，，記，即點(diǎn)為矩形的外接圓圓心，在中，因?yàn)?，且，所以，的外接圓半徑為，記外接圓圓心為，即，取中點(diǎn)為，在矩形中，可得，，在中，可得，且共線，過作平面，令，連接，因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，且側(cè)面底面ABCD，底面ABCD，所以平面，且平面，由平面，則，即四邊形為矩形，因?yàn)?，所以平面，根?jù)球的性質(zhì)，可得點(diǎn)為四棱錐外接球的球心，在中，，四棱錐外接球的表面積.故答案：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求多面體的外接球問題，首先找到多面體的兩個表面的外接圓圓心與半徑，過圓心作表面的垂線，找出球心，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，可得答案.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，.（1）求；（2）若，且，求邊上的高.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化為角，根據(jù)兩角和的正弦公式可求的值，由的范圍即可求解；（2）由余弦定理求出,過作延長線的垂線，垂足為，在中求即可.【小問1詳解】由及正弦定理可得，即，即，所以.因?yàn)?所以,所以.因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以由余弦定理可得，所以，即，所?因?yàn)?，所?因?yàn)椋?過作延長線的垂線，垂足為，則邊上的高.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是公比大于0的等比數(shù)列，且滿足.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；（3）對任意的正整數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用關(guān)系求通項(xiàng)公式，應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量，進(jìn)而寫出的通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求，即可證結(jié)論；（3）由（1）得，應(yīng)用分組求和，結(jié)合錯位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【小問1詳解】由且，則，而也滿足上式，故；所以，設(shè)公比為且，則（負(fù)值舍），所以.【小問2詳解】由（1）知：，所以，而，所以.【小問3詳解】由，則，令，則，所以，綜上，.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）存在為中點(diǎn)，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，即可得證；（2）由平面，所以，又，所以平面，得，又，從而平面，即可得結(jié)論；（3）存在為中點(diǎn)時(shí)，平面．取中點(diǎn)為，可得四邊形為平行四邊形，因此，即可證明．【小問1詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，因此．【小?詳解】由（1）知，平面，平面，所以．在矩形中，，又因?yàn)?，平?所以平面．平面，所以．又因?yàn)椋矫?，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫拘?詳解】存在為中點(diǎn)時(shí)，平面．證明：取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，且．在矩形中，為中點(diǎn)，所以，且．所以，且，所以四邊形為平行四邊形，因此，又因?yàn)槊婷?，所以面?0.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，求函數(shù)的值域；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)周期公式求得結(jié)果；（2）根據(jù)，求出整體角的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果；（3）根據(jù)整體角的范圍及正弦函數(shù)的零點(diǎn)求得結(jié)果.小問1詳解】，所以函數(shù)最小正周期.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【小問3詳解】∵，由得，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點(diǎn)，則，則，解得.即.21.已知橢圓G：離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓G的方程；（2）若過點(diǎn)M（1，0）的直線與橢圓G交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)，求的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列方程解出，即可得出方程；（2）根據(jù)題意設(shè)直線及交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢